2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版選修2-11

PAGE3．1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解空間向量的概念．2.駕馭空間向量的加法、減法運(yùn)算.利用直觀抽象提升邏輯推理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第51頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一空間向量的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P84－85，思索并完成以下問題)如圖，一塊勻稱的正三角形的鋼板質(zhì)量為500kg，在它的頂點(diǎn)處分別受力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200kg.這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運(yùn)動？這三個(gè)力至少為多大時(shí)，才能提起這塊鋼板？圖中的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3是既有大小又有方向的量，它們是不在同一平面內(nèi)的向量．因此，解決這個(gè)問題須要空間向量的學(xué)問．事實(shí)上，不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量隨處可見．例如，正方體中過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所表示的三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))就是不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量(如圖)．學(xué)問梳理(1)空間向量的定義在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．(2)空間向量及其模的表示方法空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模．如圖，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記為eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(3)特別向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量學(xué)問點(diǎn)二空間向量的加法、減法運(yùn)算eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P85－86，思索并完成以下問題)平面對量的加、減法滿意怎樣的運(yùn)算法則？提示：加法有三角形法則和平行四邊形法則，減法有三角形法則．空間中隨意兩個(gè)向量都可以平移到一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．已知空間向量a，b，我們可以把它們移到同一個(gè)平面α內(nèi)，以隨意點(diǎn)O為起點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.那么a＋b和a－b如圖所示．學(xué)問梳理(1)空間向量的加法、減法類似于平面對量，定義空間向量的加法和減法運(yùn)算(如圖)：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.(2)空間向量加法的運(yùn)算律空間向量的加法運(yùn)算滿意交換律及結(jié)合律：①交換律：a＋b＝b＋a；②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[自我檢測]1．下列命題正確的是()A．若向量a與b的方向相反，則稱向量a與b為相反向量B．零向量沒有方向C．若a是單位向量，則|a|＝1D．若向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則不肯定有m＝p答案：C2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b答案：B授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第52頁探究一空間向量及相關(guān)概念的理解[例1]給出下列命題：①在同一條直線上的單位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(BC1,\s\up6(→))是相等向量；④在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中，與eq\o(AA1,\s\up6(→))的?？隙ㄏ嗟鹊南蛄恳还灿?個(gè)．其中正確命題的序號為________．[解析]①錯(cuò)誤，在同一條直線上的單位向量，方向可能相同，也可能相反，故它們不肯定相等；②正確，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正確，eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(BC1,\s\up6(→))的模相等，方向相同；④錯(cuò)誤，空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的模不肯定相等，方向也不肯定相反；⑤錯(cuò)誤，在三棱柱ABC-A1B1C1中，與eq\o(AA1,\s\up6(→))的?？隙ㄏ嗟鹊南蛄渴莈q\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，一共有5個(gè)．[答案]②③方法技巧解決空間向量相關(guān)概念的問題時(shí)，留意以下幾點(diǎn)：(1)向量的兩個(gè)要素是大小與方向，兩者缺一不行；(2)單位向量的方向雖然不肯定相同，但長度肯定為1；(3)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件；(4)由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的，但向量的模是可以比較大小的．跟蹤探究1.下列說法正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．兩個(gè)向量相等，若它們的起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)不肯定相同D．若|a|>|b|，|b|>|c|，則a>c解析：對于A，由|a|＝|b|可得a與b的長度相同，但方向不確定；對于B，a與b是相反向量，則它們的模相等，故B正確；對于C，兩向量相等，若它們的起點(diǎn)相同，則它們的終點(diǎn)肯定相同，故C錯(cuò)；對于D，向量不能比較大小，故D錯(cuò)．答案：B探究二空間向量的加法與減法運(yùn)算[教材P86練習(xí)3]在圖中，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA′,\s\up6(→))表示eq\o(A′C,\s\up6(→))，eq\o(BD′,\s\up6(→))及eq\o(DB′,\s\up6(→)).解析：eq\o(A′C,\s\up6(→))＝eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))；eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))；eq\o(DB′,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).[例2]如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④[解析]①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))，故選A.[答案]A方法技巧1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，敏捷應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接，從而便于運(yùn)算．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要留意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采納空間向量的自由平移獲得更精確的結(jié)果．2．化簡空間向量的常用思路(1)分組：合理分組，以便敏捷運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡．(2)多邊形法則：在空間向量的加法運(yùn)算中，若是多個(gè)向量求和，還可利用多邊形法則，若干個(gè)向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和．(3)走邊路：敏捷運(yùn)用空間向量的加法、減法法則，盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑)．跟蹤探究2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的是________(填序號)．①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).解析：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).所以所給四個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是eq\o(AC1,\s\up6(→)).答案：①②③④授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第53頁[課后小結(jié)]空間向量的加法、減法運(yùn)算法則與平面對量相同，在空間向量的加法運(yùn)算中，如下事實(shí)常幫助我們簡化運(yùn)算：(1)首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，求若干個(gè)向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.[素養(yǎng)培優(yōu)]1．對空間向量的有關(guān)概念理解不清致誤下列說法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()(1)若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同．(2)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量．(4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合．A．1 B．2C．3 D．4易錯(cuò)分析向量相等，則向量的方向相同，模相等，但表示它們的有向線段的起點(diǎn)未必相同，終點(diǎn)也未必相同．故(1)(4)錯(cuò)誤．反過來，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”連接，故(2)錯(cuò)誤．自我訂正(1)錯(cuò)誤，兩個(gè)空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān)．(2)錯(cuò)誤，向量的模可以比較大小，但向量不能比較大?。?3)正確，由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量．(4)錯(cuò)誤，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))同向，但A與C，B與D不肯定重合．故一共有3個(gè)錯(cuò)誤命題，正確答案為C.答案：C2．對向量減法的三角形法則理解記憶不清致誤在長方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡eq\o(DA,\s\up6