安徽省2024八年級數(shù)學(xué)上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形專題訓(xùn)練12方法整合構(gòu)造等腰三角形的常用方法課件新版滬科版

第15章軸對稱圖形與等腰三角形專題訓(xùn)練12【方法整合】構(gòu)造等腰三角形的常用方法

等腰三角形＋平行線1.

在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是

AB

延長線上一

點(diǎn)，

E

是

AC

上一點(diǎn)，

DE

交

BC

于點(diǎn)

F

.

如圖，若

BD

＝

CE

，求證：

DF

＝

EF

.

2341證明：如圖，過點(diǎn)

E

作

EG

∥

AB

交

BC

于點(diǎn)

G

，則∠

ABC

＝∠

EGC

，∠

D

＝∠

FEG

，∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

C

，∴∠

EGC

＝∠

C

，∴

EG

＝

EC

.

∵

BD

＝

CE

，∴

BD

＝

EG

.

∵∠

D

＝∠

FEG

，∠

BFD

＝∠

GFE

，∴△

BFD

≌△

GFE

，∴

DF

＝

EF

.

2341

角平分線＋垂線23412.

如圖，已知等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝90°，

BF

平分∠

ABC

，

CD

⊥

BD

交

BF

的延長線于點(diǎn)

D

，試說明：

BF

＝2

CD

.

2341解：延長

BA

，

CD

相交于點(diǎn)

E

，如圖.∵

BF

平分∠

ABC

，

2341

2341

截長補(bǔ)短法角平分線＋截長模型

條件∠1＝∠2，∠

B

＝2∠

C

結(jié)論

AC

＝

AB

＋

BD

AC

＝

AB

＋

CD

2341角平分線＋補(bǔ)短模型

條件∠1＝∠2，∠

ABC

＝2∠

C

結(jié)論

AC

＝

AB

＋

BD

AC

＝

AB

＋

CD

23413.

[2024·信陽月考]閱讀材料：截長補(bǔ)短法是初中數(shù)學(xué)幾何題

中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線

段與另一長邊相等，解答下列問題：如圖①，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，交

BC

于點(diǎn)

D

，且∠

B

＝2∠

C

.

(1)為了證明結(jié)論“

AB

＋

BD

＝

AC

”，小亮在

AC

上截取

AE

，使得

AE

＝

AB

，解答了這個(gè)問題，請按照小亮的

思路寫證明過程；2341解：(1)如圖①，在

AC

上截取

AE

，使得

AE

＝

AB

，連

接

DE

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

.

∵

AD

＝

AD

，∴△

ABD

≌△

AED

，∴∠

B

＝∠

AED

，

BD

＝

DE

.

∵∠

B

＝2∠

C

，∴∠

AED

＝2∠

C

.

∵∠

AED

是△

DEC

的一個(gè)外角，

∴∠

AED

＝∠

C

＋∠

EDC

，∴∠

C

＝∠

EDC

，∴

DE

＝

CE

，∴

BD

＝

EC

.

∵

AE

＋

EC

＝

AC

，∴

AB

＋

BD

＝

AC

.

23413.

[2024·信陽月考]閱讀材料：截長補(bǔ)短法是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，解答下列問題：如圖①，在△ABC

中，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，且∠B＝2∠C.

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝58°，∠

D＝109°，∠ACD＝42°，∠ACB＝80°，AD＝10，

CE⊥AB于E，EB＝3，求AB的長.2341解：(2)如圖②，在

AE

上截取

AF

＝

AD

，連接

CF

.

∵∠

D

＝109°，∠

ACD

＝42°，∴∠

DAC

＝180°－

∠

D

－∠

ACD

＝29°.∵∠

BAD

＝58°，∴∠

FAC

＝

∠

BAD

－∠

DAC

＝29°，∴∠

DAC

＝∠

FAC

＝

29°.∵

AC

＝

AC

，∴△

DAC

≌△

FAC

，∴∠

AFC

＝∠

D

＝109°，2341∴∠

CFE

＝180°－∠

AFC

＝71°.∵∠

ACB

＝80°，

∠

FAC

＝29°，∴∠

B

＝180°－∠

ACB

－∠

FAC

＝

71°，∴∠

B

＝∠

CFE

，∴

CF

＝

BC

.

∵

CE

⊥

AB

，∴

BF

＝2

BE

＝6，∴

AB

＝

AF

＋

BF

＝10＋6＝16.2341

倍角關(guān)系在△

ABC

中，∠

ABC

＝2∠

C

.

方法一：如圖①，外構(gòu)等腰，作

DB

＝

AB

.

方法二：如圖②，內(nèi)構(gòu)等腰，作

AD

＝

AB

.

方法三：如圖③，作

BE

平分∠

ABC

.

23414.

[一題多解]如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

＝2∠

C

，

AD

⊥

BC

，垂足為

D

.

若

BD

＝2，

CD

＝8，求

AB

的長(用2種

不同方法).2341解：(方法一)在

CD

上截取

DE

＝

BD

＝2，連接

AE

.

∵

AD

⊥

BC

，∴

AB

＝

AE

.

∴∠

AEB

＝∠

ABC

＝2∠

C

.

∵∠

AEB

＝∠

C

＋∠

EAC

，∴∠

C

＝∠

EAC

.

∴

AE

＝

EC

＝

CD

－

DE

＝6，∴

AB

＝6.2341(方法二)延長

DB

至點(diǎn)

F

，使得

BF

＝

AB

，連接

AF

，則

∠

F

＝∠

BAF

.

∴∠

ABC

＝∠

F

＋∠

BAF

＝2∠

F