2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章復(fù)數(shù)10.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE10.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.向量加法與減法的幾何意義是什么?2.復(fù)數(shù)模的幾何意義是什么?1.復(fù)數(shù)的加、減法法則及幾何意義與運(yùn)算律z1,z2,z3∈C,設(shè),分別與復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相對(duì)應(yīng),且,不共線項(xiàng)目加法減法運(yùn)算法則z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i幾何意義復(fù)數(shù)的和z1+z2與向量+=的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的差z1-z2與向量-=的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)運(yùn)算律交換律z1+z2=z2+z1結(jié)合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是個(gè)什么數(shù)?它的值唯一確定嗎?提示:是復(fù)數(shù),唯一確定.(2)若復(fù)數(shù)z1,z2滿意z1-z2>0,能否認(rèn)為z1>z2?提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.2.復(fù)數(shù)和與差的肯定值不等式.||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng). ()(2)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果只能是實(shí)數(shù). ()(3)復(fù)數(shù)的減法不滿意結(jié)合律,即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立. ()提示:(1)×.復(fù)數(shù)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng).(2)×.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果是復(fù)數(shù).(3)×.復(fù)數(shù)的減法滿意結(jié)合律.2.復(fù)數(shù)(1-i)-(2+i)+3i等于 ()A.-1+i B.1-iC.i D.-i【解析】選A.原式=1-i-2-i+3i=-1+i.3.設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因?yàn)閦1-z2=5-7i,所以z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.4.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)設(shè)z1=-6-2i,z2=6-18i其中i為虛數(shù)單位.若z=z1+z2,則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】z=z1+z2=-6-2i+6-18i=-20i,則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-20).答案:(0,-20)關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.計(jì)算:(2+4i)+(3-4i)=.

【解析】原式=(2+3)+(4-4)i=5.答案:52.計(jì)算:(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=.

【解析】原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.答案:-2+2i3.已知復(fù)數(shù)z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=.

【解析】由條件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是純虛數(shù),所以QUOTE解得a=3.答案:34.(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a,b∈R).

【解析】(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.答案:-a+(4b-3)i5.已知復(fù)數(shù)z滿意|z|+z=1+3i,則z=.

【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),|z|=QUOTE,所以|z|+z=(QUOTE+x)+yi=1+3i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-4+3i.答案:-4+3i復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算技巧(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是將實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部,因此要精確地提取復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.(2)算式中若出現(xiàn)字母,首先確定其是否為實(shí)數(shù),再確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,最終把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減.(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算:若有括號(hào),括號(hào)優(yōu)先;若無(wú)括號(hào),可以從左到右依次進(jìn)行計(jì)算.(4)當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z|與z時(shí),一般用待定系數(shù)法,設(shè)z=x+yi(x,y∈R).類型二復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義(直觀想象)【典例】如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別表示0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的復(fù)數(shù);(2)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù);(3)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù).【思路導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)的幾何意義以及向量的運(yùn)算求解.【解析】(1)因?yàn)?-,所以表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2)因?yàn)?-,所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因?yàn)閷?duì)角線=+,所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.典例的條件不變,求向量表示的復(fù)數(shù).【解析】因?yàn)?+,由解析可知,表示的復(fù)數(shù)為-3-2i,表示的復(fù)數(shù)為1+6i,所以向量表示的復(fù)數(shù)為(-3-2i)+(1+6i)=-2+4i.復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是與以原點(diǎn)為起點(diǎn),Z(a,b)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)的.(2)一個(gè)向量可以平移,其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不變,但是其起點(diǎn)與終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能變更.(2024·煙臺(tái)高一檢測(cè))在復(fù)平面內(nèi)A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-1+2i.(1)求,,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)推斷△ABC的形態(tài);(3)求△ABC的面積.【解析】(1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zB-zA=(2+i)-1=1+i.對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i.對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.(2)由(1)知||=QUOTE=QUOTE,||=QUOTE=QUOTE,||=QUOTE=2QUOTE,所以||2+||2=||2,所以△ABC為直角三角形.(3)S△ABC=QUOTE||·||=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=2.類型三復(fù)數(shù)問(wèn)題幾何化(直觀想象)【典例】若z∈C,i為虛數(shù)單位,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.【思路導(dǎo)引】依據(jù)|z+2-2i|=1,結(jié)合復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義,推斷出z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡,再依據(jù)復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義,結(jié)合圓的幾何性質(zhì),求得|z-2-2i|的最小值.【解析】由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,因此復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以z0=-2+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z0為圓心,1為半徑的圓上,如圖所示.設(shè)y=|z-2-2i|,則y是Z點(diǎn)到2+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的距離.又QUOTE=4,所以由圖知ymin=|AZ0|-1=3.轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)模問(wèn)題中的應(yīng)用|z1-z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1,z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì),可把復(fù)數(shù)模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題,從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題求解.假如復(fù)數(shù)z滿意|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ()A.1 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.設(shè)復(fù)數(shù)-i,i,-1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,Z3,因?yàn)閨z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng),求|ZZ3|的最小值,因?yàn)閨Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若復(fù)數(shù)z滿意z+i-3=3-i,則z等于 ()A.0 B.2i C.6 D.6-2i【解析】選D.z=3-i-(i-3)=6-2i.2.復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=-1-i,則z1-z2等于 ()A.2 B.2+2i C.4+2i D.4-2i【解析】選C.z1-z2=4+2i.3.設(shè)z1=2+bi,z2=a+i,當(dāng)z1+z2=0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi為 ()A.1+i B.2+iC.3 D.-2-i【解析】選D.由QUOTE得QUOTE所以a+bi=-2-i.4.在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),,,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【解析】=-=-(+)=3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.答案:4-4i5.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)若復(fù)數(shù)z滿意3z+QUOTE=1+i,其中i為虛數(shù)單位,則z=.

【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則3(a+bi)+a-bi=1+i?4a=1且2b=1?z=QUOTE+QUOTEi.答案:QUOTE+QUOTEi六復(fù)數(shù)的加法與減法(15分鐘30分)1.已知復(fù)數(shù)z滿意z+2i-5=7-i,則|z|= ()A.12 B.3 C.3QUOTE D.9【解析】選C.由題意知z=7-i-(2i-5)=12-3i,所以|z|=QUOTE=3QUOTE.2.設(shè)向量,,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3,則 ()A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0【解析】選D.因?yàn)?=,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.3.已知|z|=3,且z+3i是純虛數(shù),則z等于 ()A.-3i B.3i C.±3i D.4i【解析】選B.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i為純虛數(shù),所以a=0,b+3≠0,又|b|=3,所以b=3,z=3i.4.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在復(fù)平面內(nèi)z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,則a的值為 ()A.3 B.2 C.1 D.-1【解析】選D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,所以1+a=0,所以a=-1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】復(fù)數(shù)z1=-3+i,z2=1-i,則復(fù)數(shù)z=z1-z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.因?yàn)閦1=-3+i,z2=1-i,所以復(fù)數(shù)z=z1-z2=-3+i-(1-i)=-4+2i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,2),位于其次象限.5.(2024·青島高一檢測(cè))已知i為虛數(shù)單位,設(shè)z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,則z1-z2=.

【解析】因?yàn)閦1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以QUOTE即QUOTE所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.答案:-1+10i6.(2024·上海高一檢測(cè))設(shè)z1=1-i,z2=a+2aiQUOTE,其中i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z1+z2是純虛數(shù),則a=.

【解析】因?yàn)閦1=1-i,z2=a+2ai,所以z1+z2=a+1+QUOTEi,因?yàn)閺?fù)數(shù)z1+z2是純虛數(shù),所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.答案:-1(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若向量,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-1+3i,則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i【解析】選D.依題意有==-.而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2i.2.設(shè)f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,則f(z1-z2)等于 ()A.QUOTE B.5QUOTEC.QUOTE D.5QUOTE【解析】選D.因?yàn)閦1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5QUOTE.3.z∈C,若|z|-QUOTE=1+2i,則z= ()A.QUOTE-2i B.QUOTE+2iC.2+2i D.2-2i【解析】選B.設(shè)z=a+bi則|z|-QUOTE=QUOTE-a+bi=1+2i,故QUOTE故QUOTE故z=QUOTE+2i.4.已知z∈C且QUOTE=1,則QUOTE(i為虛數(shù)單位)的最小值是 ()A.2QUOTE-1 B.2QUOTE+1C.QUOTE D.2QUOTE【解析】選A.因?yàn)閨z|=1且z∈C,作圖如圖:因?yàn)閨z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2QUOTE-1.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.對(duì)隨意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.z-QUOTE=2a B.|z|=|QUOTE|C.z+QUOTE=2a D.z+QUOTE=2bi【解析】選BC.已知z=a+bi,則QUOTE=a-bi.選項(xiàng)A,z-QUOTE=QUOTE-QUOTE=2bi≠2a,錯(cuò)誤.選項(xiàng)B,|z|=QUOTE,|QUOTE|=QUOTE=QUOTE,正確.選項(xiàng)C,z+QUOTE=2a,故C正確,D錯(cuò)誤.6.已知復(fù)數(shù)z1=2+ai,z2=a+iQUOTE,且復(fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限,則a的取值可以是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選CD.由題得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,因?yàn)閺?fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限,所以QUOTE所以a>2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·蘇州高一檢測(cè))已知i為虛數(shù)單位,下列說(shuō)法中正確的是 ()A.若復(fù)數(shù)z滿意|z-i|=QUOTE,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)為圓心,QUOTE為半徑的圓上B.若復(fù)數(shù)z滿意z+|z|=2+8i,則復(fù)數(shù)z=15+8iC.復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模D.復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的向量為,若QUOTE=QUOTE,則⊥【解析】選CD.滿意|z-i|=QUOTE的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0,1)為圓心,QUOTE為半徑的圓上,A錯(cuò)誤;在B中,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|z|=QUOTE.由z+|z|=2+8i,得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i,B錯(cuò)誤;由復(fù)數(shù)的模的定義知C正確;由QUOTE=QUOTE的幾何意義知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,從而兩鄰邊垂直,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z+|z|=2+i,則z=.

【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則|z|=QUOTE.所以x+yi+QUOTE=2+i.所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE+i.答案:QUOTE+i8.若|z|=2,則|z-1|的最小值是.

【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.答案:1四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知復(fù)數(shù)|z|=2,求復(fù)數(shù)1+QUOTEi+z的模的最大值、最小值.【解析】由已知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上,設(shè)w=1+QUOTEi+z,所以z=w-1-QUOTEi,所以|z|=|w-(1+QUOTEi)|=2.于是復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以(1,QUOTE)為圓心,半徑為2的圓上,如圖所示,此時(shí)圓上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)wA的模有最大值,圓上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)wB的模有最小值,故|1+QUOTEi+z|max=4,|1+QUOTEi+z|min=0.10.在平行四邊形ABCD中,已知,對(duì)應(yīng)的復(fù)