專題12全等三角形-2020-2021學年八年級數(shù)學上學期期中考試高分直通車

20202021學年八年級數(shù)學上學期期中考試高分直通車（人教版）專題1.2全等三角形精講精練【目標導航】【知識梳理】1. 全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．（4）對應頂點、對應邊、對應角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．2.全等三角形的性質(zhì)：（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對應角相等說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．3.全等三角形的判定：（1）判定定理1：SSS三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．4.全等三角形的應用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．5．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE【典例剖析】【考點1】全等圖形【例1】（2019秋?新樂市期中）下圖所示的圖形分割成兩個全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)進而得出答案．【解析】如圖所示：圖形分割成兩個全等的圖形，．故選：B．【點評】此題主要考查了全等圖形，正確把握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1.1】（2019秋?建鄴區(qū)期中）如果兩個圖形全等，那么這兩個圖形必定是（）A．形狀大小均相同 B．形狀相同，但大小不同 C．大小相同，但形狀不同 D．形狀大小均不相同【分析】根據(jù)全等圖形的定義作答．【解析】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，所以如果兩個圖形全等，那么這兩個圖形必定是形狀大小均相同．故選：A．【點評】考查了全等圖形，能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，所以，“全等圖形”包括兩個圖形的形狀和大小都是完全一樣的．【變式1.2】（2019秋?路南區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個圖形一定全等 B．兩個長方形是全等圖形 C．兩個全等圖形面積一定相等 D．兩個正方形一定是全等圖形【分析】直接利用全等圖形以及全等圖形的性質(zhì)判斷得出答案．【解析】A、形狀相同、大小相等的兩個圖形一定全等，故本選項不符合題意；B、長方形不一定是全等圖形，故本選項不符合題意；C、兩個全等圖形面積一定相等，故本選項符合題意；D、兩個正方形不一定是全等圖形，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了全等圖形和全等圖形的性質(zhì)，正確把握相關(guān)的定義或性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1.3】（2019秋?開州區(qū)期末）下列說法不正確的是（）A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同 B．面積相等的兩個圖形是全等圖形 C．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān) D．全等三角形的對應邊相等，對應角相等【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)進而分析得出答案．【解析】A、如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，正確，不合題意；B、面積相等的兩個圖形是全等圖形，錯誤，符合題意；C、圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意；D、全等三角形的對應邊相等，對應角相等，正確，不合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了全等圖形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1.4】（2019秋?呼和浩特期末）平移前后兩個圖形是全等圖形，對應點連線（）A．平行但不相等 B．不平行也不相等 C．平行且相等 D．不相等【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出答案．【解析】平移前后兩個圖形是全等圖形，對應點連線平行且相等．故選：C．【點評】本題利用了平移的基本性質(zhì)：①圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化；②經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．【變式1.5】（2020春?梁平區(qū)期末）如圖，圖中由實線圍成的圖形與①是全等形的有②③．（填番號）【分析】根據(jù)全等形是可以完全重合的圖形進行判定即可．【解析】由圖可知，圖上由實線圍成的圖形與①是全等形的有②，③，故答案為：②③．【點評】本題主要考查學生對全等形的概念的理解及運用，此題的關(guān)鍵是從邊的角度來進行分析．【變式1.6】（2020春?石獅市期末）如圖，四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'，則∠A的大小是95°．【分析】利用全等圖形的定義可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四邊形內(nèi)角和為360°可得答案．【解析】∵四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案為：95°．【點評】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．【考點2】全等三角形的性質(zhì)【例2】如圖所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．（1）求證：AC∥DF．（2）求AB的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】證明：（1）∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．（2）∵△ABC≌△FED，∴AB＝EF．∴AB﹣EB＝EF﹣EB．∴AE＝BF．∵AF＝8，BE＝2∴AE+BF＝8﹣2＝6∴AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+2＝5【點評】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應角相等和對應邊相等解答．【變式2.1】（2020春?扶風縣期末）如圖，△AOB≌△COD，A和C，B和D是對應頂點，若BO＝6，AO＝3，AB＝5，則CD的長為（）A．5 B．8 C．10 D．不能確定【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答．【解析】∵△AOB≌△COD，∴CD＝AB＝5，故選：A．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】（2020?淄博）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項錯誤，B選項正確，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】（2020春?萬州區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是對應點，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD的長為（）A．12 B．7 C．2 D．14【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】如圖，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是對應點，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故選：A．【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2.4】（2019秋?宿豫區(qū)期中）如圖，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝86°，則∠ABC＝92°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DCB，求出∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解析】∵△ABC≌△DBC，∴∠ACB＝∠DCB，∵∠ACD＝86°，∴∠ACB＝43°，∵∠A＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，故答案為：92．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應角相等．【變式2.5】（2019秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度數(shù)；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的對應角相等，三角形的外角的性質(zhì)計算；（2）根據(jù)全等三角形的對應邊相等計算．【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2.6】（2020春?寬城區(qū)期末）如圖，△ACF≌△DBE，其中點A、B、C、D在一條直線上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CA＝BD，結(jié)合圖形得到AB＝CD，計算即可．【解析】（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝28°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝9cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝9﹣5＝4cm，∴AB＝2cm．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關(guān)鍵．【考點3】全等三角形的判定【例3】（2020春?市中區(qū)期末）如圖，已知線段AC、BD相交于點E，連接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求證：△ABE≌△DCE．【分析】根據(jù)全等三角形的判斷定理即可得到結(jié)論．【解析】證明：在△ABE和△DCE中，∵∠A∴△ABE≌△DCE（ASA）．【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握是全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3.1】（2020秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖，△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不正確的是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．AC＝DC，∠A＝∠D D．BC＝EC，∠A＝∠D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項判斷即可．【解析】∵AB＝DE，∴當BC＝EC，∠B＝∠E時，滿足SAS，可證明△ABC≌△DEC，故A可以；當BC＝EC，AC＝DC時，滿足SSS，可證明△ABC≌△DEC，故B可以；當AC＝DC，∠A＝∠D時，滿足SAS，可證明△ABC≌△DEC，故C可以；當BC＝EC，∠A＝∠D時，在△ABC中是ASS，在△DEC中是ASS，故不能證明△ABC≌△DEC，故D不可以；故選：D．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．【變式3.2】（2020秋?渝中區(qū)校級月考）已知：如圖，AC＝DE，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DFE，需添加一個條件，則添加的條件以及相應的判定定理合適的是（）∠A＝∠D（ASA） B．AB＝DF（SAS） C．BC＝FE（SSA） D．∠B＝∠F（ASA）【分析】利用全等三角形的判定方法分別進行分析即可．【解析】A、添加條件∠A＝∠D判定△ABC≌△DFE用的判定方法是ASA，故原題說法正確；B、添加條件AB＝DF不能判定△ABC≌△DFE，故原題說法錯誤；C、添加條件BC＝FE判定△ABC≌△DFE用的判定方法是SAS，故原題說法錯誤；D、添加條件∠B＝∠F判定△ABC≌△DFE用的判定方法是AAS，故原題說法錯誤；故選：A．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式3.3】（2020春?長清區(qū)期中）點D、E分別在線段AB、AC上，CD與BE相交于點O，已知AE＝AD，添加以下哪一個條件不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．AB＝AC【分析】由已知條件AE＝AD、∠A＝∠A，結(jié)合各選項條件分別依據(jù)“AAS、ASA、SSA、SAS”，逐一作出判斷即可得，其中SSA不能任意判定三角形全等．【解析】A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依據(jù)“AAS”判定△ABE≌△ACD，此選項不符合題意；B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依據(jù)“ASA”判定△ABE≌△ACD，此選項不符合題意；C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此選項符合題意；D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依據(jù)“SAS”判定△ABE≌△ACD，此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．【變式3.4】（2020春?海淀區(qū)校級月考）已知，如圖，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一個條件：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF），使得△ABC≌△DEF．【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．【解析】∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠D＝∠A，∴添加條件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加條件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加條件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案為：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．【變式3.5】（2020春?平陰縣期末）如圖，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列條件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有②④．（填序號）【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理和已知條件逐個判斷即可．【解析】①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①錯誤；②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS證明△ABC≌△DEF，∴②正確；③AB＝EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③錯誤；④∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∠A∴△ABC≌△DEF（ASA），∴④正確；故答案為：②④．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【變式3.6】（2020春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，點E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求證：△ACE≌△BED．【分析】證出∠C＝∠DEB，根據(jù)AAS證明三角形全等即可．【解析】證明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，∴∠C＝∠DEB，在△ACE和△BED中，∵∠A∴△ACE≌△BED（AAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【考點4】直角三角形全等的判定【例4】（2019春?銅仁市期末）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點，且AD＝BE，∠1＝∠2，求證：Rt△ADE≌Rt△BEC．【分析】根據(jù)已知條件，利用直角三角形的特殊判定方法可以證明題目結(jié)論．【解析】證明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【點評】本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性質(zhì)：等角對等邊，做題時要綜合利用這些知識．【變式4.1】（2019秋?桐梓縣期末）下列判定直角三角形全等的方法，不正確的是（）A．兩條直角邊對應相等 B．兩個銳角對應相等 C．斜邊和一直角邊對應相等 D．斜邊和一銳角對應相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法一一判斷即可．【解析】A、根據(jù)SAS可以判定三角形全等，本選項不符合題意．B、AA不能判定三角形全等，本選項符合題意．C、根據(jù)HL可以判定三角形全等，本選項不符合題意．D、根據(jù)AAS可以判定三角形全等，本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式4.2】（2019秋?諸城市期末）如圖，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還要添加一個條件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF【分析】根據(jù)垂直定義求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【解析】條件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，能靈活運用全等三角形的判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式4.3】（2020春?昌圖縣期末）下列條件中，能判定兩個直角三角形全等的是（）A．一銳角對應相等 B．兩銳角對應相等 C．一條邊對應相等 D．兩條直角邊對應相等【分析】判定兩個直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五種．據(jù)此作答．【解析】兩直角三角形隱含一個條件是兩直角相等，要判定兩直角三角形全等，起碼還要兩個條件，故可排除A、C；而B構(gòu)成了AAA，不能判定全等；D構(gòu)成了SAS，可以判定兩個直角三角形全等．故選：D．【點評】此題主要考查兩個直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等的4種外，還有特殊的判定：HL．【變式4.4】（2019秋?勃利縣期末）如圖，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分別為B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，點P為BC邊上一動點，當BP＝2時，形成的Rt△ABP與Rt△PCD全等．【分析】當BP＝2時，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，進而可得AB＝CP，BP＝CD，再結(jié)合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解析】當BP＝2時，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中AB=∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案為：2．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法，關(guān)鍵是掌握SAS定理．【變式4.5】如圖，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分別為B，E，AE，BC相交于點F，AB＝BC．若AB＝8，CF＝2，則BD＝6．【分析】根據(jù)“ASA”證明△ABF≌△CBD，BF＝BD，求出BF＝6，即可得出答案．【解析】證明：∵CB⊥AD，AE⊥CD，∴∠ABF＝∠CBD＝∠AED＝90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，∠A∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD，∵BC＝AB＝8，BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，∴BD＝BF＝6；故答案為：6．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4.6】（2020春?岱岳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足．AE＝CF，求證：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因為∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．【解析】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，AC=∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．【點評】本題主要考查直角三角形的判定，全等三角形對應角相等的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點5】全等三角形的判定與性質(zhì)【例5】（2020春?淥口區(qū)期末）如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE＝CD，求證：Rt△BEC≌Rt△CDB．【分析】根據(jù)高的定義求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理HL推出即可．【解析】證明：∵BD，CE分別是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，BC=∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【變式5.1】（2019秋?銅山區(qū)期末）如圖，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，△ABC與△ADE全等嗎？為什么？【分析】根據(jù)∠CAE＝∠BAD，可得∠CAB＝∠EAD，又已知∠B＝∠D，AC＝AE，可利用AAS證明△ABC≌△ADE．【解答】解：△ABC≌△ADE．∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAB＝∠EAD，在△ABC和△ADE，∵∠B∴△ABC≌△ADE（AAS）．【變式5.2】（2020?增城區(qū)一模）如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求證：△ABC≌△AED．【分析】據(jù)∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，再加上條件AB＝AE，∠C＝∠D可證明△ABC≌△AED．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．∵在△ABC和△AED中，∠C∴△ABC≌△AED（AAS）．【變式5.3】（2019秋?北海期末）如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．求證：△AEF≌△BCD．【分析】由AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠A＝∠B，又由AD＝BF，AE＝BC，根據(jù)SAS，即可證得：△AEF≌△BCD．【解答】解：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B，∵AD＝BF，∴AF＝BD，在△AEF和△BCD中，AE=∴△AEF≌△BCD（SAS）．【變式5.4】（2018秋?建湖縣期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求證：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】先由BF＝EC得到BC＝EF，再根據(jù)“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中AB=∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【變式5.5】（2020春?常熟市期末）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點，且AF＝CE．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠FCD，根據(jù)SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【考點6】全等三角形的應用【例6】（2019秋?廣饒縣期末）如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離：現(xiàn)在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD＝AC；連接BC并延長到E，使CE＝CB；連接DE并測量出它的長度．（1）求證：DE＝AB；（2）如果DE的長度是8m，則AB的長度是多少？【分析】（1）利用SAS直接得出△CDE≌△CAB，進而得出答案；（2）利用（1）中所求得出AB的長即可．【解析】（1）證明：在△CDE和△CAB中，CD=∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE＝AB；（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，∴AB＝8m．答：AB的長度是8m．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，得出△CDE≌△CAB是解題關(guān)鍵．【變式6.1】（2020春?南岸區(qū)期末）為了測量池塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，在地面上找一點C，連接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延長線上確定點D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通過測量AD的長，得AB的長．那么△ABC≌△ADC的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【分析】根據(jù)SAS即可證明△ACB≌△ACD，由此即可解決問題．【解析】在△ACB和△ACD中，AC=∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AB＝AD（全等三角形的對應邊相等）．故選：A．【點評】本題考查全等三角形的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．【變式6.2】（2020春?長清區(qū)期末）如圖，兩根旗桿間相距20米，某人從點B沿BA走向點A，一段時間后他到達點M，此時他分別仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角為90°，且CM＝DM．已知旗桿BD的高為12米，該人的運動速度為2米/秒，則這個人運動到點M所用時間是4秒．【分析】根據(jù)題意證明∠C＝∠DMB，利用AAS證明△ACM≌△BMD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝AM＝12米，再利用時間＝路程÷速度加上即可．【解析】∵∠CMD＝90°，∴∠CMA+∠DMB＝90°，又∵∠CAM＝90°，∴∠CMA+∠C＝90°，∴∠C＝∠DMB．在Rt△ACM和Rt△BMD中，∠A∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），∴BD＝AM＝12米，∴BM＝20﹣12＝8（米），∵該人的運動速度為2m/s，∴他到達點M時，運動時間為8÷2＝4（s）．故答案為4．【點評】本題考查了全等三角形的應用；解答本題的關(guān)鍵是利用互余關(guān)系找三角形全等的條件，對應角相等，并巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系．本題的關(guān)鍵是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．【變式6.3】（2020?如皋市一模）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長．為什么？【分析】由垂線的定義可得出∠B＝∠EDC＝90°，結(jié)合BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可證出△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性質(zhì)可得出AB＝ED．【解析】DE＝AB，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠B＝∠EDC＝90°．在△ABC和△EDC中，∠B∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED．【點評】本題考查了全等三角形的應用，利用全等三角形的判定定理ASA證出△ABC≌△EDC是解題的關(guān)鍵．【變式6.4】（2020春?楚雄州期末）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進行解答．【解析】由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．【變式6.5】（2020春?肅州區(qū)期末）如圖，沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在山的另一面同時施工，工人師傅在AC上取一點B，在小山外取一點D，連接BD并延長，使DF＝BD，過F點作AB的平行線MF，連接MD并延長，在延長線上取一點E，使DE＝DM，在E點開工就能使A，C，E成一條直線，你知道其中的道理嗎？【分析】首先證明△BDE≌△FDM（SAS），可得∠BEM＝∠FME，進而得到BE∥MF，再由AB∥MF可得A、C、E三點在一條直線上．【解答】解：∵在△BDE和△FDM中BD=∴△BDE≌△FDM（SAS），∴∠BEM＝∠FME，∴BE∥MF，∵AB∥MF，∴A、C、E三點在一條直線上．【變式6.6】（2019秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點E，垂足為點D．（DE≠CD）（1）線段DE的長度就是A、B兩點間的距離（2）請說明（1）成立的理由．【分析】（1）根據(jù)題意確定DE＝AB；（2）根據(jù)已知條件得到兩個三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論即可．【解答】解：（1）線段DE的長度就是A、B兩點間的距離；故答案為：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【考點7】角平分線的性質(zhì)【例7】（2019秋?蘭州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求點D到AB的距離．【分析】先要過D作出垂線段DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD＝DE，再根據(jù)已知即可求得D到AB的距離的大小．【解析】過點D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴點D到AB的距離為2.6cm．【點評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等進行解答．【變式7.1】（2020春?丹東期末）如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，AE平分∠CAB，交BD于點E，AB＝8，DE＝3，則△ABE的面積等于（）A．15 B．12 C．10 D．14【分析】過點E作EF⊥AB于點F，由角平分線的性質(zhì)可得EF的值等于DE的值，再按照三角形的面積計算公式計算即可．【解析】過點E作EF⊥AB于點F，如圖：∵BD是AC邊上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面積為：8×3÷2＝12．故選：B．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形的面積計算，屬于基礎知識的考查，難度不大．【變式7.2】（2020春?撫州期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，若CD＝2，AB＝9，則△ABD的面積為9．【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，得DE＝DC＝2，再根據(jù)三角形的面積計算公式得出△ABD的面積．【解析】如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積=12?AB?DE=12×9故答案為：9．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與三角形的面積計算公式．作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式7.3】（2020春?泰山區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，BD：DC＝2：1，BC＝12cm，則D到AB的距離為4cm．【分析】過點D作DE⊥AB，根據(jù)題意求出DC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解析】過點D作DE⊥AB于E，∵BD：DC＝2：1，BC＝12，∴DC＝4，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，即D到AB的距離為4cm，故答案為：4．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式7.4】（2020春?婁星區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若AB＝5，DC＝2，則△ABD的面積為5．【分析】作DH⊥AB于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DC＝2，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【解析】作DH⊥AB于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∴△ABD的面積=12×5×2故答案為5．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【變式7.5】（2020春?岳陽期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，且E為AB的中點．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若DE＝5，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2＝∠B，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解析】（1）∵DE⊥AB于點E，E為AB的中點，∴DE是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5，∴BC＝CD+BD＝15．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式7.6】（2020春?會寧縣期末）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC，（1）求∠ADE的度數(shù)；（2）若DE＝3，求點D到AB的距離．【分析】（1）先利用三角形內(nèi)角和計算出∠BAC＝68°，再利用角平分線的定義得到∠DAC＝34°，然后利用互余計算出∠ADE的度數(shù)；（2）作DF⊥AB于F，如圖，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝3．【解析】（1）∵∠B＝50°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣62°＝68°，∵AD是角平分線，∴∠DAC=12∠BAC＝∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣34°＝56°；（2）作DF⊥AB于F，如圖，∵AD是角平分線，DF⊥AB，DE⊥AC，∴DF＝DE＝3，即點D到AB的距離為3．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【考點8】全等三角形綜合問題【例8】（2020?溧陽市一模）如圖，將Rt△ABC沿BC所在直線平移得到△DEF．（1）如圖①，當點E移動到點C處時，連接AD，求證：△CDA≌△ABC；（2）如圖②，當點E移動到BC中點時，連接AD、AE、CD，請你判斷四邊形AECD的形狀，并說明理由．【分析】（1）由平移性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，由平行線的性質(zhì)得∠BAC＝∠DCA，進而利用公共邊相等，根據(jù)SAS定理得出結(jié)論；（2）由平移性質(zhì)得AD∥BE，AD＝BE，再由中點E，得AD＝EC，進而得四邊形AECD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得AE＝CE，進而根據(jù)菱形的判定定理得四邊形AECD是菱形．【解答】解：由平移知，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠DCA，在△CDA和△ABC中CD=∴△CDA≌△ABC（SAS）；（2）∵將Rt△ABC沿BC所在直線平移得到△DEF，∴AD∥BE，AD＝BE，∵E是BC的中點，∴BE＝CE，∴AD∥CE，AD＝CE，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中點，∴AE＝CE，∴四邊形AECD是菱形．【變式8.1】（2020?金壇區(qū)二模）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC邊于點E，連接DE．（1）求證：∠AEB＝∠DEB；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后根據(jù)題目中的條件即可證明△ABE和△DBE全等，從而可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義可以得到∠AEB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE．在△ABE和△DBE中，AB=∴△ABE≌△DBE（SAS），∴∠AEB＝∠DEB；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABE＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．【變式8.2】（2019秋?常熟市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，點D為△ABC內(nèi)一點，∠ABD＝∠ACD＝20°，E為BD延長線上的一點，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）請判斷AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用SAS定理證明△ABD≌△ACD，可求出答案；（2）求出∠ABC＝∠ACB＝50°，可得出∠DBC＝∠DCB＝30°，證得∠ADE＝∠EDC，則結(jié)論得證；（3）在DE上取點F，使DF＝DA，連接AF．證明△ADF為等邊三角形，可得∠ADF＝∠AFD＝60°，再證明△ABD≌△AEF（AAS）．得出BD＝EF，則結(jié)論DE＝AD+BD得證．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD．在△ABD與△ACD中，AB=∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=1（2）證明：∵∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝60°，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝60°，∴∠ADE＝∠EDC，∴DE平分∠ADC．（3）結(jié)論：DE＝AD+BD．在DE上取點F，使DF＝DA，連接AF．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，∵DA＝DF，∠ADE＝60°，∴△ADF為等邊三角形，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠ADB＝∠AFE＝120°．在△ABD與△AEF中，∠ABE∴△ABD≌△AEF（AAS）．∴BD＝EF，∵DE＝DF+EF，∴DE＝AD+BD．【變式8.3】（2019秋?宿豫區(qū)期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求證：DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）