2.3確定圓的條件（七大題型）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形圓》2.3確定圓的條件知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一確定圓的條件◆1、確定圓的條件：圓心的位置和半徑的大小，只有確定了圓心和圓的半徑，這個(gè)圓的位置和大小才唯一確定；◆2、過(guò)已知點(diǎn)作圓的個(gè)數(shù)：（1）過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓；（2）經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A、B能作無(wú)數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；（3）過(guò)不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓.◆3、不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二三角形的外接圓◆1、三角形的外接圓與外心（1）三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.（2）叫做三角形的外心．（3）三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.（4）三角形外心的位置：銳角三角形：外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形：外心在三角形的外部;鈍角三角形：外心是直角三角形斜邊的中點(diǎn).◆5、外接圓的作法：分別作出三角形兩條邊的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為該三角形的外接圓圓心，以交點(diǎn)為圓心，以圓心到任一頂點(diǎn)的距離為半徑作圓，即可得到三角形的外接圓.題型一確定圓的條件題型一確定圓的條件【例題1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）下列條件中能夠確定一個(gè)圓的是（）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知三個(gè)點(diǎn) D．過(guò)一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)【分析】已知圓心和半徑所作的圓就是唯一的，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．【解答】解：確定一個(gè)圓的條件是圓心和半徑，過(guò)一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)即可確定一個(gè)圓，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了確定圓的條件，根據(jù)不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓得出是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，過(guò)不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓.【變式11】下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）A．以點(diǎn)O為圓心 B．以10cm長(zhǎng)為半徑 C．以點(diǎn)A為圓心，4cm長(zhǎng)為半徑 D．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M【分析】確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項(xiàng)正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．【變式12】（2022秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）下列條件中，不能確定一個(gè)圓的是（）A．圓心與半徑 B．直徑 C．平面上的三個(gè)已知點(diǎn) D．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，已知圓心和直徑所作的圓是唯一的進(jìn)行判斷即可得出答案．【解答】解：A、已知圓心與半徑能確定一個(gè)圓，不符合題意；B、已知直徑能確定一個(gè)圓，不符合題意；C、平面上的三個(gè)已知點(diǎn)，不能確定一個(gè)圓，符合題意；D、已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，能確定一個(gè)圓，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．【變式13】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓 B．經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能作無(wú)數(shù)個(gè) C．經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能作兩個(gè) D．經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能作一個(gè)圓【分析】根據(jù)確定圓的條件進(jìn)行判斷．【解答】解：A、已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓，說(shuō)法正確，故不符合題意．B、只有確定圓心和半徑才能確定一個(gè)圓，所以經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能作無(wú)數(shù)個(gè)，說(shuō)法正確，故不符合題意．C、只有確定圓心和半徑才能確定一個(gè)圓，到A、B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，這些點(diǎn)在以A、B為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，所以已知點(diǎn)A，B的圓能作無(wú)數(shù)個(gè)，說(shuō)法錯(cuò)誤，故符合題意．D、過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C能作出三條線段，這三條線段的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離相等．所以經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能作一個(gè)圓，說(shuō)法正確，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了確定圓的條件，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．【變式14】（2022?綏中縣一模）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來(lái)一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖賶K出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．【變式15】過(guò)A、B、C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【分析】首先計(jì)算兩個(gè)較短的線段長(zhǎng)的和是否大于較長(zhǎng)的線段長(zhǎng)，從而判斷出三點(diǎn)是否同一條直線上，進(jìn)而可得A、B、C三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓．【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三點(diǎn)共線，不能確定一個(gè)圓；②AB＝BC，以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，有外接圓；③A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形，有外接圓．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了確定圓的條件，關(guān)鍵是掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．題型二根據(jù)點(diǎn)判斷圓的個(gè)數(shù)題型二根據(jù)點(diǎn)判斷圓的個(gè)數(shù)【例題2】（2023?江西）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，則經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫(huà)出圓的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓得，經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫(huà)出圓的個(gè)數(shù)為6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓；線上；（3）過(guò)不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓.【變式21】已知點(diǎn)A，B間的距離為2cm，則經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，半徑為2cm的圓能作（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由圓半徑為2cm，AB＝2cm即可判斷圓心在線段AB的垂直平分線上．【解答】解：畫(huà)半徑為2cm的圓，使它經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，AB＝2cm，這樣的圓能畫(huà)兩個(gè)，圓心在線段AB的垂直平分線上，且圓心到A點(diǎn)或B點(diǎn)的距離是2cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是比較2cm與圓半徑的大小，即可知能否畫(huà)出符合條件的圓．【變式22】如圖所示，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)M在AC外，經(jīng)過(guò)圖中的三個(gè)點(diǎn)作圓，可以作個(gè)．【分析】根據(jù)“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”確定圓的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：過(guò)A、B、M；A、C、M；B、C、M共能確定3個(gè)圓，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，注：過(guò)三點(diǎn)作圓，分兩種情況：①三點(diǎn)共線；②三點(diǎn)不共線．【變式23】如圖，點(diǎn)ABC在同一條直線上，點(diǎn)D在直線AB外，過(guò)這四點(diǎn)中的任意3個(gè)點(diǎn)，能畫(huà)圓的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，進(jìn)而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得出：點(diǎn)D、A、B；點(diǎn)D、A、C；點(diǎn)D、B、C可以確定一個(gè)圓．故過(guò)這四點(diǎn)中的任意3個(gè)點(diǎn)，能畫(huà)圓的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了確定圓的條件，熟練記憶確定圓的條件是解題關(guān)鍵．【變式24】平面上有4個(gè)點(diǎn)，它們不在一條直線上，但有3個(gè)點(diǎn)在同一條直線上．過(guò)其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作的圓的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓畫(huà)出圖形可得答案．【解答】解：如圖所示：故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了確定圓的條件，關(guān)鍵是掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．【變式25】平面上有4個(gè)點(diǎn)，它們不在同一直線上，過(guò)其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出不重復(fù)的圓n個(gè)，則n的值不可能為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分為三種情況：①當(dāng)四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上時(shí)，②當(dāng)三點(diǎn)在一直線上時(shí)，③當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，且其中的任何三點(diǎn)都不共線時(shí)，根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓畫(huà)出圖形，即可得出答案．【解答】解：分為三種情況：①當(dāng)四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上時(shí)，如圖1，此時(shí)n＝1，②當(dāng)三點(diǎn)在一直線上時(shí)，如圖2，分別過(guò)A、B、C或A、C、D或A、B、D作圓，共3個(gè)圓，即n＝3，③當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，且其中的任何三點(diǎn)都不共線時(shí)，分別過(guò)A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圓，共4個(gè)圓，即此時(shí)n＝4，即n不能是2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和畫(huà)圖能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目，有一定的難度．【變式26】平面內(nèi)有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，試探索：（1）若四點(diǎn)共線，則過(guò)其中三點(diǎn)作圓，可作個(gè)圓；（2）若有三點(diǎn)共線，則過(guò)其中三點(diǎn)作圓，可作圓；（3）若任意三點(diǎn)不共線，則過(guò)其中三點(diǎn)作圓，可作個(gè)圓；（4）過(guò)A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)中的任意三點(diǎn)作圓，最多可以作幾個(gè)圓？最少可以作幾個(gè)圓？【分析】（1）根據(jù)不共線的三點(diǎn)可以作圓得知四點(diǎn)共線不可以作圓；（2）線上的任意兩點(diǎn)和線外的一點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)圓；（3）四個(gè)點(diǎn)中的任意三點(diǎn)可以作圓；（4）共線時(shí)同（1），不共線時(shí)同（4）；【解答】解：（1）若四點(diǎn)共線，則過(guò)其中三點(diǎn)作圓，可作0個(gè)圓；（2）若有三點(diǎn)共線，則過(guò)其中三點(diǎn)作圓，可作3圓；（3）若任意三點(diǎn)不共線，則過(guò)其中三點(diǎn)作圓，可作1或4個(gè)圓；（4）過(guò)A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)中的任意三點(diǎn)作圓，最多可以作4個(gè)圓，最少可以作0個(gè)圓．故答案為：0，3，1或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是了解不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，難度不大．題型三確定圓心的位置題型三確定圓心的位置【例題3】（2023?興慶區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)圖形得出A、B、C的坐標(biāo)，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解答】解：從圖形可知：A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．【變式31】（2023?泗洪縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，過(guò)A，B，C三點(diǎn)作一圓弧，則圓心的坐標(biāo)是．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．【變式32】在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點(diǎn)，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫(huà)一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，該圓圓心在三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，據(jù)此及勾股定理可列式求解．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C可以確定一個(gè)圓∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上∴設(shè)圓心坐標(biāo)為M（2，m）則點(diǎn)M在線段BC的垂直平分線上∴MB＝MC由勾股定理得：(2?3∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圓心坐標(biāo)為M（2，0）故答案為：（2，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點(diǎn)上，是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2022秋?歷下區(qū)期末）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)O，A，B，C在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．（1）過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心M坐標(biāo)為．（2）求⊙M的面積（結(jié)果保留π）．【分析】（1）連接AB，AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)M，就是過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心，有圖形可得M的坐標(biāo)；（2）由勾股定理即可求得圓的直徑，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：連接AB，AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心，由圖形可知M的坐標(biāo)為M（1，﹣2），故答案為：（1，﹣2）；（2）連接MB，由勾股定理得MB=3故圓的面積為10π．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出圓心位置．【變式34】將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點(diǎn)A，B，C．（1）畫(huà)出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)即為所求；（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．【解答】解：（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點(diǎn)O即為所求的圓心；（2）連接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=253∴圓片的半徑R為253cm【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：一條直線①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧．在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．題型四確定三角形外心的位置題型四確定三角形外心的位置【例題4】（2023春?儀征市期末）點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的（）A．三條垂直平分線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答．【解答】解：點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的三條垂直平分線交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．【變式41】若一個(gè)三角形的外心在這個(gè)三角形的邊上，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，則該三角形是直角三角形．【解答】解：∵根據(jù)圓周角定理：直徑所對(duì)的圓周角是直角，∴該三角形是直角三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜邊的中點(diǎn)．【變式42】（2022秋?桐廬縣期中）△ABC的外心在三角形的一邊上，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法判斷【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得該三角形是直角三角形．【解答】解：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是其斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形是直角三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵掌握直角三角形的外心就是其斜邊的中點(diǎn)．【變式43】（2023?任丘市模擬）如圖，在4×4的網(wǎng)格圖中，A、B、C是三個(gè)格點(diǎn)，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的外心可能是（）A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)【分析】由圖可知，△ABC是銳角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其內(nèi)部，根據(jù)勾股定理得到BP＝CP=2≠【解答】解：由圖可知，△ABC是銳角三角形，∴△ABC的外心只能在其內(nèi)部，由此排除A選項(xiàng)和B選項(xiàng)，由勾股定理得，BP＝CP=2≠∴排除C選項(xiàng)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，熟練掌握三角形的外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式44】（2023?邢臺(tái)一模）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點(diǎn)上．下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【分析】根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)解答即可．【解答】解：∵OA＝OB=22+∴OA＝OB≠OE，∴點(diǎn)O不是△ABE的外心，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，熟練掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式45】（2022秋?承德縣期末）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C．D、E、F在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC的外心是（）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【分析】根據(jù)三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做它的外心，據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)D是△ABC外心．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，屬于基礎(chǔ)題型，比較簡(jiǎn)單．【變式46】（1）請(qǐng)借助網(wǎng)格和一把無(wú)刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；（2）設(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，求出外接圓⊙O的面積．【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)作出點(diǎn)O；（2）根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求；（2）連接OB，由勾股定理得：OB=3∴外接圓⊙O的面積為：π×（10）2＝10π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外心的概念、熟記圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．題型五利用三角形外心的性質(zhì)求角度題型五利用三角形外心的性質(zhì)求角度【例題5】（2023春?橫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，連接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．65° B．50° C．30° D．25°【分析】連接OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系可得∠BOD＝∠BOC＝50°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：連接OC，∵BD＝BC，∴∠BOD＝∠BOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB=12（180°﹣∠故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉主要考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關(guān)系，有時(shí)要利用等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式51】如圖，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O為△ABC的外心，△OCP為等邊三角形，OP與AC相交于D點(diǎn)，連接OA．（1）求∠OAC的度數(shù)；（2）求∠AOP的度數(shù)．【分析】（1）直接利用三角形外心的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可；（2）利用三角形外心的性質(zhì)以及利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAC＝∠OCA＝35°，進(jìn)而結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵O為△ABC的外心，∠BAC＝70°，AB＝AC，∴∠OAC＝35°（AO垂直平分BC，則三線合一），（2）∵O為△ABC的外心，∴AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝35°，∴∠AOC＝110°，∵△OCP為正三角形，∴∠AOP＝50°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外心的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得出∠OAC＝∠OCA＝35°是解題關(guān)鍵．【變式52】（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大?。痉治觥浚?）連接OA并延長(zhǎng)AO交BC于E，證明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得結(jié)論，（2）設(shè)∠ABD為x，用x表示出有關(guān)的角，再列方程即得答案．【解答】解（1）連接OA并延長(zhǎng)AO交BC于E，∵AB＝AC，∴AB=∵AE過(guò)圓心O，∴AE垂直平分BC（平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦），∴AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAE，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）設(shè)∠ABD＝x，由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，∴∠BDC＝3x，△BCD是等腰三角形，①若BD＝BC，則∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠BCD＝3x＝67.5°，②若BC＝CD，則∠BDC＝∠CBD＝3x，∴∠ABC＝∠ACB＝4x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴4x+4x+2x＝180°，∴x＝18°，∴∠BCD＝4x＝72°，綜上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD為67.5°或72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓及內(nèi)接三角形，關(guān)鍵是垂徑定理及等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．題型六利用三角形外心的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型六利用三角形外心的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例題6】（2023?巧家縣二模）如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)O為△ABC的外心，連接OA交BC于點(diǎn)M．若OA＝AC＝1，則BC的長(zhǎng)為（）?A．3 B．23 C．3 【分析】連接OC，證明△OAC為等邊三角形，求出∠OAC＝60°，求出MC后再求BC即可．【解答】解：連接OC，∵O為△ABC的外心，∴OA＝OC，∵OA＝AC，∴△OAC為等邊三角形，∴∠OAC＝60°，∵AB＝AC，∴AM⊥BC，在Rt△ACM中，MC＝AC?32∴BC＝2MC=3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外心性質(zhì)、垂徑定理性質(zhì)的應(yīng)用，等邊三角形及三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握垂徑定理，以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2022?崇明區(qū)二模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AE，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的長(zhǎng)是．【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADO＝90°，從而可得OD∥BC，進(jìn)而可得AD＝DB=12AB＝4，AE＝EF，然后利用三角形的中位線定理可得CF＝2OE，最后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB=12AB＝4，AE＝∴OE是△AFC的中位線，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO=A∴CF＝2OE＝10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握垂徑定理，以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式62】如圖，點(diǎn)O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E，點(diǎn)M、N分別是OD、OE的中點(diǎn)，連接MN，若BC＝6，則MN＝．【分析】連接DE，利用外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，得到D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理即可求得結(jié)論．【解答】解：連接DE，如圖，∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴O是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12∵點(diǎn)M、N分別是OD、OE的中點(diǎn)，∴MN是△ODE的中位線．∴MN=12故答案為：1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，三角形的中位線定理，充分利用外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式63】（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過(guò)圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到AB=（2）連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，∴AB=∴AB＝AC；（2）解：連接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC=12BC在Rt△ODB中，OD=O∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．題型七三角形的外接圓的綜合題題型七三角形的外接圓的綜合題【例題7】（2023?湖北模擬）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問(wèn)題得證；（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，∠OAB=∠OAC∠OBA=∠OCA∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴a2解得，a=3∴BC＝2a＝37．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的一個(gè)綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，第（1）關(guān)鍵在證明三角形全等；第（2）題關(guān)鍵由勾股定理列出方程組．解題技巧提煉本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還利用全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2022秋?東莞市期末）如圖，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M．（1）求證：AM⊥BC；（2）若BC＝6，AB=310，求⊙O【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理得到結(jié)論；（2）連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=12BC＝3，根據(jù)勾股定理得到AM=AB2?BM2=(310【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴AB=∵AM過(guò)圓心，∴AM⊥BC；（2）解：連接OB，∵AM⊥BC，AB＝AC，∴BM=12∵AB=310∴AM=A設(shè)OB＝OA＝r，則OM＝9﹣r，∵OB2＝BM2+OM2，∴r2＝32+（9﹣r）2，解得r＝5，故⊙O的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式72】如圖，D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，過(guò)AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．（1）證明：AB＝AC；（2）證明：點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心．【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可證得AD⊥BC，又由D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，即可得AD是線段BC的垂直平分線，則可證得AB＝AC；（2）由AD是線段BC的垂直平分線，可證得OB＝OC，又由AO＝CO，則可得AO＝BO＝CO，則問(wèn)題得證．【解答】（1）證明：∵D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵BC∥EF，AD⊥EF，∴AD⊥BC，∴AB＝AC；（2）證明：連接BO，∵BD＝CD，AD⊥BC，∴BO＝CO，∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，∴點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)接圓的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式73】（2022秋?漣水縣校級(jí)月考）定義：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)叫做該三角形的外心．（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長(zhǎng)等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點(diǎn)D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點(diǎn)O為△ABC的外心，求證：點(diǎn)O也是△DEF的外心．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABO＝∠OBC，于是得到結(jié)論；（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB與△COB中，AB=BCOB=OB∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠ABO＝∠OBC，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD與△DBO中，AF=BD∠FAO=∠DBO∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴點(diǎn)O也是△DEF的外心．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式74】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求證：AB（2）如圖2，作CD⊥AB交于D，AO的延長(zhǎng)線交CD于E，若A