高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問題(五大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問題目錄技巧一．四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直．技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn)．已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故．技巧三．三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常見結(jié)論（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．為的內(nèi)心．（2）外心：為的外心．（3）垂心：為的垂心．（4）重心：為的重心．題型一：奔馳定理例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽六安·高一六安一中?？计谀┮阎侨切蝺?nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊靠近的三等分點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心變式2．（2023·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（

）

A．若，則O為△ABC的重心B．若，則C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則變式3．（多選題）（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點(diǎn)，∠，∠，∠分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，且，則C．若，則為的垂心D．若為的內(nèi)心，且，則變式4．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內(nèi)心，，則D．若為的重心，則題型二：重心定理例4．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且，，則下列各式正確的有______．①

②③

④例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個頂點(diǎn)，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是_______（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．①動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．例6．（2023·河南·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若為的重心（重心為三條中線交點(diǎn)），且，則___．變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知△ABC的外心為O，且AB=5，，則______．（2）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，則______．（3）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，，D為BC中點(diǎn)，則____．變式6．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，若是的重心，則______.變式7．（2023·江西南昌·高三校聯(lián)考期中）銳角中，，，為角，，所對的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為______．變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過△ABC重心O的直線PQ交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，，，則n的值為________.變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┰谥校^重心G的直線交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，設(shè)的面積為，的面積為，且，則的取值范圍為_________．題型三：內(nèi)心定理例7．（2023·湖北·模擬預(yù)測）在中，，，，且，若為的內(nèi)心，則_________．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動點(diǎn).若（，），則的取值范圍是______.例9．（2023·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則為________．變式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心，若，則______.變式11．（2023·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┰诿嫔嫌屑皟?nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的__心.變式12．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心變式13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，，分別為的重心和內(nèi)心，則（

）A． B． C．2 D．變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（

）A． B．C． D．變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，，O為△ABC的內(nèi)心，若，則x＋y的最大值為（

）A． B． C． D．變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；

（2）；（3）；（4）．則點(diǎn)依次為的（

）A．內(nèi)心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、內(nèi)心、垂心；C．重心、垂心、內(nèi)心、外心； D．外心、內(nèi)心、垂心、重心變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個條件：①；②；③；④；則點(diǎn)分別為的（

）A．外心、內(nèi)心、垂心、重心 B．內(nèi)心、外心、垂心、重心C．垂心、內(nèi)心、重心、外心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心題型四：外心定理例10．（2023·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)O為的外心，且滿足，，下列結(jié)論中正確的序號為______．①；②；③．例11．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知為的外心，，，則___________．例12．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為______．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為的外心，若，，則___________.變式19．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，，且，則的值為________．變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，．點(diǎn)滿足．過點(diǎn)的直線分別與邊交于點(diǎn)且，．已知點(diǎn)為的外心，，則為______．變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，，點(diǎn)O是△ABC的外心，則________.變式22．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點(diǎn)一定是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心題型五：垂心定理例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則是的（

）A．重心（三條中線交點(diǎn)） B．內(nèi)心（三條角平分線交點(diǎn)）C．垂心（三條高線交點(diǎn)） D．外心（三邊中垂線交點(diǎn)）例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若，則______.例15．（2023·北京·高三強(qiáng)基計劃）已知H是的垂心，，則的最大內(nèi)角的正弦值是_________．變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)H是的垂心，且，則_____．變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為的外心和垂心，，則________.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.

重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問題目錄技巧一．四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直．技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn)．已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故．技巧三．三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常見結(jié)論（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．為的內(nèi)心．（2）外心：為的外心．（3）垂心：為的垂心．（4）重心：為的重心．題型一：奔馳定理例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因?yàn)?所以.設(shè)可得則是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以與的面積之比為即為.故選：A.例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，∵，∴，設(shè)與交于點(diǎn)，則平分，∴，是中點(diǎn)，∴．比值為．故選：C．例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊靠近的三等分點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長至使，∵，∴，連接，則四邊形是平行四邊形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四邊形中，，則與的面積比為，故選：C.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長交于，延長交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心.故選：B變式2．（2023·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（

）

A．若，則O為△ABC的重心B．若，則C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】D【解析】對于A：如下圖所示，

假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對于C：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，，因?yàn)镺為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即C正確.對于D：由可知，，又，所以由可得，；所以，即D錯誤；故選：D.

變式3．（多選題）（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點(diǎn)，∠，∠，∠分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，且，則C．若，則為的垂心D．若為的內(nèi)心，且，則【答案】BCD【解析】對選項(xiàng)A：，則，錯誤；對選項(xiàng)B：，，故，，正確；對選項(xiàng)C：，即，故，同理可得，，故為的垂心，正確；對選項(xiàng)D：，故，設(shè)內(nèi)接圓半徑為，，，，即，即，，正確.故選：BCD變式4．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內(nèi)心，，則D．若為的重心，則【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由“奔馳定理”可知，A對；對于B選項(xiàng)，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯；對于C選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），所以，，故，C對；對于D選項(xiàng)，如下圖所示，因?yàn)闉榈闹匦模娱L交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，，且，，所以，，由“奔馳定理”可得，D對.故選：ACD.題型二：重心定理例4．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且，，則下列各式正確的有______．①

②③

④【答案】①③④【解析】對于①，重心為G，有，故，故①正確；對于②，外心為O，過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，易知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，有，∴，故②錯誤；對于③，由歐拉線定理得，即，又有，故，即，故③正確；對于④，由得，故，所以，故④正確.故答案為：①③④.例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個頂點(diǎn)，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是_______（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．①動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．【答案】①②③④⑤【解析】對于①，因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足，，則點(diǎn)是的重心，故①正確；對于②，因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足，，又在的平分線上，與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心在滿足條件的點(diǎn)集合中，②正確；對于③，動點(diǎn)滿足，，，過點(diǎn)作，垂足為，則，，向量與邊的中線共線，因此的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，③正確；對于④，動點(diǎn)滿足，，，，所以的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，④正確；對于⑤，動點(diǎn)滿足，設(shè)，則，由④知，，，點(diǎn)的軌跡為過的的垂線，即的中垂線；所以的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合，⑤正確．故正確的命題是①②③④⑤．故答案為：①②③④⑤．例6．（2023·河南·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤魹榈闹匦模ㄖ匦臑槿龡l中線交點(diǎn)），且，則___．【答案】【解析】在中，取中點(diǎn)，連接，由重心的性質(zhì)可得為的三等分點(diǎn)，且，又為的中點(diǎn)，所以，所以，所以.故答案為：變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知△ABC的外心為O，且AB=5，，則______．（2）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，則______．（3）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，，D為BC中點(diǎn)，則____．【答案】【解析】（1）由題意得：如圖過O作，垂足為，則是的中點(diǎn)，，又，（2）根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線分成兩部分，（3）根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線分成兩部分，故答案為：（1）（2）（3）變式6．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，若是的重心，則______.【答案】7【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，∵，，∴，∵，解得，∴∵是的重心，延長交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，所以,∴，,∴.故答案為：7

變式7．（2023·江西南昌·高三校聯(lián)考期中）銳角中，，，為角，，所對的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為______．【答案】，【解析】由題意，，又，則，所以，即，由，，，所以,，由為銳角三角形及上式，則，即，可得，所以在上遞減，在上遞增，則.故答案為：變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過△ABC重心O的直線PQ交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，，，則n的值為________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)镺是重心，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，又，則，所以因?yàn)镻，O，Q三點(diǎn)共線，所以，所以，解得.故答案為：變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┰谥?，過重心G的直線交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，設(shè)的面積為，的面積為，且，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】根據(jù)題意，連接，作圖如下：，在三角形中，因?yàn)闉槠渲匦?，故可得結(jié)合已知條件可得：，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可得，即，由題設(shè)可知，，又，得，故，令，可得，，則，又在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.故答案為：.題型三：內(nèi)心定理例7．（2023·湖北·模擬預(yù)測）在中，，，，且，若為的內(nèi)心，則_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，又，，所以，所以，由余弦定理可得，又，所以，又，所以，所以為以為斜邊的直角三角形，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑為，由直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以所?故答案為：.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動點(diǎn).若（，），則的取值范圍是______.【答案】【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)心，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則，解得.所以，.依題意點(diǎn)在三角形的內(nèi)部（不含邊界）.因?yàn)?，所以，所以，令，則，由圖可知，當(dāng)過時，.當(dāng)，過，即為直線時，.所以的取值范圍時.故答案為：例9．（2023·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則為________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以取BC中點(diǎn)為O，連接AO，則，且的內(nèi)心在AO上，IO即為的內(nèi)切圓半徑，又，所以AO，因?yàn)椋?，所以，，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，則，，，則，，，因?yàn)?，即，所以解得，所以，故答案為?變式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，即，取中點(diǎn)，連接，則，故，故點(diǎn)共線，又，故，且，所以.故答案為：.變式11．（2023·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┰诿嫔嫌屑皟?nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的__心.【答案】內(nèi)【解析】，，，，，分別是，方向上的單位向量，向量平分，即平分，同理平分，為的內(nèi)心，故答案為：內(nèi)變式12．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.變式13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，，分別為的重心和內(nèi)心，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由橢圓可得，，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切與，，，，分別為的重心和內(nèi)心．則，，，所以，所以故選：D變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】延長，分別交于.內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn).在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，則.故選：C變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，，O為△ABC的內(nèi)心，若，則x＋y的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖：圓O在邊上的切點(diǎn)分別為，連接，延長交于點(diǎn)設(shè)，則，則設(shè)∵三點(diǎn)共線，則，即即故選：D．變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；

（2）；（3）；（4）．則點(diǎn)依次為的（

）A．內(nèi)心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、內(nèi)心、垂心；C．重心、垂心、內(nèi)心、外心； D．外心、內(nèi)心、垂心、重心【答案】C【解析】（1）顯然得出為的重心；（2），同理，所以為的垂心；（3）OA,OB分別是的角平分線，所以為的內(nèi)心；（4）（M是AB中點(diǎn)）同理（N是BC中點(diǎn)），所以為的外心.故選：.變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個條件：①；②；③；④；則點(diǎn)分別為的（

）A．外心、內(nèi)心、垂心、重心 B．內(nèi)心、外心、垂心、重心C．垂心、內(nèi)心、重心、外心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考慮直角，可令，，，可得，，，設(shè)，①，即為，即有，，解得，即有到，軸的距離為1，在的平分線上，且到的距離也為1，則為的內(nèi)心；③，即為，可得，，解得，，由，故為的外心；④，可得，即為，，解得，，由的中點(diǎn)為，，，即分中線比為，故為的重心；考慮等腰，底角為，設(shè)，，，，②，即為，可得，，解得，，即，由，，即有，故為的垂心．故選：D題型四：外心定理例10．（2023·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)O為的外心，且滿足，，下列結(jié)論中正確的序號為______．①；②；③．【答案】①③【解析】由題意可知：．①，則，兩邊同時平方得到：，解得：，故①正確．②，則，，兩邊再平方得到：．所以|，所以②不正確．③，，兩邊平方得到：，，，同理可得：，，，．故，，且，，，即．故③正確．故答案為：①③例11．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知為的外心，，，則___________．【答案】/-3.5【解析】如圖：分別為的中點(diǎn)，則故答案為：.例12．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為______．【答案】/【解析】設(shè)三角形的外接圓的半徑為，，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何定義可得：，即，，又，根據(jù)正弦定理可得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即為等邊三角形時取等號，，，實(shí)數(shù)的最大值為．故答案為：變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為的外心，若，，則___________.【答案】【解析】如圖，設(shè)D?E分別為的中點(diǎn)，則，所以,故答案為：-2

.變式19．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，，且，則的值為________．【答案】.【解析】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，則；，因?yàn)?，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，所以兩邊同時點(diǎn)乘可得,即,所以，所以,所以，所