利用旋轉(zhuǎn)變換求解初中幾何問題-國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

由于旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，因此旋轉(zhuǎn)變換是我們?cè)诮鉀Q初中幾何問題時(shí)可以考慮的一種重要手段.在初中具有一定難度.尤其是題目中不直接給出旋轉(zhuǎn)等信息，同學(xué)們?cè)诮獯饡r(shí)就無件,巧用旋轉(zhuǎn)變換就能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.本文收集部分試題并將其進(jìn)行歸納進(jìn)而總結(jié)旋轉(zhuǎn)變換類題目的解題策略?！娟P(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)變換；初中數(shù)學(xué)；幾何問題【收稿日期】2023年11月8日【出刊日期】2023年12月25日【DOI】10.12208/j.aam.20231027directionandacertainAngleinaplaneasarotationtransformation,beidentical,sotherotationtransformationisanimportantmeansthatwecanconsiderwhensolvingjuniorhicombinedwithavarietyofcarrierssuchastriangles,rectangles,circles,etc.,toexaminetheAsize,maximumvalueandothercalculationorproofproblems,whichputsforwardhigherrequirementsforstudents'iftheinformationsuchasrotationiansweringthequestion,butiftheycancarefullyobservetheconditionsofthequestion,theskillfuluseofrotationandthensummarizesthesolvingstrategyoftherotatingtransformationclassquestions.【Keywords】Rotationtransformation;Juniorhighschoolmathematics;GeometricproblemAB、BC上的點(diǎn)，若△BKN的周長(zhǎng)為AB的2倍，求上KDN的度數(shù)。解析：將△ADK繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至△CDK'，則由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得DK=DK'，上ADK=上CDK'。由△BKN的周長(zhǎng)為AB的2倍，AB=BC，得KN=AK+NC。進(jìn)而KN=K'N。利用旋轉(zhuǎn)變換求解初中幾何問題所以上KDN=上K'DN=上ADC=22.5°。評(píng)注：本題是利用旋轉(zhuǎn)變換求角度問題，考查旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、對(duì)四邊形角度和線段關(guān)系的處理系在四邊形ABCD中都比較分散，考慮是否可以通過旋轉(zhuǎn)變換集中到一個(gè)三角形中討論，觀察發(fā)現(xiàn)存在特殊角45°,且AD=CD，可以確定旋轉(zhuǎn)方向和角度，從而將要求角度轉(zhuǎn)換為目標(biāo)圖形中的角度。本題可解析：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACD'，得DE=D'E。'=5，在Rt△D'CH中，由30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半可得且EH=CE?CH=由勾股定理D'H=在Rt△D'HE中，再由勾股定理可得D'E2=D'H2+EH2=49，所以DE=D'E=7。等三角形的性質(zhì)求得DE的長(zhǎng)度。本題鍛煉同學(xué)們幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。例3如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是3、4、5，求△ABC的面積。由旋轉(zhuǎn)變換得BE=BP=4，AE=PC=5，上PBE=60°。在Rt△APF中，AF=，PF=在Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2=25+123。所以S△ABC=有直接聯(lián)系，考慮是否可以通過旋轉(zhuǎn)變換集中到一個(gè)三角形中討論，并由圖形中存在特殊角60°,且AB=BC，從而確定旋轉(zhuǎn)方向和角度，運(yùn)用全等的性質(zhì)得到邊與角的關(guān)系，連接EP，可以得到兩個(gè)特殊三角形，從而得到上APB的度數(shù)，通過添加輔助線將邊長(zhǎng)AB放入直角三角形中運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解，進(jìn)而求得△ABC的面積。本題鍛煉同學(xué)們幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力[3]。例4在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E為BC上一點(diǎn)，且B連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，求CG最小值。由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得CG=C'F。過點(diǎn)C'作C'H⊥BC，C'F'⊥AB。在矩形BHC'F'中，C'F'=BH=BE+EC'=BE+利用旋轉(zhuǎn)變換求解初中幾何問題往涉及動(dòng)點(diǎn)，解決此類問題我們應(yīng)在變化的量中抓住不變的量[4]，本題在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，△EFG始終為等邊三角形，故存在特殊角60°且EF=EG，從而確定旋轉(zhuǎn)方向和角度，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)將題目轉(zhuǎn)換為求C'F最小值，利用垂線段最短即可。本題鍛煉同學(xué)們幾何直觀、邏輯推理能力。P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O為費(fèi)馬點(diǎn)）由旋轉(zhuǎn)變換得△BPC?△BP'C'，△BOC?△BO'C'。連接OO'、PP'。易證AP+PP'+P'C'≥AC'=AO+OO'+O'C'。即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。目中只給出角度要證明線段之間的不等關(guān)系直接證明比較困難，因此我們首先可以想到的方法是將線段進(jìn)AD=CD，求證：BD2=AB2+BC2。解析：將△BCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ECA，連接BD、BE。在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2。即BD2=AB2+BC2。利用旋轉(zhuǎn)變換求解初中幾何問題中線段較為分散考慮是否可以通過旋轉(zhuǎn)變換將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換并集中到一個(gè)三角形中討論，故想到連接AC°得到△ACD為等邊三角形，上ACD=60，且AC線構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得到結(jié)論。本題鍛煉同學(xué)們幾何直觀、邏輯[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2011.[2]李鍵,李永忠.例談旋轉(zhuǎn)變換在幾何試題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2023,(20):11-13.[3]張東芳,濮安山.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換巧解中考數(shù)學(xué)題例析[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2022,(22):39-41.[4