安徽省合肥中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽省合肥中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在聲學(xué)中，聲強級（單位：）由公式給出，其中為聲強（單位：）.，，那么（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點對稱C．周期為 D．在上是增函數(shù)4．已知集合，，若，則實數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角頂點在坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．6．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．7．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb8．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．5 D．610．已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．11．著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．404012．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是拋物線上一點，是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點，則的最小值為________．14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.15．的展開式中，x5的系數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫答案）16．在中，，，，則________，的面積為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標(biāo)方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.19．（12分）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）20．（12分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.21．（12分）如圖，三棱臺中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（10分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前n項和為，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，數(shù)列的前n項和，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，∴，故選：D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．3、D【解析】

當(dāng)時,,∴f(x)不關(guān)于直線對稱；當(dāng)時,,∴f(x)關(guān)于點對稱；f(x)得周期，當(dāng)時,,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項.4、D【解析】

由題意可得，根據(jù)，即可得出，從而求出結(jié)果．【詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【點睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運算．5、A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.．7、B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.8、B【解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．9、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.11、D【解析】

計算，代入等式，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.12、C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)動點距離的最小值問題，涉及到的知識點有點關(guān)于直線的對稱點，點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.14、【解析】令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為．故本題應(yīng)填．點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(１)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．(２)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等．15、-189【解析】由二項式定理得，令r=5得x5的系數(shù)是．16、【解析】

利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了三角形面積的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當(dāng)最大時，直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，可得，又因為是的中點，即得證；（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，計算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30°，列出等式，即得解.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接交于點，連接，則是平面與平面的交線，因為平面，故，又因為是的中點，所以是的中點，故.（Ⅱ）由條件可知，，所以，故以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，故取因為直線與平面所成角的大小為30°所以，即，解得，故此時.【點睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.19、（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當(dāng)P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人．【詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中等題.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒有交點，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點，延長交于點，連接，根據(jù)三垂線定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.【詳解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點，延長交于點，連接，由，，，所以平面，則平面，又，根據(jù)三垂線定理，得到，所以是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角對大邊知，所以，這與上面相矛盾，所以二面角的大小不能為.【點睛】本題考查了