1.1.2集合的基本關(guān)系（5知識(shí)點(diǎn)7題型鞏固訓(xùn)練）

1.1.2集合的基本關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解子集、真子集概念以及集合相等。2.掌握用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言以及V圖語(yǔ)言表示集合間的基本關(guān)系。3.能夠區(qū)分集合間的包含關(guān)系與元素與集合的屬于關(guān)系。1.對(duì)集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解；2.集合的子集的辨析和應(yīng)用；3.對(duì)給出的集合能寫(xiě)出其子集和真子集；有集合元素個(gè)數(shù)求子集個(gè)數(shù)；4.在理解集合間關(guān)系的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)軸和venn圖解決子集及真子集問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；5.通過(guò)觀察身邊的實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)意義。知識(shí)點(diǎn)1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱(chēng)為集合B的子集.2.記法：A?B（或B?A）.3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.5.性質(zhì)：A?A；??A.6.圖形表示：【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合M=1,2,3，N=A．N∈M BC．N?M D【答案】D【分析】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)镸=1,2,3，N=故選：D.【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列各式：①1?0,1,2，②1∈0,1,2，③0,1,2?0,1,2，④??0,1,2A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】由元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系考查所給式子是否正確即可．【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知1∈0,1,2，故①由集合與集合的關(guān)系可知1?0,1,2，故任何集合都是自身的子集，故③正確；空集是任何非空集合的子集，故④正確；集合中的元素具有互異性和無(wú)序性，故⑤正確；綜上可得，只有①②錯(cuò)誤．故選B．【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合A=0,1,2,3，則含有元素0的A的子集個(gè)數(shù)是（A．2 B．4C．6 D．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【詳解】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A的子集個(gè)數(shù)為8.故選：D.知識(shí)點(diǎn)2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱(chēng)為集合B的真子集.2.記法：A?B（或BA）.3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性質(zhì)：對(duì)于集合A，B，C，①如果A?B,B?C,則A?C=2\*GB3②如果A?B，B?C，則A?C；5.圖形表示：6.如果集合A中含有n個(gè)元素，則有（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．【即學(xué)即練4】（2024秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)榧螦中的元素，都在集合B中，而B(niǎo)中的元素不一定都在A中，所以，故選：.【即學(xué)即練5】（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）滿(mǎn)足條件的所有集合的個(gè)數(shù)是（）A．32B．31C．16D．15【答案】B【解析】由集合滿(mǎn)足條件，所以集合至少含元素1,2，將1,2看成一個(gè)整體用來(lái)表示，則上述集合關(guān)系式變成：，則此時(shí)集合為集合的真子集，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求集合的真子集的個(gè)數(shù)即：，故滿(mǎn)足題意的集合有31個(gè).故選：B.知識(shí)點(diǎn)3空集1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點(diǎn)都表示無(wú)的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)?是集合；0是實(shí)數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個(gè)元素0?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}【即學(xué)即練6】（2024秋·湖北咸寧·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列說(shuō)法：①空集沒(méi)有子集；②任何集合至少有兩個(gè)子集；③空集是任何集合的真子集；④若，則．其中正確的說(shuō)法有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】A【解析】由于任何一個(gè)集合都是它本身的子集，空集的子集還是空集，故①不正確；由于空集的子集還是空集，所以空集的子集只有一個(gè)，故②不正確；由于空集的子集還是空集，但不是真子集，故③不正確；由于，則或，故④不正確；綜上，正確的說(shuō)法有0個(gè).故選：A.知識(shí)點(diǎn)4Venn圖用平面上封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部代表集合，這種圖稱(chēng)為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線(xiàn)，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線(xiàn)。韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關(guān)系【即學(xué)即練7】（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列表示集合M=x∈Z2x∈Z和A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合M、N，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系選出對(duì)應(yīng)的韋恩圖.【詳解】解：由題意得：由題意得M=1,-1,2,-2所以N是M的真子集．故選：B知識(shí)點(diǎn)5集合的相等與子集的關(guān)系1.定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等2.圖形表示：3.如果A?B，且B?A則A=B.4.如果A=B則A?B且B?A.【即學(xué)即練8】已知集合A={a,b,1},B=A．1 B．12 C．-1 D．1【答案】A【分析】根據(jù)A=B求得a,【詳解】由于A=所以對(duì)于集合B有a2=1,a若a=-1，則b=2，此時(shí)A=若a=1，則集合A不滿(mǎn)足互異性，不符合所以ab的值為1故選：A易錯(cuò)點(diǎn)忽略空集的特殊性致誤示例：設(shè)M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，求所有滿(mǎn)足條件的a的取值集合．【錯(cuò)解】由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，得N＝{－1}或{3}．當(dāng)N＝{－1}時(shí)，由1a＝－1，得a＝－當(dāng)N＝{3}時(shí)，由1a＝3，得a＝1故滿(mǎn)足條件的a的取值集合為{1，13【正解】由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，得N＝?或N＝{－1}或N＝{3}．當(dāng)N＝?時(shí)，ax－1＝0無(wú)解，即a＝0.當(dāng)N＝{－1}時(shí)，由1a＝－1，得a＝－當(dāng)N＝{3}時(shí)，由1a＝3，得a＝1故滿(mǎn)足條件的a的取值集合為{1，0，13【易錯(cuò)警示】錯(cuò)誤原因糾錯(cuò)心得錯(cuò)解忽略了N＝?這種情況．空集是任何集合的子集，解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意“空集優(yōu)先”的原則．【題型1：集合間關(guān)系的判斷】例1.（2022秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)榧螦中的元素，都在集合B中，而B(niǎo)中的元素不一定都在A中，所以，故選：.變式1.（2024·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A．? B． C． D．【答案】A【分析】用列舉法寫(xiě)出集合A，利用集合間的基本關(guān)系判斷．【詳解】，，則?.故選：A.變式2.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C． D．?【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉闊o(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)知，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉槿魏渭系淖蛹?，所以，又集合中含有元素，所以，B正確；對(duì)于C，集合表示方程中的變量的范圍的集合，故，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，正方形是菱形，但菱形不一定是正方形，所以D錯(cuò)誤．故選：B.變式3.（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A：集合為點(diǎn)集，含有元素，集合含有兩個(gè)元素，，所以不包含于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D正確；故選：A變式4.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則M與P的關(guān)系為（）A．M＝PB．MPC．P?MD．MP【答案】D【解析】①對(duì)于任意∵，∴，∴，由子集定義知.②∵，此時(shí)，即，而在時(shí)無(wú)解，.綜合①②知，MP.故選：變式5.（2024秋·江西南昌·高一校聯(lián)考期中）若P=yy=xA．P=Q B．P?Q C．【答案】C【解析】先判斷P是實(shí)數(shù)集合，再判斷Q是點(diǎn)集，然后得出結(jié)果.【詳解】P=而Q=x,yy故選：C.變式6.【多選】（2024·高一單元測(cè)試）集合，，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】將兩個(gè)集合化簡(jiǎn)后比較分子的關(guān)系可得兩個(gè)集合的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，表示整?shù)，表示奇數(shù)，故，故選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，故選：ABD.變式7.(2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，，，則的關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知，，，顯然可表示整數(shù)，而只能表示偶數(shù)；所以.故選：A．【方法技巧與總結(jié)】判斷集合間關(guān)系的方法(1)用定義判斷首先，判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則A＝B.(2)數(shù)形結(jié)合判斷對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍．【題型2：確定集合的子集、真子集】例2．（2023秋·海南儋州·高一?？计谥校?xiě)出集合的所有子集和它的真子集.【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)子集和真子集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】集合的所有子集為；集合的所有真子集為.變式1.．（2023秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）下列集合中，可以為集合的真子集的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)真子集的概念得答案.【詳解】集合的真子集為.故選：D.變式2.．（2023秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）若，則.【答案】【分析】由題意可知B是由A集合的子集構(gòu)成的集合，利用列舉法寫(xiě)出集合B即可.【詳解】因?yàn)椋约现械脑厥羌系淖蛹?，則集合.故答案為：.變式3.．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組求解方程組的根，進(jìn)而可得集合,由子集的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，又且,所以，故選：B變式4.．（2023秋·山東日照·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，．(1)寫(xiě)出集合A的所有子集；(2)若B為非空集合，求a的值．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）求解即可得；（2）由B為非空集合，得或或，分別將元素代入解出a即可.【詳解】（1）由解得或，則，故集合A的子集為：；（2）B為非空集合，得或或，由或代入可得，故a的值為3.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)集合子集、真子集概念的認(rèn)識(shí)：(1)真子集的概念也可以敘述為：若集合A?B，存在元素x滿(mǎn)足x∈B且xA，則稱(chēng)集合A是集合B的真子集．(2)集合A是集合B的真子集，需要滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x滿(mǎn)足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不成立．(3)空集是任意非空集合的真子集，這里強(qiáng)調(diào)的是“非空”兩字，解題時(shí)不能丟掉空集這一特例．(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集沒(méi)有真子集．一個(gè)集合的真子集的個(gè)數(shù)比子集的個(gè)數(shù)少1.【題型3：子集、真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題】（一）求子集、真子集個(gè)數(shù)例3．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則集合的子集有（

）A．7個(gè) B．6個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】列舉出集合的子集即可得解.【詳解】因?yàn)榧希约系淖蛹泄矀€(gè).故選：C.變式1.（2024秋·湖北·高一校聯(lián)考）集合的子集的個(gè)數(shù)是（）A．16B．8C．7D．4【答案】B【解析】集合，集合含有3個(gè)元素，所以集合的子集個(gè)數(shù)是.故選：B.變式2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A．4B．8C．15D．16【答案】D【解析】集合，,，故有個(gè)子集.故選：D．變式3.．（2024·高一單元測(cè)試）已知非空集合，且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合共有個(gè)．【答案】5.【分析】列舉出滿(mǎn)足條件的集合即可得答案.【詳解】若A中沒(méi)有奇數(shù)，則，共1個(gè)；若A中有一個(gè)奇數(shù)，A可能為：，共4種可能性.則滿(mǎn)足條件的集合有5個(gè).故答案為：5.變式4.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知非空集合滿(mǎn)足:對(duì)任意，總有，且.若，則滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】由題意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時(shí)出現(xiàn)的集合，即可求解.【詳解】當(dāng)中有元素時(shí)，，當(dāng)中有元素時(shí)，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時(shí)出現(xiàn)的集合，故滿(mǎn)足題意的集合有，共11個(gè).故選：A.變式5．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素個(gè)數(shù)，再求真子集個(gè)數(shù).【詳解】集合，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為：.故選：B.變式6．（2024·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意得到集合，然后根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求集合的真子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.變式7．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【分析】求得集合，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，集合且，其非空真子集的個(gè)數(shù)為.故選：B變式8．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)集合含有n個(gè)元素，則稱(chēng)該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.【詳解】集合的所有“2元子集”為，，，，，共6個(gè).故選：A.變式9.（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，則符合條件的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由條件分析集合的元素的特征，列舉滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)椋曰蚧蚧?，即滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為4.故選：B．變式10.（2024秋·云南保山·高一校聯(lián)考）滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，滿(mǎn)足題意的集合有：，，，，，，，，共個(gè).故選：B.變式11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若集合A滿(mǎn)足?，則集合A所有可能的情形有（

）A．3種 B．5種 C．7種 D．9種【答案】C【分析】由集合的包含關(guān)系討論A所含元素的可能性即可.【詳解】由?，可知集合A必有元素，即至少有兩個(gè)元素，至多有四個(gè)元素，依次有以下可能：七種可能.故選：C變式12.（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合M滿(mǎn)足?則集合M的個(gè)數(shù)為．【答案】7【分析】直接根據(jù)集合的關(guān)系列舉出集合即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以可以為：，，，，，，共?jì)7個(gè)，故答案為：7.變式13.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則滿(mǎn)足條件的集合C的個(gè)數(shù)為，滿(mǎn)足條件?B的集合C的個(gè)數(shù)為．【答案】43【分析】分別求出集合A，B，根據(jù)集合間的包含關(guān)系求出集合C即可.【詳解】解：，解得或，則，由，可得，滿(mǎn)足條件的集合為或或或，共4個(gè)，滿(mǎn)足條件?B的集合為或或，共3個(gè)，故答案為：4；3．【方法技巧與總結(jié)】1.求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的三個(gè)步驟2.集合子集、真子集個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論若集合A中含有n個(gè)元素，集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.（二）根據(jù)集合的子集、真子集個(gè)數(shù)求參數(shù)例4．（2023秋·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校校考階段練習(xí)）若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】【分析】通過(guò)集合有且僅有兩個(gè)子集，可知集合中只有一個(gè)元素，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為分類(lèi)討論.【詳解】由集合有且僅有兩個(gè)子集，得中只有一個(gè)元素.當(dāng)即時(shí)，，符合題意.當(dāng)即時(shí)，解得.故答案為：變式1.．（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知集合的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】0或1【分析】分類(lèi)討論確定集合中元素或元素個(gè)數(shù)后得出其子集個(gè)數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】時(shí)，，子集只有兩個(gè)，滿(mǎn)足題意，時(shí)，若即，則，子集只有1個(gè)，不滿(mǎn)足題意；若，即，則集合有兩個(gè)元素，子集有4個(gè)，不滿(mǎn)足題意，時(shí)，，，子集只有兩個(gè)，滿(mǎn)足題意，所以或1.故答案為：0或1，變式2．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知集合恰有兩個(gè)非空真子集，則m的值可以是．（說(shuō)明：寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)m的值）【答案】（答案不唯一）【分析】先根據(jù)題意得集合A中所含元素個(gè)數(shù)，再通過(guò)二次方程得答案.【詳解】集合恰有兩個(gè)非空真子集,則集合A中含有2個(gè)元素，即方程由2個(gè)不等實(shí)根，，解得且.故答案為：（答案不唯一）.變式3．（2023秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）集合．(1)若是，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得集合有且僅有兩個(gè)子集，若存在，求出實(shí)數(shù)及對(duì)應(yīng)的子集，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和.【分析】（1）若，對(duì)應(yīng)的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，可求實(shí)數(shù)的值．【詳解】（1）若，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根不合題意；則，二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，則集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和；當(dāng)，二次方程只有一個(gè)實(shí)根，，解得，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集為和.【題型4：判斷兩個(gè)集合是否相等】例5.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則與集合相等的集合為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，中，解得，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：D.變式1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】對(duì)于A，表示不同的點(diǎn)，故A不正確；對(duì)于B，集合與集合相同，故B正確；對(duì)于C，為點(diǎn)的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故C不正確；對(duì)于D，為點(diǎn)的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故D不正確.故選：B.變式2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列與集合表示同一集合的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由解得或，所以，C正確；選項(xiàng)A不是集合，選項(xiàng)D是兩條直線(xiàn)構(gòu)成的集合，選項(xiàng)B表示點(diǎn)集，故選：C變式3.（2023秋·山西運(yùn)城·高一?？迹┫旅骊P(guān)于集合的表示正確的序號(hào)是.①；②；③；④.【答案】③④【解析】∵集合中的元素具有無(wú)序性，∴，∴①不成立；∵是點(diǎn)集，而不是點(diǎn)集，∴②不成立；∵與都表示大于1的實(shí)數(shù)組成的集合，∴③成立；∵與都表示奇數(shù)組成的集合，∴④成立.故答案為：③④.【題型5：根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)】例6.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）由三個(gè)數(shù)a，，1組成的集合與由，，0組成的集合相等，求的值．【答案】1【分析】由題意可得或，從而可求出的值，再檢驗(yàn)3個(gè)數(shù)是否能組成集合，然后代入計(jì)算即可.【詳解】由a，，1組成一個(gè)集合，可知且，，由題意可得或，綜上可得，當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為，可以組成一個(gè)集合，符合題意，所以.變式1.（2024秋·山東濟(jì)寧·高一月考）已知，，若，則（）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿(mǎn)足互異性，所以，則．故選：C.變式2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)x，y的值．【答案】【分析】根據(jù)集合中的元素對(duì)應(yīng)相等，結(jié)合互異性即可分情況求解.【詳解】由于，所以且，若集合中，則，此時(shí)，由得，所以此時(shí)符合要求，若集合中，則，此時(shí)這與矛盾，故這種情況不成立，綜上可知變式3.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)q的值．【答案】【分析】由集合相等的定義一一討論元素對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.【詳解】由元素的互異性得，若，則有以下兩種情況：①，不符合題意舍去；②或（舍去），綜上，.變式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴東一中?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使.【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在.【分析】（1）中不可能等于，讓另外兩個(gè)元素分別等于求得檢驗(yàn)；（2）讓中元素分別等于，求得，然后檢驗(yàn)；（3）由，令和分別求得，然后檢驗(yàn)是否符合題意．【詳解】（1）集合中有三個(gè)元素：，，，，或，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，成立；當(dāng)時(shí)，，，，成立.的值為0或.（2）集合中也有三個(gè)元素：0，1，.，當(dāng)取0，1，時(shí)，都有，集合中的元素都有互異性，，，.實(shí)數(shù)的值為.（3），若，則，，5，，若，則，，，，不存在實(shí)數(shù)，，使.變式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中學(xué)?？迹ǘ噙x）若集合，則的值可能為（）A．B．C．0D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，化為，所以；當(dāng)時(shí)，，則，又是方程的解，所以，得．故答案為:【題型6：空集性質(zhì)及其應(yīng)用】例7．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列集合中為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于B中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于C中，由方程，即，此時(shí)方程無(wú)解，可得，符合題意；對(duì)于D中，不等式，解得，，不符合題意.故選：C.變式1.【多選】（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P(guān)系中表述正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)A：寫(xiě)法不對(duì)，應(yīng)為或，A錯(cuò)誤；對(duì)B：是任何集合的子集，故成立，B正確；對(duì)C：是不含任何元素的集合，故，C錯(cuò)誤；對(duì)D：是所有自然數(shù)組成的集合，故成立，D正確.故選：BD.變式2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：是的一個(gè)元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒(méi)有元素，故，④正確；且、，⑤錯(cuò)誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C變式3.（2023秋·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）若集合為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】根據(jù)不等式的解集為空集，比較左右端點(diǎn)值的大小，列式即可求解.【詳解】因?yàn)榧蠟榭占?，所以，即?故答案為：或變式4.（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次方程無(wú)解等價(jià)于判別式小于0計(jì)算即可.【詳解】由題意，二次方程無(wú)解，故，解得.故選：D變式5.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】利用判別式小于0求解【詳解】故無(wú)解則故答案為：變式6.（2023秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式組的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】由題意得，解不等式即可得出答案.【詳解】由題意得：，所以．故答案為：.【題型7：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】例8：（2023秋·遼寧大連·高三第二十高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，，，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）故選：B變式1.（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）若集合，，且，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】或或【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合已知即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋曰?，所以或，綜上所述，或或.變式2.（2023秋·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】或.【分析】由題意，求得，再根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理分和兩種情況討論即可求出答案．【詳解】由，則.，為方程的解集.①若，則，或或，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)相等實(shí)根，即不合題意，同理，當(dāng)時(shí)，符合題意；②若則，即，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或變式3.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求a的取值范圍．【答案】【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，利用數(shù)軸列出不等式組即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，解得，綜上.變式4.（2023秋·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)集合.(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)254(2)【分析】（1）由題得即可解決.（2）根據(jù)得，即可解決.【詳解】（1）由題知，，當(dāng)時(shí)，共8個(gè)元素，的非空真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)；（2）由題知，顯然，因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.變式5.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)不存在【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)滿(mǎn)足；②當(dāng)時(shí)，要使得，則滿(mǎn)足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）解：由題意，要使得，則滿(mǎn)足，此時(shí)不等式組無(wú)解，所以實(shí)數(shù)不存在，即不存在實(shí)數(shù)使得.變式6.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，則實(shí)數(shù)a的值是多少?(2)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?(3)若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?【答案】(1)(2)(3)【分析】利用集合相等的性質(zhì)及集合的包含關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榧希?，所?（2）因?yàn)?，如圖，

由圖可知，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（3）因?yàn)锽?A，如圖，

由圖可知，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.變式7.（2023秋·安徽滁州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若?，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)集合之間的包含關(guān)系，建立不等式組，解得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)：，即符合題意；當(dāng)時(shí)，，，綜上所述：.（2）因?yàn)?，當(dāng)時(shí)，，，解得，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，或，，綜上所述：.【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)(1)分析集合關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡(jiǎn)化每個(gè)集合．(2)此類(lèi)問(wèn)題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái)，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無(wú)誤，一般含“＝”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“＝”用空心點(diǎn)表示．(3)此類(lèi)問(wèn)題還應(yīng)注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時(shí)，初學(xué)者會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為非空集合而丟解，因此分類(lèi)討論思想是必需的．一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查集合間的包含關(guān)系，根據(jù)題意，分析集合之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤.故選：D.2．（2324高二下·天津·期末）若集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先用列舉法求出集合，在根據(jù)真子集的公式求解.【詳解】由題意可知，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C3．（2324高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿(mǎn)足，則所有滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得.【詳解】，又，，故集合為包含元素和，且為的子集，故集合可以為：，則集合的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B.4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)題意求得集合，從而求得其子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，有兩個(gè)元素，則的子集個(gè)數(shù)是個(gè)．故選：B．二、多選題5．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于下圖說(shuō)法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【答案】ABC【分析】由圖形可知集合間的包含關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】由韋恩圖可得，ABU，且，結(jié)合真子集的定義可知，集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項(xiàng)正確；集合A、B、U中有相同的元素，B選項(xiàng)正確；集合U中有元素不在集合B中，C選項(xiàng)正確；集合A、B、U不相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.6．（2223高一上·山東青島·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（

）A．集合有16個(gè)真子集 B．對(duì)于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)集合的真子集個(gè)數(shù)公式判斷A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判斷B、C、D.【詳解】集合有4個(gè)元素，故其有個(gè)真子集，故A錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，則，故B正確；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正確；空集是任何非空集合的真子集，若，則，故D正確.故選：BCD.7．（2324高一上·浙江·階段練習(xí)）已知，集合與集合相等，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，利用集合相等的概念，結(jié)合集合中元素的互異性可解．【詳解】根據(jù)題意，，或，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，則，解得（舍）或，所以，，故選：BCD．8．（2223高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)系中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系及空集的性質(zhì)、集合相等的定義判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：是集合中的元素，故，正確；B：是任意非空集合的真子集，故，正確；C：是的真子集，故，正確；D：研究數(shù)值，而研究有序數(shù)對(duì)，故它們不相等，錯(cuò)誤.故選：ABC9．（2324高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則或D．若，則或或【答案】ABC【分析】解一元二次方程求得集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念即可逐一判斷．【詳解】依題意可得，對(duì)于A，若，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，解得或，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2324高一上·山東·期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)可能的取值是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】ABC【分析】首先求出集合A，然后結(jié)合的條件，對(duì)集合B中的參數(shù)a分類(lèi)討論即可得答案.【詳解】解：，且，則：①當(dāng)時(shí)，或，解得或，A適合題意；②若，則，解得，③若，則，此時(shí)無(wú)解，④若，則，此時(shí)無(wú)解，不合題意；綜上：的值為0和.故選：ABC.三、填空題11．（2324高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為．【答案】63【分析】依題意求出集合，即可求得其真子集個(gè)數(shù)．【詳解】由可知是的正因數(shù)，即可取，故可得的值依次取，即，故集合的真子集有個(gè)．故答案為：63.12．（2024·重慶·三模）已知集合，，則滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)為.【答案】7【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合求集合的子集的結(jié)論即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以滿(mǎn)足的集合中必有元素2，3，所以求滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)，即求集合的真子集個(gè)數(shù)，所以滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：7.四、解答題13．（2223高一·全國(guó)·課堂例題）指出下列各組集合之間的關(guān)系：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用數(shù)軸即可判斷集合關(guān)系；（2）利用集合所表示的含義即可判斷；（3）求出集合即可判斷.【詳解】（1）在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示，由圖可知．（2）∵集合A是偶數(shù)集，集合B是4的倍數(shù)集，∴．（3）．在集合B中，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴，∴．14．（2425高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）確定下列每組兩個(gè)集合的包含關(guān)系或相等關(guān)系：(1)A={為12的正約數(shù)}與；(2)與{為4的正整數(shù)倍}.【答案】(1)(2)為的真子集【分析】（1）用列舉法表示出集合可得答案；（2）根據(jù)集合與里元素的性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，，所以?的真子集.15．（2022高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，寫(xiě)出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】解出集合，按元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)寫(xiě)出其子集即可.【詳解】由，得，解方程得或或，故集合.由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為；由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為；由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為；由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為,因此集合A的子集為:，，，．真子集為:，，.16．（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】【分析】由集合的包含關(guān)系，列不等式求m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得.當(dāng)時(shí)，如圖所示.

則，得，即，綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.17．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合．(1)若，為常數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)若，為常數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(3)若為常數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由集合的包含關(guān)系，分和兩種情況，列不等式求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）由集合的包含關(guān)系，列不等式求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）由集合的相等關(guān)系，列方程組求實(shí)數(shù)m的值.【詳解】（1）①若，滿(mǎn)足，則，解得．②若，滿(mǎn)足，則解得．由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）若，數(shù)軸表示如下：依題意有即此時(shí)m的取值范圍是．（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)m．若，則必有且，此時(shí)無(wú)解，即不存在使得的實(shí)數(shù)m．18．（2324高一上·云南昆明·期末）已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意首先有，得，結(jié)合包含關(guān)系列出方程組即可求解.（2）結(jié)合A是B的真子集列出不等式組即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉榉强諗?shù)集，得，解得，若，則，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2）若AB，則（等號(hào)不同時(shí)取得），解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19．（2324高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；(2)若，求的值組成的集合．【答案】(1)，是的真子集；(2)．【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出集合A與B，再判斷關(guān)系；（2）求出集合B，注意對(duì)與分類(lèi)討論，根據(jù)，列方程求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以B是A的真子集．（2）．若，則，是真子集成立；若，則，因?yàn)槭茿真子集，或，所以或．所以的值組成的集合．20．（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.(1)若，求出實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)得到，結(jié)合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，結(jié)合方程的兩根得到不等式，求出.【詳解】（1）因?yàn)?，故，又的兩根分別為，故，故；（2）因?yàn)?，故，又的兩根分別為，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．（2324高一上·上海嘉定·期中）已知集合(1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值(2)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍(3)若，求a的取值范圍【答案】(1)0或(2)(3)【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合二次方程的判別式分析求解；（2）分A中有一個(gè)元素或兩種情況，結(jié)合二次方程的判別式分析求解；（3）分類(lèi)討論A是否為空集以及是否為0，結(jié)合二次方程的判別式和韋達(dá)定理分析求解.【詳解】（1）若時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，可知方程為一元二次方程，則，解得；綜上所述：或.（2）若A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或，若A中有一個(gè)，由（1）可知：或；若，則，解得；綜上所述：a的取值范圍為.（3）因?yàn)?，則有：若，由（2）可知：；若，則有：若時(shí)，由（1）可知，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：a的取值范圍為.22．（2324高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合.(1)若，存在集合使得為的真子集且為的真子集，求這樣的集合；(2)若集合是集合的一個(gè)子集，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）確定，并求出集合，寫(xiě)出的真子集即得；（2）分類(lèi)討論，時(shí)滿(mǎn)足題意，時(shí)，由集合中的元素屬于集合，分別代入求出參數(shù)，得集合檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程的根的判別式，所以.又，故.由已知，得應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是的一個(gè)真子集，用列舉法可得這樣的集合共有6個(gè)，分別為.（2）當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)子集，此時(shí)對(duì)于方程，有，所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，因?yàn)?，所以不是的子集；同理?dāng)時(shí)，，，也不是的子集；當(dāng)時(shí)，，，也不是的子集.綜上，滿(mǎn)足條件的的取值范圍是.23．（2324高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，對(duì)于，若且，則稱(chēng)k為A的“孤立元”.給定集合，則A的所有子集中，只有一個(gè)“孤立元”的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)“孤立元”概念，分類(lèi)討論求解即可.【詳解】“孤立元”為的集合為，，，，“孤立元”為的集合為，，“孤立元”為的集合為，“孤立元”為的集合為，，“孤立元”為的集合為，，，，綜上：滿(mǎn)足題意的集合有13個(gè).故選：D24．（2122高一·全國(guó)·課后作業(yè)）定義A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．(1)求集合A?B的所有元素之和．(2)寫(xiě)出集合A?B的所有真子集．【答案】(1)9(2)?，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}【分析】（1）分別將A，B中的元素代入，從而求出A?B中的元素，進(jìn)而求出元素之和；（2）由（1）A?B＝{0