高等數(shù)學(xué)課件 2-4函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點四、初等函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義f(x)在x0連續(xù)的幾何特征曲線

y=f(x)在

x0點不斷裂。2.單側(cè)連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)的幾何特征：…。定理1連續(xù)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。例1證證畢例2解f(x)右連續(xù)但不左連續(xù)

,3.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

若f(x)在區(qū)間I的內(nèi)部每一點處都連續(xù)，并且當(dāng)I含左（右）端點時f(x)在該端點處右（左）連續(xù)，則稱f(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，并且稱I為f(x)的連續(xù)區(qū)間。

I上連續(xù)函數(shù)的圖形在I上是一條連續(xù)而不間斷的曲線.幾何特征注意：函數(shù)在區(qū)間

I上處處連續(xù)與在區(qū)間

I上連續(xù)是有區(qū)別的.二、函數(shù)的間斷點由此尋找函數(shù)的間斷點。間斷點的分類：例3解注意可通過修改函數(shù)在可去間斷點處的定義,使其變?yōu)檫B續(xù)點.例5解如例5中,例5解例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點只能是個別的幾個點.狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷，且都是第二類間斷點?！镌诙x域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★判斷下列各間斷點類型:例6例7解三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2（函數(shù)在一點處連續(xù)性的四則運算法則）推論（區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）注單側(cè)連續(xù)函數(shù)也有與定理1相應(yīng)的四則運算法則。例8意義極限符號可與連續(xù)函數(shù)符號交換先后順序，即極限運算可以穿過連續(xù)函數(shù)符號。定理3)].(lim[)()]([lim,)(,)(limtfaftfaufatttttjjj???===

則有連續(xù)在而的某個變化過程，有若對例9或由或由定理4注四、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★★y=x

(

)在定義區(qū)間上連續(xù).定理5

基本初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù).定理6

一切初等函數(shù)都在其定義區(qū)間上連續(xù).1.

初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù).注意

例如,利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限的方法（代入法）：

若初等函數(shù)

f(x)

在x0

及鄰近（或左鄰近，或右鄰近）有定義，則例10最大值和最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義:。上的一個在是，上的在是則稱使得上有定義。若在區(qū)間設(shè)最大(小)值點值小最大IxfxIxfxfIxxfxfxfxfIxIxf)()()()(,))()(()()(,)(

00000?"3￡?$有界性定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.零點定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)如果在端點處異號，則一定在該區(qū)間內(nèi)部有零點.MBCAmab介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，如果在端點處取值不同，則在該區(qū)間內(nèi)部一定可以取到介于端點處函數(shù)值之間的任何值.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.例11證證畢例12證由零點定理,yf(b)b