《張老師思維提升課》四年級L4講義

【好朋友湊整】例四年級第1講小數(shù)巧算技巧【知識點(diǎn)睛】2.125×7.5×32【1】湊整法在小數(shù)加法運(yùn)算中，便于計(jì)算。例【2】改順序0.125×0.25×0.5×64通過改變小數(shù)算式中的先后順序，使運(yùn)算簡①小數(shù)搬家②加括號③去括號④提取公因數(shù)【3】擴(kuò)縮法【提取公因數(shù)】例根據(jù)積不變變的規(guī)律來進(jìn)行巧算，就叫擴(kuò)縮法?！?】拆數(shù)法0.78×7.3﹣0.78×6.3例成比較簡單的數(shù)，常常需要先把一個(gè)小數(shù)拆也叫“分解分組法”。19.8+19.8×99例【5】代數(shù)法2.25×4.8+77.5×0.48在相同數(shù)字較多的小數(shù)算式中，用字母表示算這就是小數(shù)算式中的代數(shù)法。例【例題精講】2.009×43+20.09×2.9+200.9×0.28【分組湊整】例1.87+0.26+6.13+1.74例10.計(jì)算19.98×37+199.8×2.3+9.99×80例60.8﹣7.18﹣12.22【學(xué)習(xí)筆記】例56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67第1頁例2.帶分?jǐn)?shù)計(jì)算49四年級第2講分?jǐn)?shù)計(jì)算技巧【知識點(diǎn)睛】【1】湊整法整數(shù)，便于計(jì)算。例3.計(jì)算【2】改順序通過改變分?jǐn)?shù)式中的先后順序，使運(yùn)算簡便。常見有以下幾種方法：1例(1)加括號a+b-c=a+(b-c)a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-(b+c)5524（3518625(2)去括號例a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c(3)分?jǐn)?shù)搬家56324例（3a-b-c=a-c-ba-b+c=a+c-b【3】提取公因數(shù)巧算。如果乘積中另外幾個(gè)因數(shù)相加減的結(jié)果是一些比較簡單的數(shù)，那么計(jì)算就更為簡便。這種方法叫提取公因數(shù)法。5111149例9898【例題精講】【學(xué)習(xí)筆記】例1.列式計(jì)算122的5與3345311（2）乘與的差，所得的積再除以，486結(jié)果是多少？第2頁四年級第3講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【母積子不差】【知識點(diǎn)睛】例5.用簡便方法計(jì)算ba11111【1】【2】ababab11133517abab【例題精講】【母積子差】例6.用簡便方法計(jì)算例1.用簡便方法計(jì)算。111111114122334【母積子和】例2.用簡便方法計(jì)算。例7.用簡便方法計(jì)算22222481335577917133557791517例8.用簡便方法計(jì)算例3.用簡便方法計(jì)算。733332558838412558898【學(xué)習(xí)筆記】例4.用簡便方法計(jì)算。111111116第3頁四年級第4講定義新運(yùn)算【知識點(diǎn)睛】例a※b=a-b；如果a※b=b-a,【1】基本概念請計(jì)算：3※4※94※（1※7）含有多種基本(混合)運(yùn)算?！?】基本思路嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。例4：已知a,b是任意自然數(shù),我們規(guī)定:abab1,請計(jì)算：4[(6例如a☆b=3a-3b，新運(yùn)算使用的符號是☆，而等號右邊表示新運(yùn)算意義的則是四則運(yùn)算符號。【3】關(guān)鍵問題正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。【4】注意事項(xiàng)例5.附加題X算順序；定義：【x】=，求下面的值11＋X1②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用?！纠}精講】11【】＋【2】＋...＋【】＋【20081200732311例?－b，求2Δ1=？【【】111【學(xué)習(xí)筆記】例2.定義新運(yùn)算：a*b=a×(a+b)×b，求2*（2*3）的值。第4頁四年級第5講加法原理【分類枚舉——分類】【知識點(diǎn)睛】例3.甲、乙、丙三個(gè)工廠共訂300份報(bào)紙，每個(gè)工廠至少訂了99份，至多101份，問：一共有多少種不同的訂法？【1】定義做一件事情，完成它有n類方式，第一類方式有K1種方法，第二類方式有K2種方法，……，第n類方式有Kn種方法，那么完成這件事情K1+K2+……+Kn種方法。3分別有海共有k1+k2+k3種方式可以到達(dá)?！?】知識結(jié)構(gòu)例4.袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6有幾種可能？加法原理：分類計(jì)數(shù)、類類獨(dú)立。例5.數(shù)一下有多少個(gè)三角形？【例題精講】【分類枚舉——數(shù)出來的種類】例1.小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同的紀(jì)念品10種禮物可以有多少種不同的選法？【學(xué)習(xí)筆記】例2.陽光小學(xué)四年級有3個(gè)班，各班分別有18升旗手，有多少種選法？第5頁四年級第6講乘法原理例這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?【數(shù)字不能重復(fù)使用】【知識點(diǎn)睛】【1】定義n有m1第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有M=m×m×…×m種（2）有五張卡，分別寫有數(shù)字1、2、4、5、8?，F(xiàn)從中取出3張卡片，并排放在一起，組123n不同的方法?！?】知識結(jié)構(gòu)乘法原理：分步計(jì)數(shù)、步步相乘。例3.包含兩個(gè)五角星的長方形有多少個(gè)？【例題精講】例4101一共有多少種不同的買法?（2）“學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”這六個(gè)字要用66多少種不同的寫法？【學(xué)習(xí)筆記】第6頁四年級第7講加乘原理例能組成多少個(gè)小于1000的數(shù)字？【數(shù)字不能重復(fù)使用】【知識點(diǎn)睛】【1】加法原理是把完成一件事的方法分成幾，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和．（2）用0-9能組成多少個(gè)小于1000的【2】乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾各步方法數(shù)的乘積?！?】在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的分步．到1000一共出現(xiàn)多少個(gè)0？例3.地圖上有A四個(gè)國家(如下圖)，國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，有多少種染色方法？【例題精講】例6本不同的語文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、8從中任取1本書，共有多少種不同的取法?【學(xué)習(xí)筆記】（2）如果從中取出語文書、數(shù)學(xué)書、英語書各1本，共有多少種不同的取法?第7頁四年級第8講排列（3）由0，2，5，6，7，8組成無重復(fù)數(shù)字【知識點(diǎn)睛】【1】定義①四位偶數(shù)有多少個(gè)？②四位奇數(shù)有多少個(gè)？先后順序有關(guān)。【2】計(jì)算步驟例2（1）4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，2n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素；個(gè)元素之間有排列的順序；③那么一共有mn(nn2)(nm種排列方法。（2）書架上有3本故事書、2本作文選和1本漫畫書，全部豎起來排成一排．【例題精講】例1（1）紅黃綠三種不同的信號燈，能組成多少種不同的信號燈?【學(xué)習(xí)筆記】一共有多少種排隊(duì)方式？第8頁四年級第9講組合例3從15名同學(xué)里面選出5名同學(xué)去精選，要求某3名同學(xué)必須去，有多少種不同的選【知識點(diǎn)睛】【1】定義如在體育比出幾人參加某項(xiàng)活動等。這種“分組”問題，著重研究有多少種分組方法的問題?！?】計(jì)算步驟例4.【插空法】將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有多少種不同的放法？n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素；個(gè)元素組合在一起，沒有順序；③那么一共有n(nn2)(nm種組合方法。m(mm2)1例123人進(jìn)了電梯，其中至少有一個(gè)要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？【例題精講】例1.有六個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上．請問：以這些點(diǎn)為端點(diǎn)，一共可以連出多少條線段？【學(xué)習(xí)筆記】例2.從分別寫有1的五張題。求：（1）有多少個(gè)不同的乘積？（2）有多少個(gè)不同的乘法算式？第9頁四年級第10講排列組合例37個(gè)人排成一排，要求小明和小花不能挨著，那么一共有多少種排列方式？【知識點(diǎn)睛】從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合。【學(xué)習(xí)筆記】【例題精講】例1從5個(gè)男生和3個(gè)女生里面選出4法各有多少種。（1）恰好兩名女生參加。（2）至少一名女生參加。（3）指定兩名男生和一名女生同時(shí)入選。例2【捆綁、插空】7個(gè)人排成一排，要求小第10頁四年級第11講等差數(shù)列【知識點(diǎn)睛】例3一個(gè)等差數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大2，且首項(xiàng)是33，求末項(xiàng)是多少？如果每項(xiàng)比前一項(xiàng)小2【1】數(shù)列做第一項(xiàng)，也叫首項(xiàng)；第二個(gè)數(shù)叫做第二……最后一個(gè)數(shù)叫做末項(xiàng)叫做。例4對于數(shù)列4第10100是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)【2】等差數(shù)列具有這種特點(diǎn)的一組排列在一起的數(shù)列，叫做等差數(shù)列，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差叫做公。例5觀察數(shù)組(1，3)，(3，5)，(5（1）第20組中三個(gè)數(shù)的和【3】等差數(shù)列的基本公式（2）前20組中所有數(shù)的和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2=(末項(xiàng)－首項(xiàng))÷公差+1第n項(xiàng)=首項(xiàng)+(n-1)×公差【學(xué)習(xí)筆記】【例題精講】例11＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9例2(2+4+6+……+1996+1998+2000)-(1+3+5+7+……+1997+1999)第11頁四年級第12講平均數(shù)的認(rèn)識【知識點(diǎn)睛】例4個(gè)數(shù)改為1，那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是8，這個(gè)改動的數(shù)原來是多少？【1】平均數(shù)問題總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。【2】算術(shù)平均數(shù)已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：總數(shù)量÷總份數(shù)＝平均數(shù)【3】加權(quán)平均數(shù)例5成績平均分是96分，英語成績公布后，四科平均分下降了2多少。（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。【例題精講】例1萱萱在商店買了3斤水果糖、1斤花生287元，奶糖每斤10元，萱萱買的糖果平均每斤多少元？【學(xué)習(xí)筆記】例2請求出106、104這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)。例3了13頁，接下來的三天平均每天讀了17最后三天讀了41頁．她平均每天讀故事書多少頁？第12頁四年級第13講平均數(shù)的應(yīng)用【知識點(diǎn)睛】問題，叫做平均數(shù)問題。解答平均數(shù)問題時(shí)，要先求出總數(shù)量和總份的份數(shù)的和。公式：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)【例題精講】例5小紅的成績單被墨水弄臟了，請問數(shù)學(xué)多少分？例1四年級某尖子班有20人，平均體重是35千克。小山羊施展了一種魔法，把其中一個(gè)同學(xué)的體重變?yōu)?0體重就變成了37千克。這個(gè)同學(xué)原來體重是多少千克？例2教室有8名學(xué)生，他們的平均體重是9個(gè)人的平均體重是50千克，請問老師的體重是多少？【學(xué)習(xí)筆記】例3李軍玩飛鏢游戲，前5次平均環(huán)數(shù)是8環(huán)，5次中了幾環(huán)？第13頁四年級第14講例4.下圖中正方形的邊長為8為20厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米？組合圖形求面積（基礎(chǔ)）【知識點(diǎn)睛】【1】巧求面積計(jì)算出不能直接用公式的復(fù)雜圖形的面積，培間觀念，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。【2】方法例差是多少？法、差不變原理、容斥原理?！纠}精講】例1一個(gè)等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？例6如圖，平行四邊形BCEF中，BC=8直角三角形ABC積比三角形ADH的面積大8平方厘米，AH長多少厘米？例2已知大正方形的邊長是12厘米，求中間最小正方形的面積。例7【等積變形】如圖，大正方形邊長為108是多少？例3.【割補(bǔ)法】圖中三個(gè)正方形的邊長分別是1厘米和3的面積第14頁四年級第15講例3.如圖，已知四邊形的兩條邊長度和三個(gè)角的度數(shù)，求該四邊形面積。（單位：厘米）組合圖形求面積（提高）【知識點(diǎn)睛】【1】巧求面積間觀念，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。【2】原理例4.【割/補(bǔ)--復(fù)雜--容斥原理】已知大扇形和小扇形的半徑分別為5厘米和3差不變原理--容斥原理--勾股定理【3】方法【例題精講】例1厘米）例5.挑戰(zhàn)題：【整體思維+一半模型+割補(bǔ)法】6厘米和4厘米，陰影部分的面積和是10平方厘米，求四邊形ABCD的面積。例2.求下列組合圖形陰影部分的面積。（單位：厘米）【學(xué)習(xí)筆記】第15頁四年級第16講巧求周長【知識點(diǎn)睛】例3.【平移法】下圖是邊長為4影部分的周長【1】巧求周長運(yùn)用已經(jīng)學(xué)到的知識，用一些特殊的數(shù)學(xué)思維計(jì)算出不能直接用公式的復(fù)雜圖形的周長，培間觀念，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。【2】方法例4.【推導(dǎo)法】厘米，求最大的長方形周長【例題精講】例1.有5張同樣大小的紙如下圖所示重疊著，每張紙都是邊長為6分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長例5.【平移法】5厘米，零件長3530件的周長是多少厘米？例2.【旋轉(zhuǎn)法+平移法】各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米，現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？【學(xué)習(xí)筆記】第16頁四年級第17講雞兔同籠（基礎(chǔ)）【知識點(diǎn)睛】例2.有八爪魚和烏龜共2096只腳，八爪魚和烏龜各幾只？【1】抬腳法抬腿法一：假設(shè)每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設(shè)每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設(shè)每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設(shè)法①假設(shè)籠子里全是雞。②假設(shè)籠子里全是兔?！?】打包法例3.一個(gè)停車場共有車輛4143127個(gè)輪子，汽車和摩托車各有幾輛？分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設(shè)雞為x只，也可以設(shè)兔為x注意：不背公式，好好學(xué)方法?！纠}精講】例1.【抬腳法+假設(shè)法】【學(xué)習(xí)筆記】第17頁四年級第18講雞兔同籠（提高）【知識點(diǎn)睛】例3.搬運(yùn)100只玻璃瓶，規(guī)定搬一只可得運(yùn)費(fèi)35260元，打破幾個(gè)玻璃瓶？【1】抬腳法抬腿法一：假設(shè)每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設(shè)每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設(shè)每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設(shè)法例4.一次數(shù)學(xué)競賽共20得6分，做錯一道題倒扣2分，小明共得80分，他做對了幾道題？①假設(shè)籠子里全是雞。②假設(shè)籠子里全是兔?！?】打包法分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設(shè)雞為x只，也可以設(shè)兔為x注意：不背公式，好好學(xué)方法。【例題精講】【學(xué)習(xí)筆記】例1松鼠媽媽采松子，晴天每天采30個(gè)，雨天采10個(gè)，8天里一共采了200個(gè)，這幾8中有幾天有雨？例2一個(gè)班級30205每人捐款5元或者105元和捐款10元各幾人？第18頁四年級第19講雞兔同籠（尖子）【知識點(diǎn)睛】例384個(gè)人吃84個(gè)饅頭，3個(gè)大人吃44個(gè)小孩吃3個(gè)，大人和小孩各多少個(gè)？【1】抬腳法抬腿法一：假設(shè)每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設(shè)每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設(shè)每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設(shè)法例4.雙十一做活動，大雞腿5元一只，買三36①假設(shè)籠子里全是雞。②假設(shè)籠子里全是兔。【3】打包法分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設(shè)雞為x只，也可以設(shè)兔為x注意：不背公式，好好學(xué)方法?！纠}精講】例1.【打包法】雞兔一共1103【學(xué)習(xí)筆記】例2.雞兔一共184只腿，雞的數(shù)量是兔的212只，雞兔各幾只？第19頁四年級第20講雞兔同籠（學(xué)霸）【知識點(diǎn)睛】例3.有蜘蛛（8翅膀）和蟬（6條腿，一對翅膀）共18只，共有腿118條，翅膀20對，蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只？【1】抬腳法抬腿法一：假設(shè)每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設(shè)每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設(shè)每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設(shè)法①假設(shè)籠子里全是雞。②假設(shè)籠子里全是兔?！?】打包法分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設(shè)雞為x只，也可以設(shè)兔為x注意：不背公式，好好學(xué)方法。【例題精講】【學(xué)習(xí)筆記】例1.雞兔一共883倍少6只，雞兔各幾只？例2.雞與兔共100只，雞腳比兔腳少28雞兔各幾只？第20頁四年級第21講火車過橋例2一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到橋尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米？【知識點(diǎn)睛】【1】定義考慮到火車本身的長度。如果有些問題不容易作圖或演示的方法幫助解題。例3一列火車長63021秒，以同樣速度通過一座大橋用了1.5分鐘，這座大橋長多少米？【2】火車過橋問題常用方法①火車過橋時(shí)間是指從車頭上橋起到車尾離火車的路程是橋長與車身長度之和。②火車與人錯身時(shí)，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度;火車與火車錯身時(shí)，兩者路程和則為兩車身長度之和.③火車與火車上的人錯身時(shí)，只要認(rèn)為人具他所看到的錯車的相應(yīng)路程仍只是對面火車的長度.例4一個(gè)火車長20010秒，以同樣速度通過一座大橋了2分鐘，這座大橋長多少米？對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來進(jìn)行?！?】數(shù)量關(guān)系①火車過橋(或隧道)所用的時(shí)間=[橋(隧道長)+火車車長]÷火車的速度;【學(xué)習(xí)筆記】②兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時(shí)間=兩火車車身長度和÷兩車速度和;③兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時(shí)間=兩車車身長度和÷兩車速度差?！纠}精講】例1一列火車長200米，以60米每秒的速度前進(jìn)，它通過一座220米長的大橋用時(shí)多少第21頁四年級第22講流水行船【知識點(diǎn)睛】例3兩個(gè)碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時(shí)，逆流而上，行完全程16小時(shí)，求這條河水流速度?！?】定義和差問題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取Ｄ嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣??！?】解題關(guān)鍵【學(xué)習(xí)筆記】解答。解題時(shí)要以水流為線索。順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）÷2流水速度=（順流速度—逆流速度）÷2路程=順流速度×順流航行所需時(shí)間路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間【例題精講】例1某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花8每小時(shí)3千米，從乙地返回甲地需要多少時(shí)例2一只小船靜水速度為每小時(shí)25千米，它144千米的河水中逆水而行用了8返回原處需要用幾小時(shí)？第22頁四年級第23講牛吃草問題（基礎(chǔ)）【知識點(diǎn)睛】此類問題?！?】定義【例題精講】解決這類問題需要考慮草邊吃邊長這個(gè)因素。例1一塊草場，27頭牛吃6天，23頭牛吃9天，21頭牛吃多少天吃完？【2】基本公式①草的生長速度=對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)÷(吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù));例2有一塊勻速生長的草地，可供1225天，或可供24頭牛吃10天，那么這塊草地可供幾頭牛吃20②原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長速度吃的天數(shù);③吃的天數(shù)=原有草量÷(牛頭數(shù)-草的生長速度);④牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長速這四個(gè)公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。由于牛消長問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。例3一片草地，24頭牛6天吃完，21頭牛8幾頭牛?【3】方法歸納??般的解法可總結(jié)為：11天吃草量為②草的長速度=(對應(yīng)的頭數(shù)×較多天數(shù)-對應(yīng)?的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)-較少天數(shù))；【學(xué)習(xí)筆記】③原來的草量=對應(yīng)的頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的長速度×吃的天數(shù)；④吃的天數(shù)=原來的草量÷(牛的頭數(shù)-草的?長速度)；⑤?的頭數(shù)=原來的草量÷吃的天數(shù)+草的?長速度。第23頁四年級第24講牛吃草問題（提高）【知識點(diǎn)睛】此類問題。【1】定義【例題精講】解決這類問題需要考慮草邊吃邊長這個(gè)因素。例1一個(gè)水池邊注水邊排水，如果24根排水管6天排完，如果21根排水管8天排完，那么16根水管多久可以排完？【2】基本公式①草的生長速度=對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)÷(吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù));②原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長速度吃的天數(shù);例2水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完，6人淘水16分鐘可以淘完，那么5人淘水幾分鐘淘完？③吃的天數(shù)=原有草量÷(牛頭數(shù)-草的生長速度);④牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長速這四個(gè)公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。由于牛消長問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量?！?】方法歸納??般的解法可總結(jié)為：11天吃草量為②草的長速度=(對應(yīng)的頭數(shù)×較多天數(shù)-對應(yīng)?的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)-較少天數(shù))；【學(xué)習(xí)筆記】③原來的草量=對應(yīng)的頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的長速度×吃的天數(shù)；④吃的天數(shù)=原來的草量÷(牛的頭數(shù)-草的?長速度)；⑤?的頭數(shù)=原來的草量÷吃的天數(shù)+草的?長速度。第24頁四年級第25講植樹問題（1）【知識點(diǎn)睛】例2【一端種樹】一條路的一側(cè)只一端種樹，一共種樹30棵，5米種一棵，這條路一共有多少米？【1】定義總四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。【2】解題關(guān)鍵圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。例3.【兩端都不種】【3】基本公式一條路的一側(cè)共種30棵樹，兩端都不種，每隔5米種一棵，這條路一共有多少米？①沿線段植樹兩端種樹：棵數(shù)=間隔數(shù)+1棵數(shù)=總距離÷株距+1株距=總距離÷（棵數(shù)-1）總距離=株距×（棵數(shù)-1）一端種樹：棵數(shù)=間隔數(shù)棵數(shù)=總距離÷株距株距=總距離÷棵數(shù)總距離=株距×棵數(shù)兩端都不種：例4.【沿周長植樹】1206米栽一株月季，一共可以栽多少株月季？棵樹=間隔數(shù)-1棵數(shù)=總距離÷株距-1株距=總距離÷（棵數(shù)+1）總距離=株距×（棵數(shù)+1）②沿周長植樹棵數(shù)=間隔數(shù)棵數(shù)=總距離÷株距株距=總距離÷棵數(shù)總距離=株距×棵數(shù)【學(xué)習(xí)筆記】【注意事項(xiàng)】注意棵數(shù)和間隔數(shù)（株距）之間的關(guān)系【例題精講】例1【兩端種樹】一條路的一側(cè)從頭到尾種樹30棵，每隔5米種一棵，一共多少米？第25頁四年級第26講植樹問題（2）【知識點(diǎn)睛】例2在周長為4008米2【1】定義總四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。【2】解題關(guān)鍵例3學(xué)校大門上掛了紅、綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了2130分米掛一只2大門有多寬？圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算?！?】基本公式①沿線段植樹兩端種樹：棵數(shù)=間隔數(shù)+1棵數(shù)=總距離÷株距+1株距=總距離÷（棵數(shù)-1）總距離=株距×（棵數(shù)-1）一端種樹：例4一根木料在24秒內(nèi)被鋸成4段，用同樣的速度鋸成5段，需幾秒？棵數(shù)=間隔數(shù)棵數(shù)=總距離÷株距株距=總距離÷棵數(shù)總距離=株距×棵數(shù)兩端都不種：棵樹=間隔數(shù)-1棵數(shù)=總距離÷株距-1株距=總距離÷（棵數(shù)+1）總距離=株距×（棵數(shù)+1）②沿周長植樹例5小胖從1樓爬上3樓用12秒，那么1樓9樓用幾秒？棵數(shù)=間隔數(shù)棵數(shù)=總距離÷株距株距=總距離÷棵數(shù)總距離=株距×棵數(shù)【學(xué)習(xí)筆記】【注意事項(xiàng)】注意棵數(shù)和間隔數(shù)（株距）之間的關(guān)系【例題精講】例1馬路的一邊從頭到尾每相隔6米栽有一棵9分鐘共看到301棵松樹，貝貝騎車每分鐘行多少米？第26頁四年級第27講相遇問題（基礎(chǔ)）【知識點(diǎn)睛】例3快車和慢車同時(shí)從甲、乙兩地相向發(fā)車，快車每小時(shí)403行駛超出了中點(diǎn)257千米才能相遇，慢車每小時(shí)多少千【1】定義途中相遇，這類應(yīng)用題叫做相遇問題?！?】數(shù)量關(guān)系相遇時(shí)間＝總路程÷(甲速＋乙速)甲速+乙速=總路程÷相遇時(shí)間總路程＝(甲速＋乙速)×相遇時(shí)間【3】解題思路和方法后再利用公式。例4.甲、乙兩人從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度為5018分鐘，3450人會相遇？【例題精講】例1從南京到上海的水路長392千米，同時(shí)的輪船每小時(shí)行28每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？【學(xué)習(xí)筆記】例2甲、乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而甲每小時(shí)行1513千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。第27頁四年級第28講相遇問題（提高）【知識點(diǎn)睛】例3甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距離A地60千米處第一次相遇。各自到達(dá)對方出發(fā)地后立即返回，途中又在距離A地40兩地相距多少千米？【1】定義途中相遇，這類應(yīng)用題叫做相遇問題?！?】數(shù)量關(guān)系相遇時(shí)間＝總路程÷(甲速＋乙速)甲速+乙速=總路程÷相遇時(shí)間總路程＝(甲速＋乙速)×相遇時(shí)間【3】解題思路和方法后再利用公式。【學(xué)習(xí)筆記】【例題精講】例1A、B兩地相距1800米，甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每分鐘50乙每分鐘4015多少分鐘兩人相遇？例2東、西兩鎮(zhèn)相距20千米，甲、乙兩人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相背而行，甲每小時(shí)行走的路程是乙的2小時(shí)后兩人相距56千米，兩人速度各是多少？第28頁四年級第29講追及問題（基礎(chǔ)）【知識點(diǎn)睛】例2小明每分鐘走80米，小亮每分鐘走了5分鐘，甲乙兩地相距多少米？【1】定義①兩個(gè)運(yùn)動物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)(或者又不是同時(shí)出發(fā))作同向運(yùn)動，進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，類應(yīng)用題就叫做追及問題。②追及問題的核心問題是速度差物體就能追上前面慢的物體。例3小明和小亮在300米環(huán)形跑道上跑步，小明每秒跑7米，小亮每秒跑6兩人同間第二次相遇？【2】數(shù)量關(guān)系追及時(shí)間＝追及路程÷(快速－慢速)追及路程＝(快速－慢速)×追及時(shí)間追及路程＝快的所走路程-慢的所走路程追及路程＝快的速度×追及時(shí)間-慢的速度×追及時(shí)間追及路程＝速度差×追及時(shí)間【學(xué)習(xí)筆記】【例題精講】例1好馬每天走12075千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？第29頁四年級第30講追及問題（提高）【知識點(diǎn)睛】例2.一輛公共汽車早上6A40千米/時(shí)的速度開向B地，3小時(shí)后小轎車以75千米/時(shí)速度從A地開往BBB160千米。小轎車幾點(diǎn)到達(dá)B【1】定義①兩個(gè)運(yùn)動物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)(或者又不是同時(shí)出發(fā))作同向運(yùn)動，進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，類應(yīng)用題就叫做追及問題。例3.紅紅和明明從西村和東村同時(shí)向西而行，明明騎車的速度是每小時(shí)16千米，紅紅步行的速度是每小時(shí)8小時(shí)后明明追上了紅紅。求東、西村的距離。②追及問題的核心問題是速度差物體就能追上前面慢的物體?！?】數(shù)量關(guān)系追及時(shí)間＝追及路程÷(快速－慢速)追及路程＝(快速－慢速)×追及時(shí)間追及路程＝快的所走路程-慢的所走路程追及路程＝快的速度×追及時(shí)間-慢的速度×追及時(shí)間例4.小明由家去學(xué)校，每分鐘走150米，出發(fā)10分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)書落在家里了。急忙275300學(xué)校一共用了多少分鐘？追及路程＝速度差×追及時(shí)間【例題精講】【學(xué)習(xí)筆記】例1.甲每分鐘行70米，乙每分鐘行駛502:006才能追上乙？第30頁四年級第31講年齡問題（基礎(chǔ)）【知識點(diǎn)睛】例4.小胖比他的表姐小12歲，4年后表姐年齡是小胖的3倍，求小胖和表姐今年的年齡【1】定義差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”?！?】解題關(guān)鍵善于利用差不變的特點(diǎn)。例5.大伯的年齡比小強(qiáng)的512小強(qiáng)的316歲，求大伯的年齡。①年齡差不變--同增同減②和差+和倍+差倍③“畫線段”大招【例題精講】例1.老師說：“當(dāng)我像你這么大的時(shí)候你5歲，當(dāng)你像我這么大時(shí)我41歲”，求老師多例2.爸爸今年336爸爸的年齡是小花的4【學(xué)習(xí)筆記】例3.父親和女兒今年的年齡和42歲，3父親的年齡是女兒的3多少歲？第31頁四年級第32講年齡問題（提高）【知識點(diǎn)睛】例4.若小花長大歲則和小倩現(xiàn)在年齡一樣大，若小倩長大33歲則剛好是小花今年年齡的6倍，小花和小倩今年各多少歲？【1】定義差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”?！?】解題關(guān)鍵善于利用差不變的特點(diǎn)。例5.爸爸今年4515歲、11歲、老三7歲，多少年后爸爸的年齡等于三個(gè)孩子的年齡和？①年齡差不變--同增同減②和差+和倍+差倍③“畫線段”大招【例題精講】例1.6年前，母親的年齡是兒子的5年后母子共78歲，母親今年多少歲？例2.媽媽15年前的年齡相當(dāng)于兒子9年后的4少歲？【學(xué)習(xí)筆記】例3.今年媽媽的年齡是鐵蛋的4倍，假如媽媽減少32歲，鐵蛋減少5歲，兩人的年齡就會相等，媽媽今年多少歲？第32頁參考答案第2講分?jǐn)?shù)巧算技巧例1（1）商是24（2）結(jié)果是3例22499第1講小數(shù)巧算技巧例11.87+0.26+6.13+1.74=（1.87+6.13）+（0.26+1.74）=8+21例31=10例260.8﹣7.18﹣12.22=60.8﹣（7.18+12.22）=60.8﹣19.4例473例5104例6=41.41例356.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67=(56.43+13.57)+(12.96-8.96)-(4.33+5.67)=70+4-10例79=64第3講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)例42.125×7.5×32=2.125×8×7.5×4=17×30例1例2例3例4例5例6例7例8=510例50.125×0.25×0.5×64=0.125×0.25×0.5×（8×4×2）=1259例60.78×7.3﹣0.78×6.3=0.78×（7.3﹣6.3）=0.78×1=0.78例719.8+19.8×99=19.8×（1+99）=19.8×100=1980例82.25×4.8+77.5×0.48=2.25×4.8+7.75×4.8=（2.25+7.75）×4.8=10×4.8第4講定義新運(yùn)算例14例21920=48例33※4※9=84※（1※7）=2例422例92.009×43+20.09×2.9+200.9×0.28=20.09×4.3+20.09×2.9+20.09×2.8=20.09×（4.3+2.9+2.8）=20.09×101例52=200.9例1019.98×37+199.8×2.3+9.99×80=19.98×37+19.98×23+19.98×40=19.98×（37+23+40）=1998第5講加法原理例138例254第33頁例3甲廠可以訂份報(bào)紙三種方第8講排列例1（1）6（2）24（3）①204②96例2（1）分為三步：如果甲廠訂99份，乙廠有訂100101份兩種方法，丙廠隨之而定；4×3×2×1=24種不同的排法；如果甲廠訂100份，乙廠有訂99份、100份和101份三種方法，丙廠隨之而定；如果甲廠訂101份，乙廠有訂99100份兩種方法，丙廠隨之而定；第二步：2個(gè)女生排次序一共有2種方法；的男生中間，一共有5個(gè)位置可插；24×2×5=240種排法。（2）①可以分三步來排：先排故事書，有3×2×1=62×1=2種1作文選、漫畫書的先后順序也可以相互交換，排列的先后順序有原理，一共有6×2×1×6=72種排法。②可以看成3+2+1=66×5×4×3×2×1=720種排法。根據(jù)加法原理，一共有2+3+2=7種訂報(bào)方法。例4如果沒拿紅球，那么拿（黃、白）球的2）4如果拿1（4、1）5如果拿2有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5如果拿3有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4第9講組合例115例2（1）10（2）20例366例524例410例591第6講乘法原理例1（1）40（2）720例2（1）96（2）36例3長方形有24個(gè)第10講排列組合例1（1）30種（2）65種例21440種（3）5種例33600種第7講加乘原理例1（1）18（2）192第11講等差數(shù)列例145例2（1）31（2）1000（3）192例3A有3種顏色可選。例21000當(dāng)B，C取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，D2同的涂法有3×2×2=12例3每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大57；每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小2，