微積分 第3版 課件 6.5 定積分的應用

6.5

定積分的應用

定積分在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。通常用定積分解決的問題是求非均勻分布的整體量，例如面積、體積、成本、利潤等?！拔⒃?元素法）”是定積分應用的基本方法，其核心思想是在每個微小的局部把函數(shù)看作常數(shù)。什么量可以用定積分表示出來?(1)U是一個與變量x的變化區(qū)間[a,b]有關的量;則可以考慮用定積分來表達這個量U.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當所求量U符合下列條件：則U相應地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：這個方法通常稱為微元法(元素法).(1)根據(jù)問題的具體情況,選取一個變量例如

x(2)任取一小區(qū)間并記為求出相應于這小區(qū)間的部分量

的近似值dU,并將其表示為(3)以所求量U的元素

為被積表達式,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得即為所求量U的積分表達式.為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b];這個小區(qū)間上所對應的小曲邊梯形面積面積微元得

曲邊梯形面積的積分式也可以用微元法

建立如下.地等于長為f(x)、寬為dx的小矩形面積,故有近似它對應的面積元素dA為6.5.1平面圖形的面積在[a,b]上任取一區(qū)間

設平面圖形是由兩條連續(xù)曲線y=f(x)，y=g(x)（其中

）以及直線x=a,x=b

所圍成，求此平面圖形的面積.和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應求由曲線小區(qū)間在區(qū)間[c,d]上任取一個解兩曲線的交點選

x為積分變量例

6.26

求由曲線和所圍成的圖形面積.面積元素解兩曲線的交點選

y為積分變量例

6.27

求由

和

所圍成的圖形的面積.

所求面積解畫草圖,求兩曲線交點的坐標以便解方程組:交點面積元素選

為積分變量,?確定積分限,練習旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條圓柱圓錐圓臺6.5.2體積問題1.旋轉體的體積直線旋轉一周而成的立體.這直線稱為旋轉軸．旋轉而成的薄片的體積元素旋轉體的體積為如果旋轉體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx],取以dx為底的小曲邊梯形繞x軸解這個旋轉橢球體可以看成是由上半橢圓例6.28

求由橢圓圍成的圖形繞x軸

旋轉一周所得旋轉體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋轉而成.所求體積為解兩曲線的交點為繞x軸旋轉所得體積x軸旋轉所得旋轉體的體積.練習求拋物線所圍成圖形繞解體積元素取積分變量為x,oxy練習2.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個立體介于過

而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素解取坐標系如圖底圓方程例6.29一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角計算這平面截圓柱體所得立體的體積.垂直于x軸的截面為直角三角