遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何31空間向量基本定理教案新人教B版選修2-1

空間向量基本定理課題空間向量基本定理課時第1課時課型習(xí)題課教學(xué)重點共線、共面、分解定理依據(jù)：教參，教材，課程標(biāo)準，高考大綱教學(xué)難點定理的應(yīng)用依據(jù)：教參，教材，自主學(xué)習(xí)目標(biāo)了解共線向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法..理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題..理解基底、基向量及向量的線性組合的概念．理由：課程標(biāo)準，高考大綱教具投影、教材，教輔教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師行為學(xué)生行為設(shè)計意圖時間1.課前3分鐘知識點一共線向量定理與共面向量定理1．共線向量定理2．向量共面的條件(3)共面向量定理知識點二空間向量分解定理1．空間向量分解定理2．基底檢查，評價總結(jié)小考結(jié)果。解讀學(xué)習(xí)目標(biāo)。給出標(biāo)準答案2、改正錯誤明確本節(jié)課聽課重點3分鐘2.承接結(jié)果例1已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.評價、總結(jié)答疑解惑學(xué)生展示講解，其余小組評價。學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的意識15分鐘3.做議講評例2已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為________1、組織課堂2、對學(xué)生的展示和評價要給予及時的反饋。3.要對學(xué)生不同的解題過程和答案給出準確的評價，總結(jié)。1）按小組會的人數(shù)多少，選小組代表去黑板板演并講解2）學(xué)生用投影儀展示答案3）其余同學(xué)質(zhì)疑、挑錯讓更多學(xué)生主動參與課堂及主動學(xué)會知識16分鐘4．總結(jié)提升1．共線向量定理2．向量共面的條件3共面向量定理1、提問:本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)是否達成？2、歸納總結(jié)解題方法1、抽簽小組展示討論的結(jié)果。2、總結(jié)方法培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)習(xí)慣，強化知識及方法3分鐘5．目標(biāo)檢測 D．|a|＝3檢測卷巡視學(xué)生作答情況。公布答案。評價學(xué)生作答結(jié)果。小考本上作答。同桌互批。獨立訂正答案。檢查學(xué)生對本課所學(xué)知識的掌握情況。5分鐘6布置下節(jié)課自主學(xué)習(xí)任務(wù)7.板書8.課后反思閱讀教材，完成課后習(xí)題完成優(yōu)化學(xué)案預(yù)習(xí)測評空間向量基本定理共線向量定理與共面向量定理空間向量分解定理學(xué)生分類歸納能力有了明顯提高，但計算能力和知識的綜合運用能力還需提升讓學(xué)生明確下節(jié)課所學(xué)，有的放矢進行自主學(xué)習(xí)。2分鐘1．下列命題中正確的個數(shù)是()①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線．②向量a、b、c共面，即它們所在的直線共面．③如果三個向量a，b，c不共面，那么對于空間任意一個向量p存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a、b是兩個不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，，c}構(gòu)成空間的一個基底．A．0B．1C．2D．3B[①中當(dāng)b＝0時，a與c不一定共線，故①錯誤；②中a，b，c共面時，它們所在的直線平行于同一平面不一定在同一平面內(nèi)，故②錯誤；③正確；④不對，a，b不共線．當(dāng)c＝λa＋μb時，a、b、c共面．]2．已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q構(gòu)成空間的另一個基底的是()A．a(chǎn) B．bC．c D．無法確定C[∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a與p、q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b與p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c與p、q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個基底，故選C.]3．如圖3-1-17所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，點M在OA上，且eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up8(→))等于()圖3-1-17A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB.－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.所以應(yīng)選B.]4．設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))，則(x，y，z)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))A[連接AG1交BC于E，則E為BC中點，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))，eq\o(AG1,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))，∵eq\o(OG,\s\up8(→))＝3eq\o(GG1,\s\up8(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up8(→))－eq\o(OG,\s\up8(→)))，∴OG＝eq\f(3,4)OG1，∴eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG1,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up8(→))，故選A.]5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：①(eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→)))－eq\o(AB,\s\up8(→))；②(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))－2eq\o(DD1,\s\up8(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up8(→))＋eq\o(A1A,\s\up8(→)))＋eq\o(DD1,\s\up8(→)).其中能夠化簡為向量eq\o(BD1,\s\up8(→))的是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]A6．下列命題是真命題的是________(填序號)．①若A，B，C，D在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))是共線向量；②若A，B，C，D不在一直線上，則eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))不是共線向量；③若向量eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上；④若向量eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上．①④[①為真命題，A，B，C，D在一條直線上，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))是共線向量；②為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))的方向不確定，不能判斷eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))是否為共線向量；③為假命題，因為eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以A，B，C，D四點不一定在一條直線上；④為真命題，因為eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))兩個向量所在的直線有公共點A，且eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))是共線向量，所以A，B，C三點共線．故填①④.]7．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.1－1[因為m與n共線，所以存在實數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]8．如圖3-1-18，點M為OA的中點，{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))}為空間的一個基底，eq\o(DM,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))＋zeq\o(OD,\s\up8(→))，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝________.圖3-1-18eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))[eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))，所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).]9．已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能否作為空間的一個基底．[解]假設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因為{e1，e2，e3}是空間的一個基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能作為空間的一個基底．10．如圖3-1-19所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up8(→))＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：圖3-1-19(1)eq\o(AP,\s\up8(→))；(2)eq\o(AM,\s\up8(→))；(3)eq\o(AN,\s\up8(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up8(→)).[解]連接AC，AD′，AC′(圖略)．(1)eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up8(→))＋eq\o(AD′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＋(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))＋2eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CQ,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.[能力提升練]1.如圖3-1-20，空間四邊形ABCD中，點G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點，則eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))的化簡結(jié)果為()圖3-1-20A.eq\o(AF,\s\up8(→)) B．eq\o(AH,\s\up8(→))C.eq\o(AE,\s\up8(→)) D．eq\o(CF,\s\up8(→))A[∵G是△BCD的重心，∴|eq\o(GE,\s\up8(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up8(→))|，∴eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→)).又eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，從而eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→)).]2．A、B、C不共線，對空間任意一點O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，則P、A、B、C四點()A．不共面 B．共面C．不一定共面 D．無法判斷B[eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up8(→))，由共面的充要條件知P、A、B、C四點共面．]3．已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為________．0[∵A、B、C三點共線．∴存在唯一實數(shù)k使eq\o(AB,\s\up8(→))＝keq\o(AC,\s\up8(→))，即eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝k(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，∴(k－1)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))－keq\o(OC,\s\up8(→))＝0.又λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，則λ＝k－1，m＝1，n＝－k，所以λ＋m＋n＝0.]4．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up8(→))，eq\o(A1N,\s\up8(→))＝2eq\o(ND,\s\up8(→)).設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up8(→))為________．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c[如圖所示，連接AN，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1N,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)－eq\f(1,3)(a＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.]5．如圖3-