2024-2025學年北京理工大學附中高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京理工大學附中高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知點P(3,?1,?2)，則點P關(guān)于z軸的對稱點的坐標為(

)A.(3,1,?2) B.(?3,1,2) C.(?3,?1,?2) D.(?3,1,?2)2.已知向量a=(?1,2,1)，b=(3,x,y)，且a//b，那么A.36 B.6 C.9 3.如圖，在三棱錐O?ABC中，D是BC的中點，若OA=a，OB=b，OC=c，則A.?a+b+c

B.?a4.已知正四棱錐S?ABCD，底面邊長是2，體積是433，那么這個四棱錐的側(cè)棱長為A.3 B.2 C.5 5.如圖，在三棱錐D?ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點，則EF和AC所成的角等于(

)

A.30° B.45° C.60° D.90°6.已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：

①若m⊥α，m⊥β，則α//β；

②若α⊥γ，β⊥γ，則α//β；

③若m?α，n?β，m//n，則α//β；

④若m、n是異面直線，m?α，m//β，n?β，n//α，則α//β．

其中正確的是(

)A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④7.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線l是底面ABCD所在平面內(nèi)的一條動直線，記直線A1CA.33 B.12 C.8.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AAA.3

B.3

C.9

D.9.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=CC1=4，E為棱B1C1的中點，P為四邊形BCCA.5

B.25

C.410.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA1=2，點D在棱ACA.三棱錐E?ABD的體積的最大值為23

B.點E到平面ACC1A1的距離為1

C.點D到直線C1E二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.已知向量a=(?2,5,4)，b=(6,0,x)，若a⊥b，則x=12.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為13.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長為______．14.在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑(bienao).已知在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為______．15.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列結(jié)論正確的是______．

①直線BD1⊥平面A1C1D

②三棱錐D?A1C三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點．

(1)求證：EF//平面PAD；

(2)若PA⊥AD，AB⊥平面PAD，求證：EF⊥平面ABCD．17.(本小題10分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=AA1=2，E、F分別為AC、CC1的中點，BF⊥A1B1．

(1)求證：BE⊥A118.(本小題10分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且∠PAD=π2，點F為棱PC上的點，平面ADF與棱PB交于點E．

(Ⅰ)求證：EF//AD；

(Ⅱ)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面PCD與平面ADFE所成銳二面角的大?。?/p>

條件①：AE=2；

條件②：平面PAD⊥平面ABCD；

條件③：PB⊥FD．

注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問得19.(本小題10分)

在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P為AB的中點，線段AC與DP交于O點(如圖1).將△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得D′O⊥OP(如圖2)．

(1)求證：平面D′AC⊥平面ABC；

(2)線段PD′上是否存在點Q，使得CQ與平面BCD′所成角的正弦值為68？若存在，求出PQPD′參考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.A

9.B

10.D

11.3

12.613.214.215.①②④

16.證明：(1)連接AC，

因為底面ABCD是平行四邊形，且F是BD的中點，

所以F是AC的中點，

因為E為PC的中點，

所以EF/?/PA，

因為PA?平面PAD，EF?平面PAD，

所以EF/?/平面PAD．

(2)證明：因為AB⊥平面PAD，PA?平面PAD，

所以AB⊥PA，

因為PA⊥AD，AB∩AD=A，AB，AD?面ABCD，

所以PA⊥面ABCD，

因為EF/?/PA，

所以EF⊥面ABCD．

17.(1)證明：因為三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，

所以A1A⊥平面ABC，

因為BE?平面ABC，

所以A1A⊥BE，

又因為AB=BC，E為AC中點，

所以BE⊥AC，

因為A1A∩AC=A，A1A、AC?平面ACC1A1，

所以BE⊥平面A1ACC1，

因為A1C?平面A1ACC1，

所以BE⊥A1C；

(2)解：因為直三棱柱ABC?A1B1C1，

所以B1B⊥平面ABC，

因為AB?平面ABC，

所以BB1⊥AB，

因為BF⊥A1B1，AB/?/A1B1，

所以AB⊥BF，

因為BB1∩BF=B，BB1、BF?平面CBB1C1，

所以AB⊥平面B1BCC1，

因為BC?平面B1BCC1，

所以BC⊥AB，

如圖所示，以B為原點，以BA，BC，BB1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系B?xyz，

因為A1(2,0,2)，C(0,2,0)，B(0,0,0)，

所以CA1=(2,?2,2)，BC=(0,2,0)，

因為BC⊥面ABB1A1，

所以BC為平面ABB1A1的一個法向量，

CA1?BC18.解：(Ⅰ)證明：∵底面ABCD是正方形，∴AD//BC，

BC?平面PBC，AD?平面PBC，

∴AD/?/平面PBC，

∵平面ADF與PB交于點E，

AD?平面ADFE，平面PBC∩平面ADEF=EF，

∴EF/?/AD．

(Ⅱ)選條件①②，

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA?平面PAD，

則PA⊥平面ABCD，又ABCD為正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

以點A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，

∵AE=2，∴點E為PB的中點，則E(1,0,1)，

∴PC=(2,2,?2)，AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，

設(shè)平面ADEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AE=x=z=0n?AD=2y=0，令x=1，得n=(1,0,?1)，

設(shè)平面PCD的法向量為m=(a,b,c)，

則m?PD=2b?2c=0m?PC=2a+2b?2c=0，取b=1，得m=(0,1,1)，

∴|cos<m,n>|=|m?n|m|?|n||=12?2=12，

∴平面PCD與平面ADFE所成銳二面角的大小為π3；

選條件①③，

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且∠PAD=π2，即PA=AD=2，PA⊥AD，

AD⊥AB，PA∩AB=A，且兩直線在平面內(nèi)，可得AD⊥平面PAB，

PB?平面PAB，則AD⊥PB，

∵PB⊥FD，AD∩FD=D，且兩直線在平面內(nèi)，

則PB⊥平面ADEF，AE?平面ADEF，則PB⊥AE，

∵PA=AB，∴△PAB為等腰三角形，∴點E為PB的中點，

∵AE=2，∴△PAB是等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA?平面PAD，

則PA⊥平面ABCD，又ABCD為正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

以點A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，

∵AE=2，∴點E為PB的中點，則E(1,0,1)，

∴PC=(2,2,?2)，AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，

設(shè)平面ADEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AE=x=z=0n?AD=2y=0，令x=1，得n=(1,0,?1)，

設(shè)平面PCD的法向量為m=(a,b,c)，

則m?PD=2b?2c=0m?PC=2a+2b?2c=0，取b=1，得m=(0,1,1)，

∴|cos<m,n>|=|m?n|m|?|n||=12?2=12，

∴平面PCD與平面ADFE所成銳二面角的大小為π3；

選條件②③，

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA?平面PAD，

則PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

∵PB⊥FD，AD∩FD=D，且兩直線在平面內(nèi)，

則PB⊥平面ADFE，AE?平面ADFE，則PB⊥AE，

∵PA=AB，∴△PAB是等腰三角形，∴E為PB的中點，

∵AE=2，∴△PAB是等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCDm

平面PAD∩平面ABCD=AD19.(1)證明：因為在梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=π3，P為AB的中點，

所以CD//PB，CD=PB，BC=DP，

所以△ADP是正三角形，四邊形DPBC為菱形，

所以AC⊥BC，AC⊥DP，

因為AC⊥D′O，D′O⊥OP，

又因為AC∩OP=O，AC，OP?平面ABC，

所以D′O⊥平面ABC，

因為D′O?平面D′AC，

所以平面D′AC⊥平面ABC．

(2)解：存在．

因為D′O⊥平面BAC，OP⊥AC，

所以O(shè)A，OP，OD′兩兩互相垂直，

如圖，