2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】全稱量詞與存在量詞-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題1.5全稱量詞與存在量詞教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.通過豐富的例子理解全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題、存在量詞命題的含義，會判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假，會寫出其否定形式；2.使學生體會從特殊到一般的歸納方法，體驗從具體到抽象的認知發(fā)展過程；3.培養(yǎng)學生邏輯用語的理解能力和表達能力，發(fā)展數(shù)學抽象和邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).教學重點：理解全稱量詞命題和存在量詞命題的含義.教學難點：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，寫出全稱量詞命題和存在量詞命題的否定形式.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動一、引入新課二、建構(gòu)新知三、深化認識四、課堂小結(jié)五、布置作業(yè)請同學們閱讀下列兩組命題，看看語言上有什么特點？A組：(1)對任意一個xZ，2x+1是整數(shù).(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù).(3)所有的矩形都是平行四邊形.B組：(1)有些三角形是等腰三角形.(2)至少有一個四邊形，它的對角線互相垂直.(3)存在一個xR，使得x2>0.我們發(fā)現(xiàn)，A組中的短語“任意一個”、“每一個”、“所有的”指的是事物的全部，B組中的短語“有些”、“至少有一個”、“存在一個”指的是事物的一部分。這兩種短語就是我們今天要學習的全稱量詞與存在量詞。1.短語“任意一個”，“每一個”，“所有的”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.A組命題都是全稱量詞命題，為了更好地觀察命題的結(jié)構(gòu)，我們把A組命題改用集合語言敘述：(1)對于整數(shù)集合中的任意一個元素x，2x+1是整數(shù).(2)素數(shù)集合中的任意一個元素x都是奇數(shù).(3)矩形集合中的任意一個元素x都是平行四邊形.不難發(fā)現(xiàn)，全稱量詞命題的結(jié)構(gòu)特點是：集合M中的任意一個元素x，都滿足條件p.因此全稱量詞命題的一般形式就可以寫成：“對M中任意一個x，都有p(x)成立”，用符號簡記為“，p(x)”.2.短語“有些”、“至少有一個”、“存在一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.B組命題都是存在量詞命題，同理，從集合的角度看，存在量詞命題的結(jié)構(gòu)特點是：集合M中至少存在一個元素x，滿足條件p.它的一般形式可以寫成：“存在M中的元素x，使得p(x)成立”，用符號簡記為“，p(x).”為了更好地理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義及關(guān)系，我們進一步研究命題的真假與命題的否定.1.判斷命題的真假例１判斷下列全稱量詞命題的真假：(1)x∈R，|x|＋1≥1；(2)對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù).分析要判定全稱量詞命題“，p(x)”為真，就需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判定全稱量詞命題“，p(x)”為假，舉一個反例即可:在集合M中找一個x0，使得p(x0)不成立．解(1)x∈R，總有|x|≥０，因此|x|＋1≥1．所以該命題是真命題.(2)是無理數(shù)，但是有理數(shù)，即至少有一個無理數(shù)的平方不是無理數(shù)，所以該命題是假命題.例2判斷下列存在量詞命題的真假:(1)有一個偶數(shù)是素數(shù);(2)存在一個三角形，它的內(nèi)角和不等于1800.分析要判定存在量詞命題“x∈M,p(x)”為真，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可(找特例).要判定存在量詞命題“x∈M,p(x)”為假，就需要證明M中不存在使p(x)成立的元素,即對M中的任意一個元素x，p(x)都不成立.解(1)因為偶數(shù)2是素數(shù)，所以該命題是真命題.(2)因為任意一個三角形的內(nèi)角和都等于1800，所以內(nèi)角和不等于1800的三角形不存在，所以該命題是假命題.練習判斷下列命題的真假：(1)所有能被３整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)任意兩個等邊三角形都相似；(3)有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0；(4)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線.解(1)舉反例：6能被3整除，但是6不是奇數(shù)，所以該命題是假命題.(2)因為任意兩個等邊三角形對應角相等(都是600)，所以它們相似，所以該命題是真命題.(3)分析：“有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0”的含義是“方程x2+2x+3=0有解”.因為?，所以方程x2+2x+3=0無實根，因此使x2+2x+3=0的實數(shù)x不存在.所以該命題是假命題.(4)因為平面內(nèi)過一點與已知直線垂直的直線有且只有一條，所以平面內(nèi)任意兩條相交直線都不可能垂直于同一條直線，即平面內(nèi)不存在兩條相交直線垂直于同一條直線.所以該命題是假命題.另：由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線．所以該命題是假命題.小結(jié)：判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假，關(guān)鍵在于讀懂命題的含義.在研究命題含義的過程中，我們會經(jīng)常遇到與原命題意義想反的命題，即命題的否定.比如例1第(2)題原命題是“對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”，舉反例，就說明“存在一個無理數(shù)x，x2不是無理數(shù)”，這個命題就是原命題的否定.再如例2第(2)題原命題是“存在一個三角形，它的內(nèi)角和不等于1800”，相反意義的命題是：“內(nèi)角和不等于1800的三角形不存在”，即“任意一個三角形的內(nèi)角和都等于1800”.2.命題的否定(1)全稱量詞命題的否定原命題：對M中任意一個x，都有p(x)成立，記為，p(x).命題的否定：“存在M中的元素x，使得p(x)不成立”，記為，p(x).(2)存在量詞命題的否定原命題：存在M中的元素x，使得p(x)成立，記為，p(x).命題的否定：對M中任意一個元素x，p(x)都不成立，記為，p(x).(3)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．例3寫出下列命題的否定：(1)任意一個實數(shù)都有平方根;(2)對任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于３;(3)x∈R，使得x2-2x+2<0;(4)有些四邊形的四個頂點在同一個圓上.解(1)命題的否定：有的實數(shù)沒有平方根.(2)命題的否定：x∈Z，使得x2的個位數(shù)字等于３.(3)命題的否定：x∈R，都有x2-2x+2≥0.(4)命題的否定：任意一個四邊形的四個頂點都不在同一個圓上.思考將下列命題改寫成含有一個量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題，并寫出它們的否定：(1)平行四邊形的對角線互相平分；(2)三個連續(xù)整數(shù)的乘積是６的倍數(shù)；(3)三角形不都是中心對稱圖形；(4)一元二次方程不總有實數(shù)根．解(1)原命題：任意一個平行四邊形的對角線都互相平分.命題的否定：存在一個平行四邊形，它的對角線不互相平分.(2)原命題：任意三個連續(xù)整數(shù)的乘積是６的倍數(shù).命題的否定：存在三個連續(xù)整數(shù)，它們的乘積不是６的倍數(shù).(3)原命題：有些三角形不是中心對稱圖形.命題的否定：任意一個三角形都是中心對稱圖形.(4)原命題：有的一元二次方程沒有實數(shù)根．命題的否定：所有的一元二次方程都有實數(shù)根．全稱全稱量詞全稱量詞命題存在量詞存在量詞命題概念含義關(guān)系本質(zhì)作用本節(jié)課先從認識具體的量詞短語開始，形成初步的概念，再通過判斷命題的真假進一步理解了全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，通過寫命題的否定理解了兩種命題的關(guān)系，即全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題：“，p(x)”的否定