河北省保定唐縣第一中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

河北省保定唐縣第一中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種2．已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點，與軸的正半軸交于點，與準(zhǔn)線交于點，且，則（）A． B．2 C． D．35．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．6．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤8．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．39．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標(biāo)原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．10．已知集合，集合，則A． B．或C． D．11．已知函數(shù)滿足，設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________．14．點P是△ABC所在平面內(nèi)一點且在△ABC內(nèi)任取一點，則此點取自△PBC內(nèi)的概率是____15．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進入答題專區(qū)，點擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動中答對的題數(shù)分別是，則這五位同學(xué)答對題數(shù)的方差是____________．16．若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列，其前項和為，證明：.19．（12分）已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構(gòu)成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)A是橢圓的左頂點，過右焦點F的直線，與橢圓交于P，Q，直線AP，AQ與直線交于M，N，線段MN的中點為E.①求證：；②記，，的面積分別為、、，求證：為定值.20．（12分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）第十四屆全國冬季運動會召開期間，某校舉行了“冰上運動知識競賽”，為了解本次競賽成績情況，從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率；（2）若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動，并指定2名負(fù)責(zé)人，求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0022．（10分）為了保障全國第四次經(jīng)濟普查順利進行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過程中首先要進行宣傳培訓(xùn)，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導(dǎo)致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經(jīng)營戶10050150合計14060200（1）寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；（2）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”；（3）以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利的對象數(shù)記為，寫出的分布列，并求的期望值．附：0.100.0100.0012.7066.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個空位中插入B、C，此時共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．【點睛】本題考查了排列組合問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．2、D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因為，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.3、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．4、B【解析】

過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進而求得結(jié)果.【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點，由拋物線解析式知：，準(zhǔn)線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.5、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．6、C【解析】

如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，，，，根據(jù)勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：切點為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.7、B【解析】

依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設(shè)首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識進行判斷．(2)當(dāng)一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．9、D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.10、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．11、B【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進行選擇．【詳解】當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.14、【解析】

設(shè)是中點，根據(jù)已知條件判斷出三點共線且是線段靠近的三等分點，由此求得，結(jié)合幾何概型求得點取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點，因為，所以，所以三點共線且點是線段靠近的三等分點，故，所以此點取自內(nèi)的概率是．故答案為：【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示，考查幾何概型概率計算，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

由這五位同學(xué)答對的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．16、【解析】

設(shè)，代入已知條件進行化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設(shè)，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當(dāng)時，恒成立，；②當(dāng)時，，即，；③當(dāng)時，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）上述三式相加可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，故得證.【點睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【詳解】（1）由，得.當(dāng)時，方程的，因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；當(dāng)時，方程有兩個不等實根，且滿足，所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；綜上可知：若時，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計算能力，是一道難題.19、（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】

（1）解方程即可；（2）①設(shè)直線，，，將點的坐標(biāo)用表示，證明即可；②分別用表示，，的面積即可.【詳解】（1）解之得：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）①，，設(shè)直線代入橢圓方程：設(shè)，，，直線，直線，，，，，.②，所以.【點睛】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值，進而可求得其正弦值.【詳解】（1）取中點，連接、、，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、中點，且，則四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，，，，因此，二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.21、（1），，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出，根據(jù)頻數(shù)、頻率、