（培訓(xùn)體系）二次根式教材培訓(xùn)第二十一章二次根式簡(jiǎn)介

和立方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根和立方根，且對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算中仍然成立這壹點(diǎn)有所體驗(yàn)。學(xué)生將對(duì)實(shí)數(shù)的概念有更深刻的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算有進(jìn)壹步的了解。學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵是理解二次根式的概念和性質(zhì)，它們是學(xué)習(xí)二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算的依據(jù)，重點(diǎn)是二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，難二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理性。備。）：的發(fā)展，同時(shí)又是后面?zhèn)z節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)起承上啟下的作用；第二節(jié)是二次根式的乘除運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn)；第三節(jié)是二次根式的加減，主要研究二次根式的加減運(yùn)算法則和進(jìn)壹步完善二次根式的化是學(xué)生比較熟悉的，其中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系也是比較簡(jiǎn)單的，前三個(gè)是幾何問(wèn)題，分別是已知直角三角形的倆條直角邊求斜邊的長(zhǎng)、已知正方形的面積求邊長(zhǎng)和已知圓的面積求四個(gè)問(wèn)題需要利用已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)，這四個(gè)問(wèn)題的答案，于結(jié)果的表達(dá)式上有共同的特點(diǎn)，即均是用算術(shù)平方根的形式表示出來(lái)的，這樣教科書(shū)就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)分析所得答案的表達(dá)式的共同特點(diǎn)引出二次根式的概念。于二次根式的概念中，重要的壹點(diǎn)是理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的要求，教科書(shū)結(jié)合例題對(duì)此進(jìn)行了較詳細(xì)非負(fù)數(shù)”，教科書(shū)是利用算術(shù)平方根的概念得到的；對(duì)于，教科書(shū)則采用由特殊到壹般的方法歸納得出的。于研究這個(gè)結(jié)論時(shí)，教科書(shū)首先設(shè)置“探究”欄目，要求學(xué)生利用算術(shù)平方根的概念進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算，且對(duì)運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)壹步的分析，的內(nèi)容。本節(jié)中，除了學(xué)習(xí)二次根式的乘除運(yùn)算法則外，仍研究了二次根式的化簡(jiǎn)。對(duì)于二次根式的乘除運(yùn)算，教科書(shū)首先研究了二次根式的乘法運(yùn)算，二次根式的乘法法則是利用由特殊到壹般的方法歸納給出的。教科書(shū)先設(shè)置壹個(gè)“探究”欄目，于“探究”欄目中包含倆個(gè)不同層次的探究問(wèn)題。第壹步是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步是讓學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，因此第壹步中的被開(kāi)方數(shù)均是完全平方數(shù)，這樣有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步中的被開(kāi)方數(shù)不是完全平方數(shù)，要求用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算，以確認(rèn)規(guī)律是否正確。這樣，學(xué)生通過(guò)“探究”欄目的活動(dòng)，就能夠發(fā)現(xiàn)和之間的關(guān)系，從而得到二次根式乘法的運(yùn)算法則，運(yùn)用運(yùn)算法則就能夠進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算。如果將二次根式的乘法法則反過(guò)來(lái)見(jiàn)，就能夠得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)能夠化類似于乘法運(yùn)算，教科書(shū)也采用了由特殊到壹般的方法，通過(guò)歸納得出二次根式除法的運(yùn)算法則，繼而得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)也能夠化簡(jiǎn)二次根式，這樣教科書(shū)又給出壹種化簡(jiǎn)二次根式的方法。本節(jié)最后，教科書(shū)結(jié)合本章例題，給出了最簡(jiǎn)二次根式的概念，明確了化簡(jiǎn)二次根式的方向，這為好鋪墊。根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算，本小節(jié)的基礎(chǔ)是學(xué)生已經(jīng)掌握了把壹個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式的方法。學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算是研究數(shù)學(xué)的需要，也是實(shí)際的需要。本節(jié)開(kāi)始，教科書(shū)結(jié)合壹個(gè)實(shí)際問(wèn)題引出二次根式的加法運(yùn)算，使學(xué)生感到研究二次根式的加減運(yùn)算是實(shí)際的需要。這個(gè)實(shí)際問(wèn)題是要于壹?jí)K長(zhǎng)方形木板上截出倆塊面積不同的正方形木板，當(dāng)然解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的方法可能不同，教科書(shū)采用的是先求出倆個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和，再將這個(gè)和和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)進(jìn)行比較的方法，利用這種方法會(huì)遇到求二次根式的和的問(wèn)題，這樣教科書(shū)就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引出了二次根式的加法運(yùn)算的問(wèn)題。之后，教科書(shū)結(jié)合這個(gè)例子，研究了二次根式加減運(yùn)算的法則，明確了二次根式的加減首先是化簡(jiǎn)，于化簡(jiǎn)之后就是類似于整式的加減運(yùn)算了。整式加減無(wú)非是去括號(hào)和合且同類項(xiàng)，二次根式于化簡(jiǎn)之后也是如此，合且被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（合且同類二次根式）實(shí)際上相當(dāng)于合且同類項(xiàng)，合且的依據(jù)是分配律，關(guān)于這壹點(diǎn)，于第10章“實(shí)數(shù)”加、減、乘、除混合運(yùn)算的例子，突出了二次根式和整式之間的算性質(zhì)、公式和法則和二次根式關(guān)聯(lián)內(nèi)容的壹致性。1.理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；3.理解且掌握下列結(jié)論：5.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)壹步體會(huì)代數(shù)式于表示數(shù)主要研究了平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，且對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受，數(shù)”壹章的基礎(chǔ)上進(jìn)行編寫。例如，對(duì)于二生于體驗(yàn)“有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則于實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)仍然成立數(shù)見(jiàn)成字母時(shí)，二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算，因此整式的運(yùn)算法則和公式于二次根式的運(yùn)算中繼續(xù)使用，因此本章編寫時(shí)，強(qiáng)調(diào)了和整式關(guān)聯(lián)內(nèi)容的聯(lián)系。例如，教科書(shū)于介紹二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，強(qiáng)調(diào)了利用多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，突出了二次根式運(yùn)算的本質(zhì)，這樣的編寫方式加強(qiáng)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系，有助于使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。研究二次根式的概念和運(yùn)算既是數(shù)學(xué)內(nèi)于的需要，也是實(shí)際的需要，因此本章編寫時(shí)，注意加強(qiáng)和實(shí)際的聯(lián)系。例如，二次根式概念的引入是結(jié)合四個(gè)實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)的，二次根式加法運(yùn)算是結(jié)合實(shí)際中裁截板材引出的，另外本章也有較多的應(yīng)用本章內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題的例題和習(xí)題，如計(jì)算鋼材問(wèn)題、確定紙張規(guī)格問(wèn)加強(qiáng)二次根式和實(shí)際的聯(lián)系，將壹些重要的概念和運(yùn)算緊密結(jié)合實(shí)際生活展開(kāi)，使學(xué)生于解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中認(rèn)識(shí)二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算，這樣的壹種編寫方式有助于由于本章內(nèi)容和以前所學(xué)的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系，于思考問(wèn)題的方法上和整式的內(nèi)容又有很多相通之處，因此對(duì)于壹些重要結(jié)論，編寫時(shí)注意了讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結(jié)論的過(guò)程。例如，對(duì)于二次根式的乘法法則，教科書(shū)首先讓學(xué)生利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算，其中有倆個(gè)二次根式相乘的問(wèn)題，也有積的算術(shù)平方根的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)具體計(jì)算，且觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘和積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系，且利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，然后利用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證，最后歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)經(jīng)歷了壹個(gè)由特殊到壹般的認(rèn)識(shí)過(guò)程；同樣，二次根式的除法運(yùn)算法則也是采用通過(guò)學(xué)生的探索活動(dòng)，由特殊到壹般地歸納得出結(jié)論的方法。這樣，根據(jù)本章內(nèi)容的特點(diǎn)，本章編寫時(shí)盡可能多地給學(xué)生留出探索交流的空間，通過(guò)這樣的探究活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效本章內(nèi)容屬于“數(shù)和代數(shù)”領(lǐng)域中較基礎(chǔ)的內(nèi)容，尤其是二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形、壹元二次方程和二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，例如于“銳角三角函數(shù)”壹章中，會(huì)遇到很多實(shí)際問(wèn)題，于解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，要遇到將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以及二次根式的加減運(yùn)算，于“壹元二次方程”中，利用公式法解方程時(shí)，會(huì)用到二次根式的性質(zhì)，于“二次函數(shù)”壹章中，判斷二次函數(shù)的圖象和x軸是否有交點(diǎn)時(shí)，會(huì)遇到根的判別式中被開(kāi)方數(shù)小于0的情形，這里需要深刻理解二次根式的意義。因此二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算是學(xué)好這些后續(xù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，而熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要壹定的訓(xùn)練。這樣，教學(xué)中能夠適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生較好地理解二次根式的意義，較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。知識(shí)之間的相互聯(lián)系，進(jìn)壹步加深對(duì)整式和勾股定理等內(nèi)容