曲線與曲面積分練習題含答案

PAGEPAGE4第十一章曲線曲面積分練習題一、填空題1、設L是從點到點的一條光滑曲線，則2、設簡單閉曲線所圍成的面積為，則3、設，則曲面積分4、設曲線為，則5、設，則曲面積分6、設是球面的外側，則，7、設是曲面介于平面和之間部分的下側，則=（二）選擇題1、設是從點沿曲線到點的弧段，則曲線積分之值等于[](A)(B)(C)(D)2、設是由沿上半圓，經過到.則曲線積分[](A)(B)(C)(D)3、設，則曲線積分[](A)與L取向無關，與a，b大小有關(B)與L取向無關，與a，b大小無關(C)與L取向有關，與a，b大小有關(D)與L取向有關，與a，b大小無關4、設曲線L是區(qū)域的正向邊界，那么的面積為[](A)(B)(C)(D)5、設曲線積分與路徑無關，其中具有一階連續(xù)導數，且，則=[](A)(B)(C)(D)6、已知為某函數的全微分，則等于[](A)(B)(C)(D)7、設是部分錐面：，則曲=[](A)(B)(C)(D)（三）曲線積分的計算1、求，其中L是由所表示的曲線上相應于的一段弧.2、求，其中L是以為頂點的三角形邊界.B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy圖10.24、求，其中如圖10.2所示5、適當選取,使是某個函數的全微分,并求出。6、求,其中L為從點到點的一段弧7、試確定可導函數,使積分與路徑無關,且求為時的積分值.此處8、計算，其中為任意一條不通過原點的簡單光滑正向的封閉曲線.（四）.曲面積分的計算1、求，其中為錐面介于及之間的部分.2、求，為曲面被平面割下的部分3、求，為錐面及平面和所圍成的立體表面的外側4、計算,其中為連續(xù)函數，為平面在第四卦限部分的上側.5、設是橢球面的外側,求.（五）Green公式、Gauss公式與Stokes公式求，其中為取正向的圓周A(-1,1)O(0,0)B(2,0)C(2,1)xy求，其中A(-1,1)O(0,0)B(2,0)C(2,1)xy求，式中為由點沿曲線到點，再沿直線到點的路徑(圖10.3)4、求，其中是球面外側.5、求,為球面的外側.6、求，其中是曲面的下側.7、試求，其中為平面被三個坐標面所截成三角形的整個邊界，從軸正向看沿順時針方向.8、求，其中是圓周.若從軸正向看去，取逆時針方向.9、求.（一）1、2、3、04、5、6、7、（二）1、B2、A3、D4、C5、B6、D7、D（三）1、解（法一）,故原式=.（法二）容易看出積分弧段關于軸對稱，而被積函數是關于變量的奇函數，故2、解3、解由對稱性得，故4、解（法一）原式=（法二）因為,又,故原式=5、解因為令,比較系數得6、解,故積分與路徑無關,選取折線路徑原式=7、解令,則有,解一階線性非齊次微分方程得,代入得,,即.當為時,積分為8解設則，除去原點以外一切點上式都成立.①當曲線的內部不含原點時.②當曲線的內部含原點時,可在的內部做一個充分小的橢圓，從到.利用復連通域上的格林公式，有（四）1、解曲面在坐標平面上的投影為.,，故2、解設表示在第一卦限內部分，則3、解設，其中，在面上的投影分別為4、解化為第一類曲面積分，因為的正法線的方向余弦為原式5、解此題不能用Gauss公式，不滿足公式的條件.設是的上半橢球面的上側和下半橢球面的下側，在面的投影為，則同理得，所以（五）1、解令，則.由Green公式得2、解由Green公式得3、解補充點C(2,1)、直線段，則4、解由已知得，則由Gauss公式得原式=5、解記，利用Gauss公式，有原式=，由重