滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊第14章全等三角形14-2三角形全等的判定第5課時(shí)兩個(gè)直角三角形全等的判定“斜邊直角邊”課件

第14章全等三角形14.2三角形全等的判定第5課時(shí)兩個(gè)直角三角形全等的判定——“斜邊、直角邊”知識點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形全等的定理——“斜邊、直角邊(HL)”基礎(chǔ)過關(guān)全練1.如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△

CDB全等,則需要添加的條件是

()A.∠A=∠C

B.∠ADB=∠CBDC.AB=CD

D.AD=CBD解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△

ABD和Rt△CDB中,

∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).2.如圖,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE于點(diǎn)E,BD⊥CD于點(diǎn)D,

AE=5cm,CE=BD=2cm,則DE的長是()A.8cm

B.5cm

C.3cm

D.2cmC解析∵AE⊥CE,BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,在Rt△

AEC和Rt△CDB中,

∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL),∴CD=AE=5cm,∴DE=CD-CE=5-2=3(cm).3.(易錯(cuò)題)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm,

PQ=AB,P、Q兩點(diǎn)分別在線段AC和AC的垂線AX上移動(dòng),若

以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形

全等,則AP的長為()A.6cmB.12cmC.6cm或12cmD.以上答案都不對C解析①當(dāng)AP=CB=6cm時(shí),∵∠C=∠QAP=90°,∴在Rt△

APQ與Rt△CBA中,

∴Rt△APQ≌Rt△CBA(HL);當(dāng)AP=CA=12cm時(shí),∵∠C=∠QAP=90°,∴在Rt△QAP與Rt△

BCA中,

∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL).綜上所述,AP的長為6cm或12cm.易錯(cuò)警示

本題往往因考慮不全而導(dǎo)致漏解.本題要分情況討論:①

Rt△APQ≌Rt△CBA,此時(shí)AP=BC=6cm.②Rt△QAP≌Rt△

BCA,此時(shí)AP=AC=12cm.4.如圖,AB=AC,AD=CE,∠D=∠E=90°,若BD=4cm,CE=3cm,

則DE=

cm.7解析∵∠D=∠E=90°,AB=CA,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△

CAE(HL),∴BD=AE,∴DE=AD+AE=CE+BD=3+4=7(cm).5.(2022安徽銅陵四中期中)如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一點(diǎn),E在BC的延長線上,且AE=BD,BD的

延長線與AE交于點(diǎn)F.(1)若CD=4,求CE的長;(2)求證:BF⊥AE.解析(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt△BDC

與Rt△AEC中,

∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL),∴CE=CD=4.(2)證明:由(1)知Rt△BDC≌Rt△AEC,∴∠CBD=∠CAE.∵∠

CAE+∠E=90°,∴∠EBF+∠E=90°.∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.能力提升全練6.(2023安徽六安金寨月考,6,★★☆)如圖,AF=BE,∠A=∠B=

90°,要根據(jù)“HL”證明Rt△ACE≌Rt△BDF,還需要添加一

個(gè)條件是

()A.AF=BE

B.AE=BFC.∠C=∠D

D.CE=DFD解析∵AF=BE,∴AF+EF=BE+EF,即AE=BF.在Rt△ACE和

Rt△BDF中,

∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL).7.(2024安徽安慶望江月考,8,★★☆)如圖,在△ABC中,AD⊥

BC,CE⊥AB,垂足分別為點(diǎn)D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,且AH=

BC,已知EH=EB=3,AE=4,則CH的長是

()

A.1

B.2

C.3

D.4A解析∵CE⊥AB,∴∠AEH=∠CEB=90°.在Rt△AEH和Rt△

CEB中,∵

∴Rt△AEH≌Rt△CEB(HL),∴AE=CE.∵EH=EB=3,AE=4,∴CH=CE-EH=AE-EH=4-3=1.8.(2024安徽合肥廬江期中,8,★★☆)如圖,在△ABC中,PB=

PQ,PR=PS,PR⊥AB于點(diǎn)R,PS⊥AC于點(diǎn)S,則三個(gè)結(jié)論:①AS=

AR;②QP∥AR;③AB+AQ=2AR中

()A.全部正確B.僅①和③正確C.僅①正確D.僅①和②正確B解析在Rt△APR和Rt△APS中,

∴Rt△APR≌Rt△APS(HL),∴AR=AS,①正確;在Rt△BRP與Rt△QSP中,

∴Rt△BRP≌Rt△QSP(HL),∴BR=QS,∴AB+AQ=AR+BR+AQ=AR+QS+AQ=AR+AS=2AR,故③正確;根據(jù)已知

條件無法證明PQ∥AB,故②錯(cuò)誤.9.(2023安徽蕪湖鏡湖期中,12,★★☆)如圖,在△ABC中,BD⊥AC于點(diǎn)D,P為BD上的點(diǎn),PD=AD且AB=CP.若∠PCD=25°,則∠CBA=

.70°解析∵BD⊥AC,∴∠CDP=∠BDA=90°.在Rt△ABD和Rt△

PCD中,

∴Rt△ABD≌Rt△PCD(HL),∴CD=BD,∠ABD=∠PCD=25°.∵CD=BD,∠BDC=90°,∴∠CBD=45°,∴

∠ABC=∠CBD+∠ABD=70°.10.(2024安徽蕪湖三山月考,18,★★☆)如圖,AB=BC,∠BAD=

∠BCD=90°,點(diǎn)D是EF上一點(diǎn),AE⊥EF于點(diǎn)E,CF⊥EF于點(diǎn)F,

AE=CF,求證:DE=DF.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴在Rt△ABD和Rt△CBD中,

∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),∴AD=CD.∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠E=∠F=90°.在

Rt△ADE和Rt△CDF中,

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.證明如圖,連接BD,素養(yǎng)探究全練11.(推理能力)(倍長中線法)已知AD=AC,AB=AE,AD交BC于點(diǎn)F.(1)如圖1,若∠BAD=∠CAE,設(shè)DE交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)M,求

證:∠AMD=∠AFC;(2)如圖2,若∠BAC+∠DAE=180°,且點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí),線段DE與線段AF之間存在某種數(shù)量關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并加以證明.圖1圖2解析(1)證明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE

+∠DAC,∴∠BAC=∠EAD.在△BAC和△EAD中,

∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠B=∠E.∵∠AMD=∠E+∠CAE,∠AFC=∠B+∠BAD,∴∠AMD=∠AFC.(2)DE=2AF.證明:如圖,延長AD至點(diǎn)G,使AF=GF,連接CG,

∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),∴BF=CF.在△AFB和△GFC中,

∴△AFB≌△GFC(SAS),∴AB=GC,∠BAF=∠CGF,∴AB∥CG,∴∠BAC+∠ACG=180°.∵∠BAC+∠

DA