期中考前滿分沖刺之壓軸題（解析版）-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊考點(diǎn)解惑題型過關(guān)專練（蘇科版）

第第頁思維導(dǎo)圖期中考前滿分沖刺之優(yōu)質(zhì)壓軸題思維導(dǎo)圖【類型覆蓋】類型一、圓中最值1．如圖，是邊長為1的正方形內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理，在凹四邊形中，求出，得點(diǎn)在運(yùn)動過程中，使得，即點(diǎn)在正方形內(nèi)，以為圓心，長為半徑的圓弧上，如解圖，連接，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為，求出和的長度，即可得到結(jié)果，解本題的關(guān)鍵是證明是定值，從而得到點(diǎn)的軌跡．【詳解】解：四邊形是正方形，，在凹四邊形中，，，，始終為，得點(diǎn)在運(yùn)動過程中，使得，即點(diǎn)在正方形內(nèi)，以為圓心，長為半徑的圓弧上，如解圖，連接，，，由解圖可得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為，在中，，，，，故選：D．2．如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以，為圓心，為半徑的圓上一動點(diǎn)，連結(jié)、．則面積的最小值是()A． B．6 C．8 D．【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，三角形的面積；過作于，連接，則由三角形面積公式得，，可求圓上點(diǎn)到直線的最短距離，由此求得答案．【詳解】解：過作于，連接，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，令x=0，則；令，則；點(diǎn)為，，點(diǎn)為，，；，，則由三角形面積公式得，，，，圓上點(diǎn)到直線的最小距離是，面積的最小值是；故選：A．3．如圖，AB是的直徑，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，分別與BD，相交于點(diǎn)，

，，點(diǎn)是線段AB上任意一點(diǎn)，則的最小值為(

)A．8 B． C． D．6【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理,的圓周角所對的弦是直徑．垂徑定理；利用圓周角定理得到，再證明，然后根據(jù)垂徑定理得，，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于，連接，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時的值最小，再計(jì)算出，作于，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，從而得到的最小值．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，連接，，，如圖，∵，∴，∴由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時的值最小，最小值為的長，∵，∴，∴，∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，∴，作于，如圖，則，，在中，，∴，∴，∴的最小值為．故選：B．4．如圖，E、F分別是正方形的邊、上的動點(diǎn)，滿足，連接、，相交于點(diǎn)G，連接，若正方形的邊長為2，則線段的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一點(diǎn)到圓上一定的距離最值問題，勾股定理，連接，證明推出，則點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動，故當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，此時有最小值，即此時點(diǎn)G為正方形對角線的交點(diǎn)，據(jù)此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，此時有最小值，即此時點(diǎn)G為正方形對角線的交點(diǎn)，∵正方形的邊長為2，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)熟記各定義并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，連接BD，則BD的最小值為．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形的中位線定理等知識，確定BD為最小值時點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到BD，求出CE的最小值即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)B是的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴BD是的中位線，∴BD，∴當(dāng)最小時，BD最小，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，5為半徑的上運(yùn)動，∴當(dāng)減去半徑時，最?。?，∴，∴CE的最小值為，∴BD的最小值．故答案為：．6．如圖，的半徑是4，點(diǎn)A是圓上一個定點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動，且，，垂足為點(diǎn)，連接，則的最小值是．【答案】【分析】設(shè)交于，連接、、，過作于，連接，由題意易證明是等邊三角形，即得出，，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可知，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：設(shè)交于，連接、、，過作于，連接，，，，是等邊三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，的最小值是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．圓的基本性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．類型二、相似最值1．已知，如圖，中，，半徑為1的與三角形的邊都相切，點(diǎn)P為上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊上一動點(diǎn)，則的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】設(shè)與相切于點(diǎn)D，與相切于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)O，作垂足為交于此時垂線段最短，最小值為求出當(dāng)與B重合時，的延長線與交于點(diǎn)最大值．本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，關(guān)鍵是確定的最小值與最大值的位置．【詳解】解：中，，設(shè)與相切于點(diǎn)D，與相切于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)O，作垂足，交于連接，延長與相交于點(diǎn)F，過F作于點(diǎn)G，如圖1，此時垂線段最短，最小值為，則四邊形為矩形，平分．設(shè)則由勾股定理得，解得：即如圖2，當(dāng)與B重合時，連接，延長與交于點(diǎn)此時為最大值，，∴的最大值與最小值的和為：，故答案為：．2．如圖中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，則最短也就是最短，作垂直于，證明，求出的長即可得出答案．【詳解】解：設(shè)和相交于點(diǎn)O∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴最短也就是最短，作垂直于，∵，，∴，∴，即，∴，∴的最小值為，故選：B．3．如圖，中，，，．是上一動點(diǎn)，連接，過作于，取中點(diǎn)，連接，若的延長線交于，則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，以為直徑作，連接，作于點(diǎn)，求出，，，結(jié)合，得出當(dāng)最小時，最小，再結(jié)合，得出取最小值時，最小．由題意得，與相切時，最?。Y(jié)合切線長定理與勾股定理，求出的長即可得解．【詳解】解：以為直徑作，連接，作于點(diǎn)，，∵在中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，，∴，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴當(dāng)最小時，最小，，取最小值時，最?。深}意得，與相切時，最?。藭r，則．∵與相切，與相切，∴，∴在中，，即，解得，．故選B．4．如圖，點(diǎn)E、F為正方形的邊上兩個動點(diǎn)，且，，于M，連，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)等知識，延長交的延長線于點(diǎn)H，得求出，得點(diǎn)M在以為直徑的圓上運(yùn)動，取的中點(diǎn)O，由勾股定理得出，從而可得出的最小值【詳解】解：延長交的延長線于點(diǎn)H，如圖，在正方形中，∴∴∴又∴∵∴即點(diǎn)M在以為直徑的圓上運(yùn)動，如圖，取的中點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時，，此時，值最小，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，則，∴，∴∴，∴∴的最小值為故答案為：5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，在軸上有一動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查垂線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，在軸上取一點(diǎn)，則，作于于，交于由可得，推出，推出，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)與重合時，的值最小，最小值為的長，求出即可解決問題【詳解】解：在軸上取一點(diǎn)，則．如圖，作于于，交于，，，，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)與重合時，的值最小，最小值為的長，，，，的最小值為．故答案為：6．如圖，半圓的半徑為，為直徑，為切線，，為弧上一動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，連接，由切線的性質(zhì)可得，即得，取的中點(diǎn)，連接，可得，得到，即得，得到，可知當(dāng)在一條直線上時，最小為，作于，于，則為的中位線，得到，進(jìn)而可得，，即得，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，是半的切線，，，取的中點(diǎn)，連接，，，又，，，，，∴當(dāng)在一條直線上時，最小為，作于，于，則為的中位線，，，，，的最小值為．類型三、圓中的無刻度尺作圖1．請用無刻度的直尺完成下列作圖：(保留作圖痕跡，不寫作法)(1)如圖，已知等腰中，，以為直徑的與交于點(diǎn)，請作出的平分線；(2)如圖，已知等腰內(nèi)接于，且，請作出的平分線；(3)如圖，已知直角內(nèi)接于，為直徑，是上一點(diǎn)，且，請作出的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得，根據(jù)等腰三角形三線合一，得，所以即為所求；（2）如圖，連接并延長交于點(diǎn)P即為所求；（3）如圖，連接，延長交于點(diǎn)P，連接，可證，進(jìn)而得到，根據(jù)同圓中，等弧所對的圓周角相等得，故為所求．【詳解】（1）解：如圖，連接，則平分，說明如下：∵是直徑∴又∴∴即為所求；（2）如圖所示，即為所求．說明如下：連接，∵，，∴∴∴平分．（3）解：如圖，連接，延長交于點(diǎn)P，連接，即為所求．∵∴∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對的圓周角是直角，同圓中等弧所對的圓周角相等，等腰三角形三線合一，全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)相關(guān)定理尋求角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，以為直徑的半圓的圓心為O，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖：(1)請?jiān)趫D1中作出的邊上的高；(2)請?jiān)趫D2中線段上確定一點(diǎn)F，使得；(3)請?jiān)趫D3中作出的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）延長交于點(diǎn)D，連接即可；（2）利用三角形的三條中線交于一點(diǎn)解決問題即可；（3）取格點(diǎn)E，連接即可．【詳解】（1）解：如圖1中，線段即為所求；（2）解：如圖2中，線段即為所求；（3）解：如圖3中，直線即為所求．3．如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D均在上，且，．(1)請你在圖1中，用無刻度的直尺作出的平分線；(2)請你在圖2中，用無刻度的直尺作出的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）如圖，延長交于，交于，連接，即為所求；（2）如圖，在（1）的基礎(chǔ)上，連接交于，連接并延長交于，即為所求．【詳解】（1）解：如圖，延長交于，交于，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，即，∴，∴，即平分，即：即為所求；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接交于，連接并延長交于，∵，，∴為等腰直角三角形，∵，∴平分，又∵平分，∴點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，∴平分，即：即為所求．4．在四邊形中，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出必要的文字說明）．(1)如圖①，連接，在邊上作點(diǎn)，使得；(2)如圖②，在邊上作點(diǎn)，使得．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）作的外接圓交于點(diǎn)，則根據(jù)圓周角定理得到；（2）先作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，再作的外接圓交于點(diǎn)，則根據(jù)圓周角定理得到，所以．【詳解】（1）解：作和的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓交于點(diǎn)，如圖所示：點(diǎn)為所作；（2）解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，再作和的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓交于點(diǎn)，如圖所示：點(diǎn)為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．5．如圖，是由邊長為1的小正方形組成的的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，過格點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)D為與格線交點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題．(1)畫圓心O，并過點(diǎn)B作的切線BE；(2)作弦，并在上畫點(diǎn)G，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查切線的畫法，圓心畫法，平行線畫法，圓周角畫法．（1）根據(jù)圓心定義及切線定義即可畫出；（2）根據(jù)平行線定義及圓周角定義即可畫出．【詳解】（1）解：∵過格點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)D為與格線交點(diǎn)，∴取格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，H，C，連接，相交于點(diǎn)，即為圓心，∵直徑的縱橫比為，化簡縱橫比可為，即切線縱橫比應(yīng)為，∴取格點(diǎn)，連接交點(diǎn)即為點(diǎn)，連接即為切線，如下圖所示：（2）解：連接，用無刻度直尺平移至點(diǎn)A畫直線交于點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，則，∴，6．請用無刻度的直尺，按要求完成下列作圖．(1)如圖1，是半圓的直徑，等邊的邊、與半圓分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，請確定半圓所在圓的圓心；(2)如圖2，是半圓的直徑，，點(diǎn)、點(diǎn)是半圓上的兩個點(diǎn)，連接，在上找一點(diǎn)，使得為等腰三角形．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)J，由直徑所對的圓周角是易知、是等邊三角形的高，根據(jù)“三線合一”可知連接并延長交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求；（2）延長，交于點(diǎn)E，根據(jù)可知是等邊三角形，連接，交于點(diǎn)J，連接交于點(diǎn)F，由（1）易證，點(diǎn)F即為所求．【詳解】（1）如圖1所示，連接，交于點(diǎn)J，連接，延長交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求；（2）如圖2所示，延長，交于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)J，連接交于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求．【點(diǎn)睛】本題是無刻度直尺作圖，考查了圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．類型四、相似中的無刻度尺作圖1．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖1中，先將線段繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出對應(yīng)線段，再畫的平分線，交于點(diǎn)N；(2)在圖2中，先畫邊上的高，再畫，交于點(diǎn)F．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，畫三角形的高，畫旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理等等（1）取格點(diǎn)D、N，M，連接即可；（2）如圖所示，取格點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求；如圖所示，分別取格點(diǎn)T、G，M、N，連接分別與格線交于Q、P，連接交于F，連接，則即為所求?！驹斀狻浚?）解：如圖所示，即為所求；取格點(diǎn)D、N，易證明，取格點(diǎn)M，易證明，則垂直平分，則平分；（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求；如圖所示，分別取格點(diǎn)T、G，M、N，連接分別與格線交于Q、P，連接交于F，連接，則即為所求；易證明，則點(diǎn)E即為所求；易證明，則，利用等面積法易得，由勾股定理得到，則，則，可推出。2．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．A，B，C三點(diǎn)是格點(diǎn)，點(diǎn)P在上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)在圖（1）中，將線段沿的方向平移，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，畫出平移后的線段，再將繞的中點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出線段；(2)在圖（2）中，連接，將以點(diǎn)為位似中心縮小為原來的得到，畫出；(3)在圖（3）中，在上畫一點(diǎn)，在上畫一點(diǎn)，使得最?。敬鸢浮?1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析【分析】（1）利用平移性質(zhì)可畫出，利用平行四邊形的性質(zhì)，連接和的中點(diǎn)并延長交于點(diǎn)，即可得到答案；（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，，取中點(diǎn)和上一點(diǎn)，連接并確定其中點(diǎn)，取上一點(diǎn)，連接并延長，根據(jù)“對角線相互平分的四邊形為平行四邊形”可作平行四邊形，連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，則即為所求作；（3）首先確定點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)：取格點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的判定，可知點(diǎn)關(guān)于對稱；過點(diǎn)作的垂線，確定點(diǎn)：取格點(diǎn)，使得為等腰三角形，連接確定點(diǎn)，連接并延長確定點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，即可獲得答案．【詳解】（1）解：如圖，線段、線段即為所求作；理由：由平移性質(zhì)得四邊形是平行四邊形，∵平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)O為對稱中心，∴連接并延長與的交點(diǎn)G即為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，故線段即為繞的中點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)所得的對應(yīng)線段；（2）解：如圖，即為所求作；（3）解：如圖，點(diǎn)M、N即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，涉及平移性質(zhì)、位似圖形性質(zhì)、中心對稱圖形性質(zhì)、軸對稱圖形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例性質(zhì)、垂線段最短等知識，熟知網(wǎng)格特點(diǎn)，熟練掌握基本作圖所涉及到的知識點(diǎn)的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．3．圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖，只用無刻度的直尺，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．(1)在圖①中，過點(diǎn)畫一條平分周長的直線．(2)在圖②中，過點(diǎn)畫一條平分面積的射線．(3)在圖③中，過點(diǎn)畫一條將周長分成兩部分的線段．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一定理、中線性質(zhì)可得；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)、中線性質(zhì)可得；（3）先求出的周長，再求出將其周長分為時兩部分的長，存在兩種情況（畫出其一即可）：①，；②，，結(jié)合平行線分線段成比例定理即可找到符合題意的點(diǎn)．【詳解】（1）解：在線段中找到中點(diǎn)，連接，直線即為所求；依圖得：是等腰三角形，是中線，也是高線，，，即符合題意．（2）解：由題意得，四邊形是矩形，、互相平分，是中點(diǎn)，射線符合題意．如圖，射線即為所求；（3）解：依題得：，，的周長，則將其分成兩部分時，一部分長為，一部分長為，，，如圖，連接，與交于點(diǎn)，連接即可，，，，，，，即點(diǎn)符合要求，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三線合一、中線平分三角形面積、矩形性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對相關(guān)知識熟練運(yùn)用．4．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的4個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，E是邊與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖1中，先畫交于點(diǎn)G，交邊于點(diǎn)F，再在上畫點(diǎn)H，使得平分；(2)在圖2中，先畫的高，再分別在邊和上畫點(diǎn)M、N，使得，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取邊與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接，即，取格點(diǎn)，連接、，易證，進(jìn)而證明，則，即與的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）取格點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由網(wǎng)格可知，進(jìn)而得到，由因?yàn)?，則點(diǎn)是高線的交點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，線段即為的高；由的面積公式，可得，取格點(diǎn)、、、，連接交于，連接交于點(diǎn)，連接即可．（由相似三角形可知，，，則，可得，且，進(jìn)而得出）【詳解】（1）解：如圖1，即為所求作；（2）解：如圖2，即為所求作；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，網(wǎng)格與勾股定理，特殊四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺，按要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中，過點(diǎn)作．(2)在圖②中，以的一邊為直角邊，構(gòu)造一個與面積相等的格點(diǎn)直角三角形．(3)在圖③中，作，使的面積等于面積的．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）取格點(diǎn)、，連接即可；（2）取格點(diǎn)，連接，，則即為所求；（3）取格點(diǎn)F、M、N，連接交于點(diǎn)J，連接交于點(diǎn)K，連接并延長，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，則四邊形即為所求．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的直線；連接，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．（2）解：如圖，即為所求作的三角形；∵，，∴，∴為直角三角形，，∵，，∴，∴為直角三角形，，∴，∴，∴；（3）解：如圖，即為所求作的平行四邊形；根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)可知：，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴四邊形為平行四邊形，設(shè)邊上的高為，邊上的高為，邊上的高為，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理與網(wǎng)格問題，勾股定理的逆定理，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和逆定理．6．如圖，在的方格紙中，點(diǎn)是方格紙中的兩個格點(diǎn)，記頂點(diǎn)都在格點(diǎn)的四邊形為格點(diǎn)四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中畫出線段AB的中點(diǎn)O；(2)在圖②中畫出一個平行四邊形，使，且平行四邊形為格點(diǎn)四邊形．(3)在圖③中畫一個矩形，使得矩形的面積為．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)作圖見詳解【分析】本題主要考查勾股定理與格點(diǎn)與特殊四邊形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，比例的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，對角線相互平分的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)格點(diǎn)的性質(zhì)分別算出的值，根據(jù)格點(diǎn)與勾股定理即可確定點(diǎn)M，N的位置；（3）先根據(jù)格點(diǎn)畫出正方形，再根據(jù)格點(diǎn)的性質(zhì)，確定，在線段上到點(diǎn)分割點(diǎn)，可得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置，（2）解：如圖所示，∴，，且點(diǎn)在格點(diǎn)上，∴四邊形是平行四邊形，∵，即，∴平行四邊形即為所求圖形；（3）解：如圖所示，作正方形，與交于點(diǎn)，∴，，∵，，∴，且，∴，解得，，∴，∴矩形即為所求圖形．類型五、一元二次方程的新定義1．悅悅在學(xué)習(xí)有關(guān)配方的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：關(guān)于x的多項(xiàng)式，由于，所以當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項(xiàng)式的值是相等的，例如，當(dāng)，即或1時，的值均為4：當(dāng)，即或0時，的值均為7，于是悅悅給出一個定義：關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于對稱，例如關(guān)于對稱．請結(jié)合悅悅的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：(1)多項(xiàng)式關(guān)于______對稱；多項(xiàng)式關(guān)于______對稱；(2)若關(guān)于x的多項(xiàng)式關(guān)于對稱，求n的值；(3)若整式關(guān)于對稱，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)1；(2)(3)【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ囗?xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷出對稱軸是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，讀懂題目，僅需配方即可得解；（2）依據(jù)題意，由多項(xiàng)式，又多項(xiàng)式關(guān)于對稱，從而可以得解；（3）依據(jù)題意，由，進(jìn)而可以判斷得解．【詳解】（1）解：由題意，∵，∴多項(xiàng)式關(guān)于對稱．∵，∴多項(xiàng)式關(guān)于對稱．故答案為：1；．（2）解：由題意，多項(xiàng)式，∴多項(xiàng)式關(guān)于對稱．又多項(xiàng)式關(guān)于對稱．，．（3）解：由題意：得，∴關(guān)于對稱．又∵關(guān)于對稱，．2．定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：．(1)若，求x的值；(2)若m、n均為實(shí)數(shù)，且3⊕m的值小于10，判斷關(guān)于x的方程的根的情況．【答案】(1)，(2)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元一次不等式，正確理解新運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新運(yùn)算得出，解之可得到答案；（2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案．【詳解】（1）根據(jù)運(yùn)算定義，可得，化簡得

，解得∶；（2）根據(jù)運(yùn)算定義，可得，∴，∴，∴在方程中，，∴關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．3．請閱讀以下材料：①若是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，則方程的兩個根和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：，，把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）．②定義：已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因?yàn)?，，所以一元二次方程為“限根方程”．請解決下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，則m的取值范圍為．（此小問直接填空，不寫過程）【答案】(1)是，理由見解析(2)2(3)或【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．（1）解該一元二次方程，得出，再根據(jù)“限根方程”的定義判斷即可；（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，代入，即可求出，．再結(jié)合“限根方程”的定義分類討論舍去不合題意的值即可；（3）解該一元二次方程，得出或．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即得出此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，且，可求出m的取值范圍．最后分類討論即可求解．【詳解】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）解：∵方程的兩個根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類討論：①當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程是“限根方程”，∴符合題意；②當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3）解：，，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴，即，∴且．分類討論：①當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．4．先閱讀材料，再回答問題．我們定義：形如(m、n為非零實(shí)數(shù))，且兩個解分別為的方程稱為“可分解分式方程”．例如：為可分解分式方程，可化為應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)若為可分解分式方程，則：=，(2)若可分解分式方程方程：的兩個解分別為求的值．(3)若關(guān)于的可分解分式方程的兩個解分別為(k為實(shí)數(shù))，且求k的值．【答案】(1)6，（或，6）(2)(3)【分析】本題考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知識．理解題意，熟練掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）由方程是可分解分式方程，可得進(jìn)而可求；（2）由可分解分式方程的兩個解分別為可得，根據(jù)代值求解即可；（3）由方程是可分解分式方程，可得不妨設(shè)，則，由可得，可求，由，可得，，進(jìn)而可得k的值為．【詳解】（1）解：∵方程是可分解分式方程，∴故答案為：6，．（2）解：∵可分解分式方程的兩個解分別為∴，∴的值為．（3）解：方程是可分解分式方程，∴∵k為實(shí)數(shù)，不妨設(shè)，，，∴，解得，，∵，∴，，∴k的值為．5．定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為，，分別以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為該一元二次方程的衍生點(diǎn)．(1)直接寫出方程的衍生點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)已知關(guān)于的方程．①求證：不論為何值，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；②求該方程衍生點(diǎn)的坐標(biāo)；③已知不論為何值，關(guān)于的方程的?生點(diǎn)始終在直線上，求b，c的值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②；③【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程．（1）解方程得到方程的解，根據(jù)衍生點(diǎn)的定義即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)判別式即可判斷方程的根的情況；②解方程得到方程的解，根據(jù)衍生點(diǎn)的定義即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；③將變形，可得過定點(diǎn)，根據(jù)題意方程的兩個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：∴∴該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2）①∵方程為，∴，∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；②∴，∴該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo)為；③解∶直線，過定點(diǎn)，∴兩個根為，∴，∴．6．請認(rèn)真閱讀，并根據(jù)理解，完成相應(yīng)任務(wù)：閱讀材料：定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實(shí)數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”，例如：和有且只有一個相同的實(shí)數(shù)根，所以這兩個方程為“同伴方程”．任務(wù)一：（1）根據(jù)所學(xué)定義，下列方程屬于“同伴方程”的有______；（只填寫序號即可）①；②；③．任務(wù)二：（2）關(guān)于的一元二次方程與為“同伴方程”，求的值；任務(wù)三：（3）若關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，且與互為“同伴方程”，求的值．【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或．【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）根據(jù)題中的新定義列出有關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值；（3）求得兩個方程的根，根據(jù)“同伴方程”的定義即可得出的值．【詳解】解：（1）①解得：，，②，解得：，③，解得，所以，屬于“同伴方程”的有①②故答案為：①②；（2）一元二次方程的解為，當(dāng)相同的根是時，則，解得；當(dāng)相同的根是時，則，解得；綜上，的值為1或；（3）∵關(guān)于的一元二次方程（）同時滿足和，∴關(guān)于的一元二次方程的兩個根是，∵的兩個根是，∵關(guān)于的一元二次方程（）與互為“同伴方程”，∴或．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解，根的判別式，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．類型六、圓的新定義1．新定義：如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖1，若四邊形是美好四邊形，且，，，，求四邊形的面積；【問題解決】（2）如圖2，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在，，，四處，現(xiàn)要求信號塔建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為的圓，記為．已知點(diǎn)到該湖泊的最近距離為，是否存在這樣的點(diǎn)，滿足，使得四邊形的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，最大為【分析】本題主要考查了新定義美好四邊形，勾股定理，圓的性質(zhì)，三角形的面積等知識，證明對角線相等的四邊形對角線垂直時，面積最大是解題的關(guān)鍵．（1）過作于，先利用勾股定理求出，再分別求和；（2）先證明對角線相等的四邊形對角線垂直時，面積最大，最大值為對角線乘積的一半，再確定的最大值，即可得到答案．【詳解】解：（1）過作于，如圖1，，，，，四邊形是美好四邊形，，，，，在中，，，，；（2）存在這樣的點(diǎn)，滿足，且使得四邊形的面積最大，理由如下：當(dāng)對角線相等的四邊形對角線不垂直時，如圖2，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，則，，，，．當(dāng)對角線相等的四邊形對角線垂直時，如圖3，則，當(dāng)對角線相等的四邊形對角線垂直時，面積最大．點(diǎn)到湖泊的最近距離為，的半徑為，，又，當(dāng)、、依次共線時最長，如圖4，又時，，此時四邊形面積最大，此時，，故四邊形的面積最大為．2．給出如下定義：點(diǎn)Px1,y1，點(diǎn)Qx2,y2是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩點(diǎn)，且，若存在一個正數(shù)，使點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足，則稱、為一對“斜關(guān)點(diǎn)”，叫點(diǎn)、的“斜關(guān)比”，記作．由定義可知，．例如：若，，有，所以點(diǎn)、為一對“斜關(guān)點(diǎn)”，且“斜關(guān)比”為．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、、．(1)在點(diǎn)、、、中，寫出一對“斜關(guān)點(diǎn)”是________，此兩點(diǎn)的“斜關(guān)比”是________（只需寫出一對即可）．(2)若存在點(diǎn)，使得點(diǎn)、是一對“斜關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)、也是一對“斜關(guān)點(diǎn)”，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若的半徑是，是上一點(diǎn)，滿足的所有點(diǎn)，都與點(diǎn)是一對“斜關(guān)點(diǎn)”，且．請直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)、，（答案不唯一）(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)【分析】本題考查圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清楚新定義，熟練掌握圓與直線的關(guān)系，絕對值方程的解法，數(shù)形結(jié)合．（1）根據(jù)定義通過計(jì)算求解即可得到答案；（2）設(shè)Ex,y（3）作直線滿足與兩軸的夾角為，在直線右側(cè)作直線且與相距一個單位，設(shè)交于點(diǎn)，連接，作軸于點(diǎn)，交于，作于，設(shè)直線交于，以、為圓心，為半徑作圓，則兩圓分別與直線和相切，利用勾股定理求出，再設(shè)，利用列出方程，求出，即可求解；【詳解】（1）解：滿足的為正數(shù)，，，，，點(diǎn)、、、，只能是與或與形成“斜關(guān)點(diǎn)”，當(dāng)與形成“斜關(guān)點(diǎn)”時，，，故答案為：、，（答案不唯一）；（2）設(shè)點(diǎn)Ex,y點(diǎn)，，點(diǎn)、是一對“斜關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)、也是一對“斜關(guān)點(diǎn)”，且，，，，解得：，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）如圖即為，作直線滿足與兩軸的夾角為，在直線右側(cè)作直線且與相距一個單位，設(shè)交于點(diǎn)，連接，作軸于點(diǎn)，交于，作于，設(shè)直線交于，以、為圓心，為半徑作圓，兩圓分別與直線和相切，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，，點(diǎn)需在直線的右側(cè)（可以在直線上），，點(diǎn)需在的左側(cè)，則滿足題意得點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)在點(diǎn)和點(diǎn)之間（不與點(diǎn)重合），，，，設(shè)，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，．3．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可以得到的弦（分別是的對應(yīng)點(diǎn)）則稱線段是以點(diǎn)為中心的的“關(guān)聯(lián)弦”．(1)如圖1，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，以點(diǎn)為中心的的“關(guān)聯(lián)弦”是______；(2)如圖2，點(diǎn)，，線段是以點(diǎn)為中心的的“關(guān)聯(lián)弦”，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如果經(jīng)過點(diǎn)的直線上存在以點(diǎn)為中心的的“關(guān)聯(lián)弦”，求出這條直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)，時，；當(dāng)，時，(3)【分析】（1）作以為中心的對稱圓，觀察哪條線段在上，即可；（2）由題意，作出圖形利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解即可；（3）作以為中心的對稱圓，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，分別求出直線的解析式，進(jìn)而求出兩條直線與軸的交點(diǎn)，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：作以為中心的對稱圓，如圖：只有在上，故以點(diǎn)為中心的的“關(guān)聯(lián)弦”是；故答案為：；（2）∵線段是以點(diǎn)為中心的的“關(guān)聯(lián)弦”，∴為的弦，且，，∴四邊形為平行四邊形，如圖：當(dāng)時，滿足題意，此時；當(dāng)時，也滿足題意，此時：，即：；（3）作關(guān)于的對稱圓，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，則：，，，如圖，∵，∴軸，，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0，則：，解得：，∴；∴當(dāng)時，；∴直線與軸的交點(diǎn)：同法可得：，直線的解析式為：，∴當(dāng)時，，∴直線與軸的交點(diǎn)：∴當(dāng)過點(diǎn)的直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)時，滿足題意．【點(diǎn)睛】本題考查成中心對稱，平行四邊形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握成中心對稱的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．4．在平面直角坐標(biāo)系中，對于與，給出如下定義：若與有且只有兩個公共點(diǎn)，其中一個公共點(diǎn)為點(diǎn)A，另一個公共點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)B，C重合），則稱為的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”．(1)如圖，的半徑為1，點(diǎn)，為的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”．①在，這兩個點(diǎn)中，點(diǎn)A可以與點(diǎn)_______重合；②點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值為___________；(2)的半徑為2，點(diǎn)，點(diǎn)B是y軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，是等邊三角形，且為的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，求m的取值范圍；(3)的半徑為r，直線與在第一象限的交點(diǎn)為A，點(diǎn)，若平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)B，使得是等腰直角三角形，其中，且為的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”，直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①；②；(2)；(3)或【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸右側(cè)時，先過點(diǎn)C作的切線，連接，可知，和，過點(diǎn)A作軸于H，可求得，則有點(diǎn)A的臨界值，由對稱性可得點(diǎn)A在y軸左側(cè)時的值取得且，①結(jié)合點(diǎn)和的橫坐標(biāo)即可判斷；②可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值；（2）由題意可得線段和除過點(diǎn)A為不能有交點(diǎn)，當(dāng)線段除點(diǎn)A外不與有交點(diǎn)，當(dāng)與相切時，結(jié)合題意可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)時，線段除點(diǎn)A外不與有交點(diǎn)；當(dāng)線段除點(diǎn)A外不與有交點(diǎn)，即點(diǎn)B在處，記作點(diǎn)，結(jié)合為等邊三角形，求得，過點(diǎn)作軸于G，進(jìn)一步求得，在上取一點(diǎn)M，連接，使得，可求得，，則，在中利用勾股定理可求得，則有，即可得到m的取值范圍；（3）分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)C在圓內(nèi)時，即；②當(dāng)點(diǎn)C在圓外時，，過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)A作于R，作于T，證得四邊形是矩形，進(jìn)一步證得，則有，，結(jié)合題意可知，則有，，求得，③當(dāng)與相切時，由和，得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，此時，即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸右側(cè)時，過點(diǎn)C作的切線，連接，則，，∴，過點(diǎn)A作軸于H，則，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)A在y軸左側(cè)時，由對稱性得，，綜上所述，且；①∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而，∴點(diǎn)A不能與點(diǎn)重合，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而，∴點(diǎn)A能與點(diǎn)重合，故答案為：；②由前面所求可知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值為，故答案為：；（2）解：如圖2，∵為的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”，∴線段和除點(diǎn)A外不能與有交點(diǎn)，當(dāng)線段除點(diǎn)A外不與有交點(diǎn)，且當(dāng)與相切時，∴軸，此時，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，即，∴時，線段除點(diǎn)A外不與有交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在處時，記作點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，，在中，，∴，過點(diǎn)作軸于G，∴，，∴，在上取一點(diǎn)M，連接，使得，∴，在中，則，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴或（舍去），∴，∴時，線段除點(diǎn)A外不與有交點(diǎn)，綜上所述，可知當(dāng)時，為的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)C在圓內(nèi)時，當(dāng)時，即，∵直線與在第一象限的交點(diǎn)為A，∴可設(shè)，∴，∴，∴，如圖，過點(diǎn)A作軸于E，過點(diǎn)B作交延長線于D，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)B此時一定在圓外，∴此時與圓只有一個交點(diǎn)，∴時，符合題意；②當(dāng)點(diǎn)C在圓外時，當(dāng)時，如圖4，過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)A作于R，作于T，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴，∵，∴，∴，，∵點(diǎn)A在直線上，∴點(diǎn)A到x，y軸的距離相等是，∴R在y軸上，點(diǎn)B也在y軸負(fù)半軸上，∴，當(dāng)點(diǎn)B在上時，，，∴，∴，③當(dāng)與相切時，則，∵，∴點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，此時，∴，綜上所述，r的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，勾股定理等知識，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，對于外的線段（線段上的各點(diǎn)均在外）和直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到的線段恰好是的弦，則稱點(diǎn)為線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．（1）如圖2，已知點(diǎn)，，，．在線段，，中，存在關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段是，該“割圓點(diǎn)”的坐標(biāo)是；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)都在線段上，且．若線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”為點(diǎn)，寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）直線經(jīng)過點(diǎn)，不重合的四個點(diǎn)都在直線上，且點(diǎn)既是線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”，又是線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”，線段，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)，，記線段的長為．寫出的取值范圍．【答案】（1），；（2）或；（3）或【分析】（1）由題意得，若將繞著點(diǎn)R旋轉(zhuǎn)后的的圓記作，則經(jīng)過，點(diǎn)在弦的垂直平分線上，且的半徑與的半徑相等，“割圓點(diǎn)”R在線段的垂直平分線于弦所在的直線的交點(diǎn)，由，得到不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段；確定點(diǎn)為中點(diǎn)，而的垂直平分線于平行，故不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段；對于線段，先確定點(diǎn)為中點(diǎn)，“割圓點(diǎn)”一定是弦所在的直線與的垂直平分線的交點(diǎn)，可求直線表達(dá)式為：，把代入得；（2）可求直線表達(dá)式為，為等腰直角三角形，則，，找到兩個臨界位置，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)V重合時，則點(diǎn)落在x軸上，此時，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到使得點(diǎn)P與W重合時，此時點(diǎn)落在y軸上，則，代入直線，可求，因此可求的取值范圍；（3）可求，由于直線l經(jīng)過點(diǎn)，以直線分析，由題意得，點(diǎn)在以點(diǎn)H為圓心，為半徑的圓上，則線段是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓被直線l所割的弦，連接，，，第一種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H異側(cè)時，此時，當(dāng)與直線相切時，此時點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)C、D重合，連接，則，同理，因此，但是取不到，故；第二種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H同側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，此時A、C重合，B、D重合，則，當(dāng)線段為與直線相交的線段，另一個與直線相切，此時最大，但是取不到，由于點(diǎn)C、D重合，連接，可求，故，綜上即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段，由題意得，若將繞著點(diǎn)R旋轉(zhuǎn)后的的圓記作，則經(jīng)過，則，∴點(diǎn)R在的垂直平分線上，∵，，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∵的垂直平分線與平行，∴不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段，由題意得圓心在弦的垂直平分線上，且根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，∴點(diǎn)即為中點(diǎn)，由題意得“割圓點(diǎn)”一定是弦所在的直線與的垂直平分線的交點(diǎn)，如圖：∵，，∴設(shè)直線表達(dá)式為：，代入得：，解得，∴直線表達(dá)式為：，把代入得：，∴，∴，∴是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段，故答案為：，2,1；（2）解：將代入得，∴直線表達(dá)式為，當(dāng)時，，∴，∴，由題意知點(diǎn)R為的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，而，，∴，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)V重合時，則點(diǎn)落在x軸上，此時，如圖：當(dāng)點(diǎn)Q向上運(yùn)動時，點(diǎn)R也向上運(yùn)動，此時，如圖：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到時，即的垂直平分線與直線平行，此時正無窮大，如圖：∴，當(dāng)點(diǎn)Q繼續(xù)向上運(yùn)動一點(diǎn)時，的垂直平分線與直線交點(diǎn)在第三象限很遠(yuǎn)處，此時負(fù)無窮大，如圖：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到使得點(diǎn)P與W重合時，此時點(diǎn)落在y軸上，∴，代入直線得：，∴，∴，綜上所述：或；（3）∵點(diǎn)，∴，∵直線l經(jīng)過點(diǎn)，以直線分析，由題意得，點(diǎn)在以點(diǎn)H為圓心，為半徑的圓上，則線段是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓被直線l所割的弦，連接，，∵經(jīng)過圓心，點(diǎn)M為中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)減小時，增大直至等于，如圖：第一種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H異側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)M重合時，此時，如圖：當(dāng)與直線相切時，此時點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)C、D重合，連接，如圖：則，同理，∴，但是取不到，∴；第二種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H同側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，此時A、C重合，B、D重合，如圖：∴，當(dāng)線段為與直線相交的線段，另一個與直線相切，此時最大，但是取不到，由于點(diǎn)C、D重合，如圖，連接，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，難度很大，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握知識點(diǎn)，正確理解題意，找出臨界位置是解決本題的關(guān)鍵．6．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．圖1

圖2

圖3(1)如圖1，若四邊形是圓美四邊形，求美角的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，若的半徑為．①則的長是______．②如圖2，在四邊形中，若平分，求證：．(3)在（1）的條件下，如圖，若是的直徑，請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)①，②證明見解析．(3)，理由見解析．【分析】本題考查了四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓美四邊形的定義，四邊形的性質(zhì)，得到，，由此得到答案．（2）①連接并延長，交圓于點(diǎn)，連接，則，，，由勾股定理得到的長．②連接，根據(jù)已知條件，得到是等邊三角形，延長到，使得，得到，由此得到為等邊三角形，．（3）延長和交于點(diǎn)，在（1）的條件下，，，由已知條件，得到，在中，根據(jù)勾股定理得到．【詳解】（1）解：由題意得：四邊形是圓美四邊形，，，．（2）①如圖，連接并延長，交圓于點(diǎn)，連接，，，，，，，．故答案為：．②如圖，連接，在（1）的條件下，，，平分，，，，是等邊三角形，延長到，使得，又，，，，，，為等邊三角形，則，即，．（3）如圖，延長和交于點(diǎn)，在（1）的條件下，，，是直徑，，，，，，在中，，，即，解得：．類型七、相似的新定義1．定義：如果一個三角形中有兩個內(nèi)角滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．

(1)若是“近直角三角形”，，，則度；(2)如圖1，在中，，．若是的平分線，①求證：是“近直角三角形”；②在邊上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得也是“近直角三角形”？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．(3)如圖2，在中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，以為直徑的圓交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，若為“近直角三角形”，且，求的長．【答案】(1)20(2)①詳見解析；②存在，(3)或．【分析】（1）根據(jù)題意可得不可能是或，當(dāng)時，，，不成立；故時，，，由此即可得到答案；（2）①由是的平分線得到，再由在中，，得到，則，由此即可證明；②當(dāng)是近直角三角形，得到或，當(dāng)時，可證得此時D、E重合不符合題意；當(dāng)時，得到，則，可證明，得到，即，則，；（3）分兩種情況：當(dāng)時，是近直角三角形，當(dāng)時，是近直角三角形，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴不可能是或，當(dāng)時，，∴，∴不成立；當(dāng)時，，∵，∴，∴故答案為：20；（2）①證明：如圖1所示，∵是的平分線，∴，∵在中，，∴，∴，∴是“近直角三角形”；②解：如圖所示，假設(shè)在邊上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得是“近直角三角形”∵在中，，∴，∵是近直角三角形，∴或，當(dāng)時，∵，∴，又∵，∴，即，∴此時D、E重合不符合題意；當(dāng)時，

，∴，又∵，則，∴，即，∴，∴；（3）解：如圖所示，由（2）①可知，當(dāng)時，是近直角三角形，

∴由垂徑定理得：，∴，又∵，∴，∴，∴；如圖所示，由（2）②可知當(dāng)時，是近直角三角形，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連接，

∵，∴，∴，∴，∴為線段的垂直平分線，∵是圓的直徑，∴G為圓心，，∴∴，∴∴，∴，設(shè)，則（圓的半徑），∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，在中，，在中，，，，由勾股定理得：，∴解得：，∴在中，，∴綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意和掌握相似三角形的性質(zhì)與判定．2．【定義新知】如圖1，在線段上有一點(diǎn)P，若與相似，則稱點(diǎn)P為與的“似聯(lián)點(diǎn)”．【理解運(yùn)用】（1）如圖2，在的正方形網(wǎng)格中，四邊形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，連接，在線段上畫出點(diǎn)P，連接、，使得點(diǎn)P為與的“似聯(lián)點(diǎn)”；（只需畫出一種情況）（2）如圖3，在中，弦與相交于點(diǎn)P，連接、，試判斷點(diǎn)P是否為與的“似聯(lián)點(diǎn)”，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，現(xiàn)有一塊四邊形鐵皮，，，，點(diǎn)E、F分別是、邊上的定點(diǎn)，，且．工人師傅想在線段上找出與的“似聯(lián)點(diǎn)”P，并在點(diǎn)P處打孔，請你通過作圖幫助工人師傅確定打孔的準(zhǔn)確位置和數(shù)量（需說明理由），并求出孔（點(diǎn)P）與點(diǎn)E之間的距離．

【答案】（1）見解析；（2）是，見解析；（3）線段上與的“似聯(lián)點(diǎn)”P有3個，故工人師傅打孔的點(diǎn)P的數(shù)量為3個，位置如圖所示，孔與點(diǎn)E的距離分別為、、【分析】（1）連接與交點(diǎn)即為點(diǎn)P，由于，故與相似；（2）由得到，而，因此，故點(diǎn)P是與的“似聯(lián)點(diǎn)”；（3）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線得到8字形相似；作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，以為直徑作圓交于點(diǎn)、，找的是“一線三等角”相似，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，再分別利用對應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)P為所求．（答案不唯一）

（2）點(diǎn)P為與的“似聯(lián)點(diǎn)”，理由：，，，．故點(diǎn)P是與的“似聯(lián)點(diǎn)”．（3）線段上與的“似聯(lián)點(diǎn)”P有3個，位置如圖中點(diǎn)、、，理由如下：如圖，連接，交于點(diǎn)．

∵∴四邊形是矩形，∴∴，∵，，即是線段上與的“似聯(lián)點(diǎn)”；作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，以為直徑作圓交于點(diǎn)、，∵點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴，，，是圓的直徑，，∴，又，，是線段上與的“似聯(lián)點(diǎn)”；同理可證是線段上與的“似聯(lián)點(diǎn)”．當(dāng)時，，即，可得，解得；當(dāng)時，，即，可得，解得；當(dāng)時，，即，可得，解得．綜上所述，線段上與的“似聯(lián)點(diǎn)”P有3個，故工人師傅打孔的點(diǎn)P的數(shù)量為3個，位置如圖所示，孔與點(diǎn)E的距離分別為、、．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)，正確找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．3．定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．

(1)如圖1，在中，，是的角平分線，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)．求證：四邊形是鄰余四邊形．(2)如圖2，在的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，E，F(xiàn)在格點(diǎn)上．(3)如圖3，在（1）的條件下，取中點(diǎn)M，連接并延長交于點(diǎn)Q，延長交于點(diǎn)N．若N為的中點(diǎn)，，，求鄰余線的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了四邊形的新定義，綜合考查了等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，讀懂定義并明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得，則可得與互余，即與互余，從而可得答案；（2）畫出圖形即可．（3）先由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得、，再判定，從而列出比例式，將已知線段的長代入即可得解．【詳解】（1）解：，是的角平分線，，，，與互余，四邊形是鄰余四邊形；（2）解：如圖所示（答案不唯一），四邊形為所求；

（3）解：，是的角平分線，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，．4．綜合與實(shí)踐課上，老師給出定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．同學(xué)們以此開展了數(shù)學(xué)活動．

（1）①如圖1構(gòu)造一個四邊形，使得，，那么四邊形______“垂美四邊形”．（填“是”或“不是”）②如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、．那么四邊形是“垂美四邊形”嗎？請說明理由．拓展探究（2）如圖3，四邊形是“垂美四邊形”，則兩組對邊與之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．遷移應(yīng)用（3）如圖4，在中，，，．分別是射線，上一個動點(diǎn)，同時從點(diǎn)出發(fā)，分別沿和方向以每秒5個單位長度和每秒21個單位長度的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是“垂美四邊形”時，直接寫出的值．【答案】（1）①是；②四邊形是“垂美四邊形”，理由見解析；（2），理由見解析；（3）或．【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）①證明是的垂直平分線，即可得到結(jié)論；②設(shè)與分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，證明，進(jìn)一步得到，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)相交于點(diǎn)O，利用勾股定理即可證明結(jié)論；（3）過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，證明，得到，設(shè)則，則，證明，則，解得，，，即可得到答案．【詳解】解：（1）①∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)C在線段的垂直平分線上，∴是的垂直平分線，∴，∴四邊形是“垂美四邊形”．故答案為：是．②四邊形是“垂美四邊形”，理由如下：設(shè)與分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，

∵以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴四邊形是“垂美四邊形”；（2）．理由如下：如圖3，設(shè)相交于點(diǎn)O，

已知四邊形中，∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）∵，，．∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，

∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，當(dāng)四邊形是四邊形是“垂美四邊形”時，則，則，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，當(dāng)時，，此時點(diǎn)P在線段上，當(dāng)時，，此時點(diǎn)P在線段的延長線上，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是“垂美四邊形”時，的值為或．5．定義：若直角三角形的兩直角邊的比值為（為正整數(shù)），這樣的直角三角形稱為“型三角形”．

(1)利用尺規(guī)在圖1中作出以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，以為直角邊的“型三角形”；（作出一種情況即可）(2)如圖2，已知是“型三角形”，其中，，點(diǎn)在斜邊上，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明是“型三角形”；(3)如圖3，已知是“型三角形”（為正整數(shù)），其中，，利用尺規(guī)作圖在中作出一個，使得是“型三角形”（其中）．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】該題主要考查了復(fù)雜作圖-作垂線，作相等線段，以及相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，作出對應(yīng)圖形．（1）根據(jù)“型三角形”的定義即可得出需要作以為直角邊等腰直角三角形即可；（2）根據(jù)是“型三角形”，得出，設(shè)，則，，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出，從而求出，即可證明．（3）在上截取，再過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即為所求；【詳解】（1）根據(jù)“型三角形”的定義即可得出，作以為直角邊的“型三角形”即過點(diǎn)作的垂線，且等于，即以為直角邊等腰直角三角形，如圖：

（2）∵是“型三角形”，，設(shè)，則，∵，，∴，∴，，，，，∴是“型三角形”．（3）在上截取，再過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即為所求；

理由：∵是“型三角形”（為正整數(shù)），，，設(shè)，則，∵，，∴，∴，，，，，∴是“型三角形”．6．已知等邊，以為斜邊向外作，定義為等邊的“關(guān)聯(lián)直角三角形”，連接交于點(diǎn)，下面我們來研究與的值有關(guān)的問題．(1)如圖①，當(dāng)“關(guān)聯(lián)直角三角形”是等腰直角三角形時，的值為______；(2)如圖②，當(dāng)“關(guān)聯(lián)直角三角形”是含的直角三角形時，求的值；(3)如圖③，當(dāng)“關(guān)聯(lián)直角三角形”是一般的直角三角形時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）證明，得出，，根據(jù)等腰三角形三線合一得出，，設(shè)，得出，求出，，最后得出答案即可；（2）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得出，求出，證明，得出；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，，設(shè)，∴，∴，，∴．（2）解：為等邊三角形，，在中，，，，，，，；（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示：為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)，，，，又，，，，在中，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．類型八、圓中的動點(diǎn)求t1．如圖，是的直徑，，延長至點(diǎn)C，使．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿圓周按順時針方向以每秒個單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，連接，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)D，連接、、、．

(1)當(dāng)時．①求的度數(shù)；②判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求t的值．【答案】(1)①；②與相切，理由見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）①由題意可知，，根據(jù)弧長公式，設(shè)，當(dāng)時，，求解即可；②連接，由①可知，，，可知為等邊三角形，則，再證，則，得，即可求得，可證得與相切；（2）由（1）可知，，，由軸對稱可知，，，根據(jù)勾股定理的逆定理可證明，則，再由弧長公式得，即可求得．【詳解】（1）解：①∵是的直徑，，∴，設(shè)，當(dāng)時，∴，即：；②與相切，理由如下：連接，

由①可知，，，∴為等邊三角形，則，，又∵，∴，則，∴，則，∴與相切；（2）由（1）可知，，，由軸對稱可知，，，在中，，，∴，∴，則，則，解得：．2．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個單位長度向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動到終點(diǎn)時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)當(dāng)點(diǎn)E、F的距離是點(diǎn)E、A距離的兩倍時，求t的值；(2)當(dāng)以為直徑的圓與相切時，求t的值；(3)在運(yùn)動的過程中，點(diǎn)B到的最遠(yuǎn)距離為______．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定性質(zhì)，勾股定理，直線和圓的位置關(guān)系，解方程等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用性質(zhì)解題及方程思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可知，由矩形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案；（2）連接，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，即的中點(diǎn)為矩形的中心，由勾股定理可得出答案；（3）由勾股定理可得出答案．【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可知，∵四邊形是矩形，是矩形，

（2）連接，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵，∴，即的中點(diǎn)為矩形的中心，以為直徑的圓與相切，∴圓的半徑，則，在中，由（1）得由勾股定理可得：，解之得．綜上：或；

（3）由（2）可知，經(jīng)過矩形的中心，當(dāng)時，點(diǎn)到的距離有最大值，∵，∴，∴點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為．故答案為：．

3．如圖，已知是的平分線，是射線上一點(diǎn)，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿水平向左作勻速運(yùn)動，與此同時，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，也以的速度沿豎直向上作勻速運(yùn)動．連接，交于點(diǎn)．經(jīng)過三點(diǎn)作圓，交于點(diǎn)，連接．設(shè)運(yùn)動時間為，其中．(1)求的值；(2)當(dāng)時，求出內(nèi)切圓的半徑；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意分別表示出，用含的式子表示出來相加即可求解；（2）如圖，作內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，連接，求解，證明四邊形是正方形，，可得，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)圓周角定理可得，是等腰直角三角形．進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，，．（2）當(dāng)時，，，

如圖，作內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，連接，，，四邊形是正方形，，，，，即內(nèi)切圓的半徑為1．（3），是圓的直徑．．，，是等腰直角三角形，，，．在中，．四邊形的面積，．四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，求解三角形的內(nèi)切圓的半徑，切線長定理的應(yīng)用，正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用圓的基礎(chǔ)知識與切線長定理求解是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿AB以的速度向點(diǎn)移動；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，的面積為．(2)在運(yùn)動過程中的面積能否為？如果能，求出的值，若不能請說明理由；(3)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)，，，四個點(diǎn)恰好在同一個圓上時，求值．【答案】(1)(2)的面積不可能為(3)或時、、、四點(diǎn)恰好在同一個圓上【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動速度表示出長度，然后計(jì)算出三個直角三角形面積，再由矩形面積減去三個直角三角形面積就能得到的面積；（2）根據(jù)（1）總得出的面積計(jì)算方式，列出關(guān)于的方程，通過判斷方程有無解來即可判斷；（3）是直角三角形如果它的三個頂點(diǎn)都在圓上，可得是直徑，也要在圓上，那么也是直角三角形，通過勾股定理用表示出，再由列出方程求解即可.【詳解】（1）由題意得，，，，（2）根據(jù)題意得整理得，方程無實(shí)數(shù)根的面積不可能為（3）、、三點(diǎn)在以為直徑的圓上若點(diǎn)也在圓上，則當(dāng)解得或時、、、四點(diǎn)恰好在同一個圓上．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積以及一元二次方程的應(yīng)用，直徑所對的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程．5．如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.點(diǎn)B以1個單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動矩形ABCD隨之運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒

(1)如圖2，當(dāng)t=2.5時，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度；(2)在點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個交點(diǎn)為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時t的值.【答案】(1)(2)8或9秒【分析】(1)通過計(jì)算當(dāng)t=2.5時EB=BO，進(jìn)而得到△MBE≌△MBO，判斷出△MEO為等邊三角形得到∠EOM=60°，然后根據(jù)弧長公式求解；(2)通過判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】（1）解：設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)M，如下圖所示：

當(dāng)t=2.5時，BE=2.5，∵EF=10，∴OE=EF=5，∴OB=2.5，∴EB=OB，在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，∴△MBE≌△MBO(SAS)，∴ME=MO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等邊三角形，∴∠EOM=60°，∴．（2）解：連接GO和HO，如下圖所示：

∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值為8或9秒．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定(一線三垂直模型)，結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，，cm．點(diǎn)D從A出發(fā)沿AC以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動；同時，點(diǎn)F從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動，移動過程中始終保持（點(diǎn)E在AB上）．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也同時停止移動．設(shè)移動時間為t（s）（其中）．(1)當(dāng)t為何值時，四邊形DEFC的面積為18？(2)是否存在某個時刻t，使得，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)E是否可能在以DF為直徑的圓上？若能，求出此時t的值，若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，說明見解析(3)能，【分析】（1）由題意知，四邊形為梯形，則，，求t的值，由得出結(jié)果即可；（2）假設(shè)存在某個時刻t，則有，解得t的值，若，則存在；否則不存在；（3）假設(shè)點(diǎn)E在以DF為直徑的圓上，則四邊形DEFC為矩形，，故有，求t的值，若，則存在；否則不存在．【詳解】（1）解：∵∴是等腰直角三角形，∵∴，∴是等腰直角三角形，四邊形為直角梯形∴∵∴∵∴解得或．∵且∴∴．（2）解：假設(shè)存在某個時刻t，使得．∴化簡得解得或∵∴不存在某個時刻t，使得．（3）解：假設(shè)點(diǎn)E在以DF為直徑的圓上，則四邊形DEFC為矩形∴，即解得∵∴當(dāng)時，點(diǎn)E在以DF為直徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，勾股定理，直徑所對的圓周角為90°，矩形的性質(zhì)，等腰三角形等知識點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于正確的表示線段的長度．類型九、相似中的動點(diǎn)求t1．如圖，在中，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P不與A、B重合時，過P作于D，以為鄰邊作矩形，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間是t（秒）．(1)線段的長為____________；(2)當(dāng)矩形恰好是正方形時，求t的值；(3)當(dāng)時，求t的值：(4)延長到點(diǎn)Q，使，連結(jié)．當(dāng)直線分矩形的面積為兩部分時，直接寫出t的值．【答案】(1)5(2)(3)(4)的值為或【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及矩形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分類討論思想和相似三角形的判定與性質(zhì)：（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)矩形恰好是正方形，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（4）分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在上時，②當(dāng)點(diǎn)P在上時，根據(jù)三角形相似和矩形面積公式即可求解，【詳解】（1）解：在中，，∴，故答案為：5；（2）解：∵矩形恰好是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵∴，，，∴，∴∴的值為：（3）解：則（2）知：，∵，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的值為：（4）解：設(shè)與交于點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)在上時，如圖，∵，∴∴，∴∵直線分矩形的面積為兩部分，∴或，∴，或；∵，∴或∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在上時，如圖，∵，∴∴，∴∵直線分矩形的面積為兩部分，∴或，∴，或；∵，∴或∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，綜上，的值為或2．在中，，，，動點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時出發(fā)，均以每秒的速度分別沿、向終點(diǎn)A，B移動，同時動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度沿向終點(diǎn)A移動，連接，，設(shè)移動時間為t（單位：秒）三個點(diǎn)中有一個到達(dá)終點(diǎn)即停止運(yùn)動．(1)若以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與相似，求t的值；(2)當(dāng)是等腰三角形時，求t的值；(3)在運(yùn)動過程中，是否存在以為直角邊的，存在則直接寫出t的值．【答案】(1)、(2)、2(3)、【分析】（1）根據(jù)勾股定理．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)時，得到，②當(dāng)時，即點(diǎn)在的垂直平分線上，如圖1，過作的垂直平分線交于，則，，根據(jù)，得到比例式即可得到結(jié)果；③當(dāng)時，即點(diǎn)在的垂直平分線上，如圖1，過作的垂直平分線交于，由，得到比例式，即可得到結(jié)果，（不合題意，舍去）；（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，分兩種情況分類討論，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得：即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在中，，，．根據(jù)勾股定理，得．∵以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與相似∴當(dāng)時，，或當(dāng)時，此時，即，解得，當(dāng)時，此時，即，解得答：當(dāng)、時，B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與相似；（2）是等腰三角形，①當(dāng)時，即，解得：，②當(dāng)時，如圖1，過作的垂直平分線交于，即點(diǎn)在的垂直平分線上，則，，，，即，解得：，③當(dāng)時，如圖2，過作的垂直平分線交于，即點(diǎn)在的垂直平分線上，則，，，，，即：，解得：，（不合題意，舍去），綜上所述：當(dāng)，或時，是等腰三角形；（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，即，，同理：，∵動點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時出發(fā)，均以每秒的速度分別沿、向終點(diǎn)A，B移動∴∴為等腰直角三角形∴∵以為直角邊∴當(dāng)時，∴∴解得：當(dāng)時，∴∴解得：綜上所述：當(dāng)，或時，是等腰三角形，以為直角邊.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，等腰三角形的求法以及三角形面積公式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上以每秒2個單位長度的速度向原點(diǎn)運(yùn)動，動直線從軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動即軸，分別與軸、線段交于點(diǎn)、，連接、，設(shè)動點(diǎn)與動直線同時出發(fā)，移動時間為．(1)求時，的面積．(2)移動過程中，是否存在這樣的t使得的面積等于40？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．(3)移動過程中，是否存在t值使得以點(diǎn)E，O，P為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)36(2)不存在，理由見解析(3)存在，或【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識點(diǎn)，要注意最后一問中，要分對應(yīng)角的不同來得出不同的對應(yīng)線段成比例，從而得出運(yùn)動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．（1）由于軸，則時，，關(guān)鍵是求證明，則，從而求出的長度，得出的面積；（2）假設(shè)存在這樣的，使得的面積等于40，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進(jìn)行判斷，得出結(jié)論