第21章　第9課時　實際問題與一元二次方程(二)(互贈、握手、數(shù)字問題) 　教學設(shè)計　2024-2025學年人教版數(shù)學九年級上冊

第21章第9課時實際問題與一元二次方程(二)(互贈、握手、數(shù)字問題)教學設(shè)計2024—2025學年人教版數(shù)學九年級上冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間設(shè)計思路本節(jié)課圍繞實際問題與一元二次方程的運用，以互贈、握手、數(shù)字問題為情境，引導學生通過建立方程解決現(xiàn)實生活中的問題。結(jié)合人教版數(shù)學九年級上冊第21章第9課時的內(nèi)容，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和解決問題的能力。課程設(shè)計以課本為核心，通過情境創(chuàng)設(shè)、問題引導、合作探討、鞏固練習等環(huán)節(jié)，幫助學生掌握一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，發(fā)展學生的邏輯思維與創(chuàng)新意識。通過解決互贈、握手、數(shù)字問題，使學生能夠建立并運用一元二次方程模型，提升數(shù)學抽象與建模素養(yǎng)。同時，通過小組合作探討，增強學生的團隊協(xié)作與交流表達，提高學生的數(shù)學應(yīng)用與問題解決素養(yǎng)。教學難點與重點1.教學重點

-掌握一元二次方程的標準形式和求解方法。例如，在解決互贈禮物問題時，學生需要能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為求解ax^2+bx+c=0的形式，并運用求根公式進行解答。

-能夠根據(jù)實際問題建立一元二次方程模型。如握手問題中，學生需要理解每個人握手的次數(shù)與總握手次數(shù)的關(guān)系，并據(jù)此列出方程。

-培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。例如，在數(shù)字問題中，學生需要能夠從題目中提取關(guān)鍵信息，構(gòu)建方程，從而解決具體問題。

2.教學難點

-理解并運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。在解決互贈問題時，學生可能難以理解方程的根如何代表具體的人數(shù)或物品數(shù)量，需要通過具體例子進行講解和練習，如設(shè)x為某人的互贈對象數(shù)，則方程的根即為具體的人數(shù)。

-突破方程建模的障礙。在握手問題中，學生可能難以理解為何總握手次數(shù)是偶數(shù)，以及如何通過方程表示這一關(guān)系。教師可以通過實際操作或圖示來幫助學生形象地理解握手的對稱性，從而簡化建模過程。

-解決數(shù)字問題中的逆向思維。在數(shù)字問題中，學生可能不習慣從結(jié)果反推條件，如已知一個兩位數(shù)的數(shù)字之和與數(shù)字之積的關(guān)系，需要逆向構(gòu)建方程。教師應(yīng)通過逐步引導，幫助學生建立逆向思維的解題習慣。教學方法與手段1.教學方法

-采用講授法，系統(tǒng)地介紹一元二次方程的解法及其在實際問題中的應(yīng)用，確保學生掌握必要的理論知識。

-運用討論法，組織學生針對具體問題進行小組討論，鼓勵他們提出解題思路，共同探討解決問題的方法。

-實施問題驅(qū)動法，通過提出實際問題，引導學生主動發(fā)現(xiàn)并解決問題，培養(yǎng)他們的探究精神和解決問題的能力。

2.教學手段

-使用多媒體設(shè)備展示一元二次方程的圖像，幫助學生直觀理解方程的根與圖像的關(guān)系。

-利用教學軟件模擬實際問題的情景，如握手和互贈問題，讓學生在虛擬環(huán)境中操作，增強實踐體驗。

-通過在線平臺分享優(yōu)秀解題案例，拓寬學生的解題思路，提高他們的自主學習能力。教學流程1.導入新課（5分鐘）

以生活中的簡單實例（如人數(shù)統(tǒng)計問題）引導學生思考如何用數(shù)學方法解決，自然過渡到一元二次方程的應(yīng)用。提出問題：“如果你和你的朋友互贈禮物，如何計算總共需要準備多少禮物？”通過這個問題激發(fā)學生的興趣，引出一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用。

2.新課講授（15分鐘）

-講解一元二次方程的基本概念，包括標準形式、根的概念以及求根公式，結(jié)合課本中的例子進行演示。

-通過互贈問題，展示如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程。例如，如果有5個人互贈禮物，每個人送出4份禮物，總共送出了多少份？引導學生列出方程并求解。

-利用握手問題，讓學生理解方程的根與實際問題中的具體人數(shù)的關(guān)系。例如，如果5個人握手，總共會發(fā)生多少次握手？引導學生構(gòu)建方程并解釋為什么總握手次數(shù)是10。

3.實踐活動（10分鐘）

-讓學生獨立解決一個數(shù)字問題，如“一個兩位數(shù)的十位數(shù)是個位數(shù)的兩倍，且它們的和是12，求這個數(shù)?！睂W生需要建立方程并求解。

-通過小組合作，解決一個握手問題的變體，如“一個班級有30名學生，如果每兩名學生之間都要握手一次，總共會有多少次握手？”

-讓學生嘗試解決一個互贈問題的變體，例如，“一個團隊有8名成員，他們決定互贈禮物，每個人送出相同數(shù)量的禮物，且每個人收到的禮物總數(shù)相同，求每個人送出了多少份禮物。”

4.學生小組討論（10分鐘）

-讓學生討論以下問題：“在解決握手問題時，為什么總握手次數(shù)是偶數(shù)？”學生需要通過討論理解握手的對稱性。

-討論如何將一個復(fù)雜的實際問題簡化為一元二次方程，例如，將一個涉及多個變量的問題轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的方程。

-讓學生分享在解決數(shù)字問題時遇到的問題和解決方法，討論如何從結(jié)果反推方程的建立。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，總結(jié)解決互贈、握手、數(shù)字問題的方法和步驟。通過提問的方式檢查學生對課程內(nèi)容的理解，例如：“在解決互贈問題時，我們首先需要做什么？如何確保我們的方程是正確的？”確保學生能夠?qū)⑺鶎W知識應(yīng)用到實際問題中。教學資源拓展1.拓展資源

-一元二次方程的擴展：介紹一元二次方程的其他解法，如配方法、因式分解法等，以及它們在實際問題中的應(yīng)用。

-實際問題案例：收集更多類型的實際問題，如投資問題、面積問題、速度問題等，這些問題都可以通過一元二次方程來解決。

-數(shù)學建模：介紹如何將現(xiàn)實生活中的復(fù)雜問題簡化為一元二次方程模型，以及如何從實際問題中提取關(guān)鍵信息來建立方程。

-方程的歷史背景：介紹一元二次方程在數(shù)學發(fā)展史上的地位，以及歷史上數(shù)學家對方程求解方法的貢獻。

-數(shù)學思維訓練：提供一些數(shù)學思維訓練題，如邏輯推理題、數(shù)學謎題等，這些題目能夠幫助學生鍛煉數(shù)學思維和解決問題的能力。

2.拓展建議

-鼓勵學生在課后自主搜索相關(guān)的實際問題，嘗試用一元二次方程解決，并分享解題過程和經(jīng)驗。

-建議學生閱讀數(shù)學歷史書籍或文章，了解一元二次方程的發(fā)展過程，增加對數(shù)學學科的興趣。

-建議學生參與數(shù)學競賽或挑戰(zhàn)活動，通過解決更復(fù)雜的問題來提高自己的數(shù)學能力。

-推薦學生閱讀數(shù)學雜志或期刊，特別是那些包含實際問題解決的專欄，以獲得更多的數(shù)學知識和解題靈感。

-鼓勵學生組建學習小組，定期討論和解決一元二次方程相關(guān)的實際問題，相互學習和幫助。

-建議學生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線教育平臺和數(shù)學論壇，與其他學生和教師交流一元二次方程的學習心得和解題技巧。

-提議學生在日常生活中注意觀察，尋找可以用一元二次方程來解決的問題，將數(shù)學知識與實際生活緊密結(jié)合。課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)（5分鐘）

在課堂的最后，教師應(yīng)引導學生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容和學習目標。首先，教師可以簡要復(fù)述一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，包括互贈、握手和數(shù)字問題。接著，強調(diào)一元二次方程的建立和解法，以及如何從實際問題中抽象出數(shù)學模型。最后，教師可以總結(jié)學生在課堂上的表現(xiàn)，指出他們在理解和應(yīng)用一元二次方程方面的進步，以及仍需改進的地方。

具體小結(jié)內(nèi)容如下：

-回顧一元二次方程的標準形式和求解方法。

-強調(diào)在實際問題中建立方程的步驟和注意事項。

-分享學生在課堂討論中的亮點和不足，鼓勵他們在課后繼續(xù)努力。

-提醒學生復(fù)習課本相關(guān)章節(jié)，鞏固所學知識。

當堂檢測（10分鐘）

為了檢驗學生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，教師可以設(shè)計一些當堂檢測題目。這些題目應(yīng)涵蓋本節(jié)課的重點和難點，旨在幫助學生鞏固所學知識，并能夠立即反饋學習效果。

1.選擇題：給出一個握手問題的情境，讓學生選擇正確的方程形式。

-一個班級有20名學生，每兩名學生之間都要握手一次，請問總共會發(fā)生多少次握手？

A.190次B.210次C.220次D.240次

2.填空題：讓學生完成一個數(shù)字問題的方程。

-一個兩位數(shù)的個位數(shù)是十位數(shù)的3倍，且這個兩位數(shù)是18的倍數(shù)，求這個數(shù)。（答案：72）

3.解答題：給出一個互贈問題的情境，要求學生建立方程并求解。

-有6個人互贈禮物，每個人送出5份禮物，求每個人收到多少份禮物。

4.簡答題：讓學生解釋一元二次方程的根在實際問題中的意義。

-當我們解決握手問題時，方程的根代表什么？內(nèi)容邏輯關(guān)系①一元二次方程的基本概念

-知識點：一元二次方程的定義、標準形式、根的概念。

-詞：一元、二次、方程、標準形式、解、根。

-句：一元二次方程的標準形式是ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

②實際問題與一元二次方程的關(guān)聯(lián)

-知識點：如何從實際問題中提取信息，建立一元二次方程模型。

-詞：實際、問題、信息、提取、建立、模型。

-句：解決實際問題時，首先要識別關(guān)鍵信息，然后根據(jù)信息建立相應(yīng)的一元二次方程。

③一元二次方程的求解方法

-知識點：求根公式、配方法、因式分解法等。

-詞：求根、公式、配方法、因式分解、解法。

-句：一元二次方程可以通過求根公式或配方法、因式分解法來求解，具體方法取決于方程的特點。教學反思與改進在完成本節(jié)課的教學后，我進行了一系列的反思活動，以評估教學效果并識別需要改進的地方。以下是我的反思和改進措施：

在設(shè)計反思活動時，我首先回顧了學生的學習反饋。通過課堂問答和學生的作業(yè)，我發(fā)現(xiàn)大部分學生能夠理解一元二次方程的基本概念，但在將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程時，一些學生仍然感到困難。我也注意到，在小組討論環(huán)節(jié)，一些學生參與度不高，可能是因為他們對于如何開始解題感到迷茫。

針對這些情況，我制定了以下改進措施：

1.加強實際問題的解析

在未來的教學中，我會更多地使用實際生活中的案例來引導學生理解一元二次方程的應(yīng)用。我會詳細講解如何從實際問題中提取關(guān)鍵信息，以及如何構(gòu)建方程。例如，在講解握手問題時，我會更清晰地解釋為什么總握手次數(shù)是偶數(shù)，以及如何通過方程表示這一關(guān)系。

2.提供更多的示例和練習

我會準備更多的示例和練習題，以幫助學生鞏固一元二次方程的建立和解法。這些練習將包括不同難度的問題，以滿足不同層次學生的需求。我還會鼓勵學生在課堂上分享他們的解題過程，以便其他學生可以從他們的方法中學習。

3.改進小組討論環(huán)節(jié)

為了提高小組討論的效率，我會提前為學生提供一些引導問題，幫助他們開始討論。我也會在課堂上更頻繁地走動，觀察小組討論的情況，確保每個學生都參與其中。此外，我會考慮在小組討論后增加一個小組匯報環(huán)節(jié)，讓每個小組有機會分享他們的討論成果。

4.強化數(shù)學思維訓練

我會增加一些數(shù)學思維訓練的環(huán)節(jié)，如邏輯推理題和數(shù)學謎題，以提高學生的邏輯思維和問題解決能力。這些活動不僅能夠激發(fā)學生的興趣，還能夠幫助他們更好地理解數(shù)學概念。

5.定期復(fù)習和反饋

為了確保學生能夠長期記住所學的知識，我會定期安排復(fù)習課，并讓學生進行自我評估。我還會收集學生的反饋，了解他們在學習過程中遇到的困難，并根據(jù)反饋調(diào)整教學方法。課后作業(yè)1.數(shù)字問題

已知一個兩位數(shù)的個位數(shù)是十位數(shù)的平方，且這個兩位數(shù)大于20。求這個數(shù)。

解答：設(shè)十位數(shù)為x，則個位數(shù)為x^2。根據(jù)題意，有10x+x^2>20。解這個不等式，得到x>2。由于x是個位數(shù)，所以x的取值范圍是3到9。通過嘗試，發(fā)現(xiàn)只有x=3時，個位數(shù)x^2=9，得到的兩位數(shù)是39，滿足條件。

2.互贈問題

一個小組有8名成員，他們決定互贈禮物，每個人送出相同數(shù)量的禮物，且每個人收到的禮物總數(shù)相同。求每個人送出了多少份禮物。

解答：設(shè)每個人送出的禮物數(shù)為x。根據(jù)題意，每個人送出的禮物數(shù)乘以人數(shù)等于每個人收到的禮物數(shù)乘以人數(shù)，即8x=8x。這個方程的解是x=7，所以每個人送出了7份禮物。

3.握手問題

一個班級有25名學生，每兩名學生之間都要握手一次。求總共會發(fā)生多少次握手？

解答：設(shè)學生人數(shù)為n，則握手的總次數(shù)為n(n-1)/2。將n=25代入公式，得到握手的總次數(shù)為25(25-1)/2=300次。

4.面積問題

一個矩形的長是寬的2倍，且矩形的面積是120平方厘米。求矩形的寬和長。

解答：設(shè)矩形的寬為x厘米，則長為2x厘米。根據(jù)題意，有x(