高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊(cè)課件：不定積分的概念與性質(zhì)

不定積分

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)§4.2換元積分法§4.3分部積分法§4.4某些特殊類型的不定積分

不定積分的概念與性質(zhì)4.1.2不定積分的性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念1．原函數(shù)

.定義4.1

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在函數(shù)，使對(duì)任意的都有或則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)..

定理4.1

（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在區(qū)間都有.上連續(xù)，在上存在可導(dǎo)函數(shù)使得對(duì)任意的

面給出一個(gè)充分條件．舉最簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō),

,故

是自身的一個(gè)原函數(shù).但如果給其加上任意常數(shù)，由于,那么

仍然是

的原函數(shù)．由此可知，當(dāng)一個(gè)函數(shù)具有原函數(shù)時(shí)，它的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．那么，什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)呢？下數(shù)，就能得到其所有原函數(shù).間內(nèi)一定有原函數(shù).

由上述定理可知，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).因?yàn)槌醯群瘮?shù)在定義域區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以初等函數(shù)在定義域區(qū)

我們已經(jīng)知道：函數(shù)如果存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，那么的其它原函數(shù)與有什么關(guān)系?事實(shí)上，很多時(shí)候我們只需要求出一個(gè)原函

設(shè)

是

的任意一個(gè)原函數(shù)，即

，則有：

由拉格朗日中值定理的推論1知，導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)是常數(shù)，故

這表明與只相差一個(gè)常數(shù).因此,只要找

到的一個(gè)原函數(shù)，(為任意常數(shù))就可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)．2．不定積分

定義4.2

那么在區(qū)間

上有

(為任意常數(shù))

在區(qū)間

上,函數(shù)

的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)

.其中，記號(hào)稱為積分號(hào)，

稱為被積函數(shù)，稱為

（或

）在區(qū)間上的不定積分，記作

根據(jù)定義,如果

是

在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)稱為被積表達(dá)式，

稱為積分變量．

分析

原式經(jīng)過變形可化為求冪函數(shù)的原函數(shù).解

由于因此有

分析

根據(jù)斜率求原曲線，即是求函數(shù)原函數(shù)的過程.解

設(shè)所求的曲線方程為

，按題設(shè)，曲線上任一點(diǎn)處

例4.1.1

求的切線斜率為，即是的一個(gè)原函數(shù)．

例4.1.2

設(shè)曲線通過點(diǎn)，且斜率為，求該曲線方程.

由于因此有某個(gè)常數(shù)

使

，即曲線方程為.因所求曲線通過點(diǎn)

，故于是所求曲線方程為

函數(shù)

的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線.本例即是求函數(shù)

的通過點(diǎn)

的那條積分曲線．顯然，這條積分曲線可以由另一條積分曲線(例如

）向軸方向平移而得(如圖)．

.4.1.2不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的定義，即可得下述性質(zhì)：性質(zhì)1或性質(zhì)2或記作微分運(yùn)算(以記號(hào)

表示)與求不定積分的運(yùn)算(簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算，以記號(hào)

表示)是互逆的．當(dāng)記號(hào)

與

連在一起時(shí)，或者抵消，或者抵消后相差一個(gè)常數(shù)．

性質(zhì)3（線性性質(zhì)）其中

為任意常數(shù)證明

要證上式的右端是

的不定積分,將右端對(duì)

求導(dǎo),得性質(zhì)3可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形．

不定積分的性質(zhì)以及基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，記憶常見函數(shù)的積分公式，便能熟練計(jì)算可化為幾個(gè)基本初等函數(shù)線性組合的積分．在應(yīng)用這些公式時(shí),有時(shí)需要對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)變形,化成能直接套用基本積分公式的情況，一般稱這種不定積分計(jì)算方法為直接積分法.現(xiàn)將常見的一些基本積分公式列表如下：(1)

(k為常數(shù))(2)

(

為常數(shù)且

)，(3)

,(4),(5),(6),(7),(8),(9)，(10)，(11)，(12)，(13)，

例4.1.3求

分析

首先把被積函數(shù)化為和式，然后再逐項(xiàng)積分.

解

例4.1.4

求下列函數(shù)的不定積分.(1)

(2)

分析

(1)式可以拆為幾個(gè)函數(shù)的積分和；

(2)式經(jīng)過變形可拆為兩個(gè)已知函數(shù)的積分.

解

(1)

(2)

例4.1.5

求下列函數(shù)的不定積分.解