2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】（解析版）

函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】

?題型歸納

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】............................................................3

【題型2函數(shù)的最值問題】.....................................................................5

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】............................................................8

【題型4函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用】..............................................................11

【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】.........................................................13

【題型6類周期函數(shù)1.............................................................................................................17

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】...........................................................20

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】...............................................................24

?命題規(guī)律

1、函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用

函數(shù)及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容,

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函

數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解.對

于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，主要考察方向是：判斷函數(shù)單調(diào)性及

求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較小；對于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查難度較大，復(fù)

習(xí)時要加強(qiáng)訓(xùn)練.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值問題的解題策略】

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

(2)函數(shù)產(chǎn)回㈤)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)產(chǎn)近)和內(nèi)層函數(shù)/=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若是增函數(shù)，貝U-〃x)為減函數(shù)；若"X)是減函數(shù)，貝為增函數(shù)；

②若/'(X)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(X)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函

數(shù)；

③若〃x)>0且“X)為增函數(shù)，則函數(shù)乂而為增函數(shù)，,為減函數(shù)；

④若〃x)>0且〃x)為減函數(shù)，則函數(shù)口分為減函數(shù)，,為增函數(shù).

'“X)

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

【知識點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷")與｛-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系

式O)M-x)=0(奇函數(shù))或次.十子)=0(偶函數(shù)))是否成立.

(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，f(x)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)-g(x).

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇士偶=非奇非偶；奇、(一)奇=偶；奇*(十)偶=奇;

偶x(+)偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(5)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=〃?(：+l)(xwo)或函數(shù)/(x)=m(3r.

a-1a+1

②函數(shù)/(x)=±S-「).

③函數(shù)/(x)=log"葉'=10gli(1+2)或函數(shù)/(%)=10g“二”=10gli(1-4)

x—mx—mx+mx+m

④函數(shù)f(x)=log,(&+1+x)或函數(shù)/(x)=log”(Jx?+1-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的

函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

【知識點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對稱性的常用結(jié)論】

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論(。是不為0的常數(shù))

(1)若兀r+a)=/(x),貝T=a；

(2)若兀r+a)=y(x-a),貝!]T=2a；

(3)若兀什.)=兆)，貝U7=2。；

(4)若於+)/已)，則7=2°；

(5)若fix+a)=-f,則T=2a；

(6)若兀r+a)=/(x+6),貝！JT=\a-b\(a^b);

2.對稱性的三個常用結(jié)論

(1)若函數(shù)加)滿足/(a+x)=/S-x),則夕或￥)的圖象關(guān)于直線x=對稱.

(2)若函數(shù)加)滿足八0+升)=次6-工)，則月⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)。對稱.

(3)若函數(shù)加)滿足/(a+xH/(6-x)=c,則p或￥)的圖象關(guān)于點(diǎn)(日出,!■卜寸稱.

3.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

⑴若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且T=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(a<b),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且T=2(b-a);

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(6,0)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(b-a).

【知識點(diǎn)4抽象函數(shù)的解題策略】

1.抽象函數(shù)及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y=/(x)表示，抽

象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于

一身，是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

[例1](2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)定義域為R,且函數(shù)/(%)與1)均為偶函數(shù)，當(dāng)％e[0,1]

時，/(%)是減函數(shù)，設(shè)Q=/(|),b=/(JC=/(logi6)則Q,b,C的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則可得b=(G),。=/(；),

【解答過程】因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(—x)=/(X),

又函數(shù)+1)為偶函數(shù)，fflf(-x)=f(2+x),

即f(x)=f(2+x)，所以函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，

則b=/(|)=c—/(log160=f(logi62)=/Q)，

且當(dāng)％E[0,1]時，f(%)是減函數(shù)，

由那<軻得府)>慮)>熊)，即c>a>b.

故選：C.

【變式1-1](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y都有

f(x+y)=/(%)+f(y)-1,當(dāng)x>0時,f(x)>1,且f(2)=5,則關(guān)于x的不等式/(x)+/(4-3x)<6的

解集為()

A.(1,+oo)B.(2,+8)C.(-8,1)D.(-8,2)

【解題思路】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增，繼而轉(zhuǎn)化不等式，求解即可.

【解答過程】任取打<外，

從而/'(犯)一/(X1)=/(%2-%1+5)一/(%1)

=/(久2—xl)—1,

因為％2—％1>。，所以/(%2—%1)>1，

所以/(%2)—/(%1)>0，

則/(%)在R上單調(diào)遞增.

不等式/(%)+/(4-3%)<6等價于不等式

f(x)+f(4—3x)—1V5,

即/(%+4—3%)Vf(2).

因為在R上單調(diào)遞增，

所以4—2x<2,解得x>1.

故選：A.

【變式1-2](2024?山東?二模)已知函數(shù)/■(久)=2%2-mx+i在區(qū)間[一1,+8)上單調(diào)遞增，則/'(1)的取值

范圍是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—oo,7]D.(—oo,7)

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得mW—4,再由f(l)=3—6，進(jìn)而求得/(I)的取

值范圍.

【解答過程】由函數(shù)/(x)=2%2-mx+1的對稱軸是x=

因為函數(shù)在區(qū)間[—1,+8)上是增函數(shù)，所以3W—1,解得mW—4,

又因為f(1)=3—巾，因此3—m27,所以/'(1)的取值范圍是[7,+8).

故選：A.

【變式1-3](2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)己知定義在區(qū)間>0)上，值域為R的函數(shù)f(x)滿足：①

當(dāng)0<x<zn時，/(x)>0；②對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)°、6均滿足：/(a+6)=，*；；；；器.貝!1()

A./(0)=1

B.Vxi,%2,—m<x1<x2<rn.f(x-O>/(x2)

C.函數(shù)/'(x)在區(qū)間(0,zn)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)f(久)在區(qū)間(—上單調(diào)遞增

【解題思路】賦值：令a=6=0代入可得-0)=0,令。=x,b=—x代入可得函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單

調(diào)性定義可以證明函數(shù)在(一m,m)的單調(diào)性.

【解答過程】對A,令a=b=0,則-0)=三端,

/(0)-/3(0)=2/(0),即/(0)爐(0)+1]=0,

故f(0)=0,所以A不正確；

/?(a)+f(b)_/?(￡)+/'(一/

對B,取a=x,b=—%代入:

1(0)=l-/(a)/(b)_

即/(%)=—/(一%)，即/(%)在(一瓶即)上為奇函數(shù),

設(shè)<Xi<%2<

所以f(%2-Xi)>0,且/'(%2)>0/(X1)>0,

故：/'(%2)一/'(X。=/。2)=f[X2+(-%1)][1-/(X2)/(X1)]

=f(x2-X1)[1+/(X2)/(X1)]>0

即：f(%2)>f(%l)，故B錯誤;

對C,由B知函數(shù)在(0,m)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

對D,由C結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且-0)=0,

所以/■(>)在(一小M)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D.

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】(2024?安徽淮北?二模)當(dāng)實數(shù)t變化時，函數(shù)/(%)=|川+力,％e[—4,4]最大值的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【解題思路】先對內(nèi)函數(shù)y=/+t對應(yīng)的方程的根的情況分類討論，得出120時，結(jié)果為16,對于t<0

時，求出兩根，根據(jù)圖象，就內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的位置進(jìn)行分類考慮，利用函數(shù)單調(diào)性分析即得.

2

【解答過程】若△=—4tW0,即t20時，/(x)=x+t,其對稱軸為x=0,/(%)max=t+16,

此時，因t>0,故g(t)=t+16的最小值為16；

若t<0,由y=x2+t=?？傻脁=+V—t,

圖1

(I)如圖1,當(dāng)「FW4時，gp-16<t<OHt,/(x)=|爐+"在［一4,一二?］上遞減，

在［-H,0］上遞增，

在［0，H上遞減，在［口4］上遞增，又/(±4)=|t+16|=t+16/(0)=|t|=-t,

①當(dāng)一16<t<-8時，t+16<-t,故/'(x)max=-3而g(t)=—t在［—16,—8］上單調(diào)遞

減，則此時，g(t)min=9(-8)=8;

（2）當(dāng)一8<t<0時，t+16>—t,故/'（X）max=t+16,而/l（t）=t+16在（—8,0）上單調(diào)

遞增,則此時，g（t）>奴-8）=8.

(n)如圖2,當(dāng)仁7>4,即t<—16時，/(%)=|/+t|在［-4,0］上單調(diào)遞增,在［0,4］上單調(diào)遞減,

則此時f(X)max=f(。)=|t|=—而0(t)=—1在(—8,—16)上單調(diào)遞減，則<j0(t)>0(-16)=16.

綜上，函數(shù)/(x)=I%2+t\,xG［—4,4］最大值的最小值為8.

故選：D.

【變式2-1］(2024?全國?模擬預(yù)測)已知％>0,y>0且x+y=l,則+言7的最小值為()

A.-B.-C.-D.—

【解題思路】由基本不等式和x+y=l可得化簡可得++七=2-；，令t=3—2xy,

T,J.T-X,-1->_/4高人那y

利用換元法，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)計算即可求解.

【解答過程】因為x+y=l,所以％+丫=122行，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=：時等號成立，

1

所以0<*

田內(nèi)1,1_(l+/)+(l+y2)_2+/+y2_________2+(1+y)2-2」y_3-2町

口力1+久21+y2~(l+x2)(l+y2)-l+x2+y2+x2y2~l+(x+y)2—2xy+x2y2~2—2xy+x2y2f

令1=3—2町,則tw［|,3),xy=

11______________4t4

所以芳+許=2-(3-(:)+亭=t2-2t+5=t-2+令

由對勾函數(shù)y=x+：在區(qū)3)上單調(diào)遞增，則當(dāng)X=：時函數(shù)取到最小值，

4

所以當(dāng)t=|時，高+高w聲!=5，

2

%2y2_(%2+1)-1(y2+l)-l2

2"=

1+x+l+y2―_l+%2l+y2-5

故選：B.

【變式2-2](2024?江西鷹潭?三模)若/(久)=|x+2|+|3x—a|的最小值是4,則實數(shù)a的值為()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.一6或一18

【解題思路】分a>—6,a<-6,a=—6三種情況，得出每種情況下f(x)的最小值，令其為4,解出a的值.

'4%+2—a,x>-

【解答過程】當(dāng)a>—6時，/(x)=-a+2—2x,—2<x<^,

、a—2—4x,x4—2

???/Wmix==2+|=4,解得a=6,符合題意；

'4%+2—a,x>—2

當(dāng)a<—6時，/(%)=-2x-a-2,|<%<-2,

ci—2—4x,x4—

V3

'(x)mix=f(?=—W—2=4,解得a=—18,符合題意；

當(dāng)a=-6時，/(x)=4|x+2|,??-/(x)raix=/(-2)=0*4,舍掉.

故選：A.

【變式2-3](2024?全國?三模)已知函數(shù)/(幻=6乂一(6+3)好在[一1,1]上的最小值為一3,則實數(shù)6的取值

范圍是()

A.(—co,—4]B.[9,+oo)C.[—4,9]D.[—1,9]

【解題思路】由已知可得當(dāng)一1Wx<l時，可得+*)2—3(/+乂+1)恒成立，通過分離變量，結(jié)合

函數(shù)性質(zhì)可求b的取值范圍

【解答過程】

因為/'(1)=-3,函數(shù)f(x)=bx-(b+3)爐在[一1,1]上的最小值為-3,

所以對f(x)2-3恒成立，

所以bx-(b+3)x3>一3恒成立，即bx(l—d)>-3(1—=)恒成立,

當(dāng)久=1時，bER,

當(dāng)一1Wx<l時，可得1(1+%)>一3(/+%+1)恒成立.

當(dāng)x=0或尤=—1時，不等式顯然成立；

當(dāng)時，1)(+力，

0<x<lb2=雷=_3]2

XQ1+XJ\x+x/

因為/+xe(o,2),所以去eQ,+8),i+*e(|,+8)，-3(1+^)e(-co,-|),

Q

所以6>--；

當(dāng)一l<x<0時，b<-3(1

因為M+xe(-；,o),所以^^e(—8,-4),1+^^e(—8,一3),一3(i+^；)e(9,+8),

所以6W9.

綜上可得，實數(shù)6的取值范圍是［—，見

故選：D.

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2024?安徽亳州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),

且/(久)，以久)在［0,+8)上單調(diào)遞減，則()

A.f(f(2))>f(f⑶)B.f(g(2))<f(g(3))

C-g(g(2))>g(g(3))D.g(f(2))<5(7(3))

【解題思路】根據(jù)題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項的正負(fù)，即可求解.

【解答過程】因為/(%),gQ)在［0,+8)上單調(diào)遞減，/乃是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，f(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，

對于A中，由f(2)>f(3),但無法判斷f(2)/(3)的正負(fù)，所以A不正確；

對于B中，因為g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得g(0)=0,

又因為9(%)在［0,+8)上單調(diào)遞減，可得0>g(2)>g(3),

因為/(X)在［0,+8)上單調(diào)遞減，且/(%)為偶函數(shù)，所以/(%)在(一8,0)上為增函數(shù)，

所以f(g(2))>/(g(3)),所以B不正確；

對于C中，由g(2)>g(3),g(x)在R上單調(diào)遞減，所以g(g(2))<g(g(3)),所以C不正確；

對于D中,由f(2)>f(3),g(x)在R上單調(diào)遞減,9(/(2))<g(/(3)),所以D正確.

故選：D.

【變式3-1］(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)/(久)滿足：對任意實數(shù)無，y,都有f(f(x+y))=/(久)+f(y)

成立，且/(0)=1,貝ij()

A.f(x+l)為奇函數(shù)B.f(x)+1為奇函數(shù)

C.|/Q+1)|為偶函數(shù)D.|/(x)—1|為偶函數(shù)

【解題思路】由題意令％=y=0,可得f(l)=2,令昆=-X,可得2=/(%)+/(-%),可得y=f(x)關(guān)于(0,1)

對稱，據(jù)此逐項判斷可得結(jié)論.

【解答過程】令x=y=0,則/(/(0))=/(0)+/(0),/(0)=1,所以f(l)=2,

令y=-x,則/'(/(0))=/(x)+/(-%),

即/⑴=/(久)+/(-x)，又2=/(x)+/(T),

所以y=fO)關(guān)于OU)對稱，

所以f(x+l)關(guān)于(一1,1)對稱，故A不正確；

f(x)+1關(guān)于(0,2)對稱，故B不正確；

由A可知，(x+1)|關(guān)于久=一1對稱，故C不正確；

由A可知/(*)-1關(guān)于(0,0)對稱，故/(*)-1為奇函數(shù)，

所以，(x)-1|為偶數(shù)，故D正確.

故選：D.

【變式3-2](2024?遼寧沈陽?三模)已知/(X)是定義在R上的函數(shù)，且/(2久一1)為偶函數(shù)，/(比一2)是奇函

數(shù)，當(dāng)xe[0,1]時，/(%)=2X-1,則/(7)等于()

11

A.-1B.--C.-D.1

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到/(%)=/(—%—2),再由奇函數(shù)的性質(zhì)得到/(%)=—/(%—2),從而推

導(dǎo)出/(%+4)=/(%),再由所給解析式及周期性計算可得.

【解答過程】因為/(2%—1)為偶函數(shù)，所以〃一2%—1)=/(2%—1),

BP/(x—1)=/(_%_1),

所以/(%)=/(—%—2),

又/(%—2)是奇函數(shù)，所以/(—%—2)=—/(%—2),

即/(%)=—/(%—2)，所以/(%+2)=—/(%)，

則+4)=—/(%+2)=/(x),

所以/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，

又當(dāng)無€[0,1]時，/(%)=2%-1,所以/(1)=21—1=1,

則f(—1)=-f(^)=-1,

所以/⑺=/(—1)=~f(1)=一L

故選：A.

【變式3-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的瓶＜九＜0,都有

(m-n)(/(m)-/(n))<0,且f(—2)=0,則不等式20的解集為()

A.[—3,—1]U[0,1]B.[—2,2]

C.(—8,—3)U(—2,0)U(2,+8)D.[—3,—1]U(0,1]

【解題思路】由對任意的m<n<0,都有⑺一九乂/⑺)一f(?i))<0,得/'(X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，由函

數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)得/(—2)=—/(2)=0,/(0)=0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，畫出f/+l)

的簡圖，即可求解.

【解答過程】對任意的m<n<0,都有(m—n)?(/(a)—/(①)<0,

所以/'(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，f(—2)=-f(2)=0,/(0)=0,

所以f(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則可畫出，。+1)的簡圖，如圖所示,

所以四里^^二攵①？。，

XX

則｛3二『。或｛9二)?？诨?/p>

即｛"一舉三—或廠三好二或n1

解得久e[—3,—1]u(0,1].

故選：D.

【題型4函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用】

【例4】(2024?四川?三模)定義在R上的函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，且函數(shù)

y=g(2x—1)+1為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(尤)圖象的對稱中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

【解題思路】先根據(jù)條件得到g(x)的對稱中心，再根據(jù)對稱得到y(tǒng)=f(x)的對稱中心.

【解答過程】因為y=g(2x—1)+1為奇函數(shù)，所以g(—2x—1)+1=—g(2x—1)—1,

即g(—2%—1)+g(2x-1)=-2,

故g(x)的對稱中心為(-2A)AI,—1),BP(-1)-1),

由于函數(shù)y=/(%)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，

且(一1,—1)關(guān)于久=1的對稱點(diǎn)為(3,—1),

故y=f(x)的對稱中心為(3,-1).

故選：D.

【變式4-1](2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)/(久)=言p則下列說法不正確的是()

A.函數(shù)/(久)單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)值域為(0,2)

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱D.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于(1,1)對稱

【解題思路】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指

數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，f(2—x)與f(x)的關(guān)系，即可判斷CD.

【解答過程】外嗎=—=爵仔=2—高，

函數(shù)y=2一”t=2X-14-1,貝

又內(nèi)層函數(shù)t=2，T+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2—彳在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A正確；

因為2，T+1>1,所以o〈聲幣<2,貝|0<2—聲幣<2,

ZxA+1x+i

所以函數(shù)/(%)的值域為(0,2),故B正確；

22T42

f(2-X)=217+1=2+2=^=2*-1+1，/(2-X)+/(乃2,

所以函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，故C錯誤，D正確.

故選：C.

【變式4-2](2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(%)、g(x)的定義域均為R,函數(shù)f(2x—1)+1的圖象關(guān)于

原點(diǎn)對稱，函數(shù)9。+1)的圖象關(guān)于y軸對稱，/(x+2)+g(x+l)=—1/(—4)=0,貝|

7(2030)-5(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

【解題思路】利用題設(shè)得到f(x)+/(-2-x)=一2①和g(_%+1)=g(x+1)②，又由

f(%+2)+g(x+l)=—1,結(jié)合①式，推得g(x)的周期為12,利用f(-4)=0求得f(2)=-2和g(式=1,

最后利用g(x)的周期性即可求得.

【解答過程】由函數(shù)人2%—1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，/(-2%-1)+1=-/(2%-1)-1,

即/(-x-1)-即/(x)+/(—2—x)=—2①，

由函數(shù)g(%+1)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得g(—x+1)=g(%+1)②，

由/'(尤+2)+g(x+1)=—1可得/(x)+g(x—1)=—1,又得/(—2—x)+g(—x—3)=-1,

兩式相加，f(x)+/(—2—X)+g(x—1)+g(—x—3)——2,將。)式代入，得g(x—1)+g(—x—3)—0,

則得g(x—5)+g(—x+i)=0,將②式代入得，5(%+1)=-g(x-5),則g(x+6)=-g(x),

于是g(x+12)=-g(x+6)=g(x),即g(x)的周期為12.

又/'(-4)=0,由①可得f(2)+f(—4)=-2,得/'(2)=—2,

又由/'(x+2)+g(x+1)=-1可得/(2)+g(l)=-1,即得g(l)=1.

因/1(2030)+g(2029)=-1,可得，/(2030)=-1-5(2029),

于是,f(2030)-5(2017)=-l-g(2029)-g(2017)=-1-g⑴—。⑴=-1—2g⑴=-3.

故選：B.

【變式4-3](2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x)的定義域是(一8,0)u(0,+8),對任意的打，x2G

(0,+8),都有吟學(xué)3>0,若函數(shù)y=f(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)成中心對稱，且f(l)

x2X1

=4,則不等式f(%)>g的解集為()

A.(―1,0)U(0,1)B.(―l,0)U(l,+8)

C.(—oo,—1)U(0,1)D.(—8,—1)U(1,+8)

【解題思路】由題意，構(gòu)造函數(shù)g(W=x/(W，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)

性解不等式即可.

【解答過程】由函數(shù)y=f(x+1)圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)中心對稱，知函數(shù)/(%)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱，

所以八%)為奇函數(shù).

令g(x)=xf(x),則g(-x)=-4(一%)=W(x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

對于Vxi/2G(0,+8),有匹?>0(巧4%2)>所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以9(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

由/⑴=4,得g(l)=4,g(-l)=4,

當(dāng)x>0時，f(x)>《變形為療(%)>4,即g(x)>9(1),解得x>1；

當(dāng)x<0時，/(X)>：變形為xf(x)<4,即g(x)<g(-1),解得一1<乂<0,

綜上，不等式外切>：的解集為(―l,0)U(l,+8).

故選：B.

【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】

【例51(2024?全國?模擬預(yù)測)若定義在R上的函數(shù)/(%)滿足=/(x),且/(2+x)+/(2—x)=6/(3)

=6,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(8+x)=f(x)B./(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱

C./(201)=3D.y=/(久+2)-3是奇函數(shù)

【解題思路】本題考查抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)內(nèi)容，根據(jù)已有條件/(|x|)=f(x)和/(2+x)+/(2—x)=6,7

(3)=6,以及x的任意性結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性概念、對稱性的判定知識去進(jìn)行轉(zhuǎn)化推理即可.

【解答過程】—x)=f(x),所以f(2—x)=/(x—2)

Xf(2+x)+f(2—x)=6,所以/'(4+x)+f(x)=6,且/'(8+x)+f(4+%)=6,

所以f(8+x)=f(x),故A正確

由A可得，f(8+x)=/(-x),所以/'(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，故B正確

由A可得，/(x)是周期為8的函數(shù),/(201)=/(1),

又由/'(2+x)+/(2—x)=6/(3)=6,得/'(3)+/(1)=6,所以f(201)=/(I)=0,故C錯誤

對于D,由f(2+x)+/(2—久)=6今/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，

所以曠=/0+2)—3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D正確，

故選：C.

【變式5-1](2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)f(K)滿足/1(2-％)=/(%),/(I)=2,f(3x+2)

為奇函數(shù)，有下列結(jié)論：

①直線久=1為曲線y=f(x)的對稱軸；②點(diǎn)(|,。)為曲線y=/(x)的對稱中心；③函數(shù)/O)是周期函數(shù)；

^-12004

④〉/①=°；⑤函數(shù)/(無)是偶函數(shù)一

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)/(2-x)=f(x)可得函數(shù)對稱軸，可判斷①；根據(jù)/(t+2)=-/(2—t)=—/?)可得函數(shù)

周期，可判斷③；根據(jù)/(—3x+2)=—/(3%+2),結(jié)合對稱軸和周期可得對稱中心，可判斷②；根據(jù)周期

2004

f(i)判斷④；根據(jù)周期性和對稱中心可得奇偶性

Z1=1

判斷⑤.

【解答過程】由/'(2—x)=f(x)知直線x=1為曲線y=/'(>)的對稱軸，①正確；

因為f(t+2)=—f(2—t)=—f(t),所以/(t)=-f(t+2)=/(t+4)

所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，③正確；

由f(3x+2)為奇函數(shù)有/(-3x+2)=-f(3x+2),令七=3x得/(-t+2)=-f(t+2),則/⑺的圖象關(guān)于

點(diǎn)(2,0)對稱，

又直線x=1為曲線y=f(x)的對稱軸，以f(x)是周期為4的周期函數(shù)

則/(>)的對稱中心為(2k,0),keZ,②錯誤；

令t=0,則f(2)=—f(2),所以f(2)=0,在f(2—x)=f(x)中，令x=0,則f(2)=/(0)=0.

于是f(l)=2,/(2)=0,/(3)=-f⑴=-2,/(4)=/(0)=0,則/(I)+/(2)+/(3)4-/(4)=0,所以

2004

/。)=0,④正確；

Z1=1

因為/'(>)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱nfO)=-f(4-x),因為周期為4,

所以f(x)=—/(―吟，所以/(乃為奇函數(shù)，⑤錯誤.

故選：C.

【變式5-2](2024?湖南邵陽?三模)已知函數(shù)久久)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為R,記9(久)=(。)，函數(shù)

/(2久+3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,1)對稱.若對任意XCR,有/(久+3)=x+/(3—%),則下列說法正確的是

()

A.g(x)不為周期函數(shù)B./(%)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱

C.9(211)=|D./(985)=1

【解題思路】利用函數(shù)成中心對稱的恒等式來證明新函數(shù)的對稱性，再利用雙對稱來證明函數(shù)的周期性，

從而就可以來判斷各選項.

【解答過程】因為函數(shù)f(2%+3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,1)對稱，

所以九2(尤-1)+3]+/[2(-x-l)+3]=2,即f(2x+1)+/(-2x4-1)=2,

則/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，B選項錯誤.

由/'(x+3)=x+/(3-x),得/'(x+3)—*x+3)=/(3-x)-|(3-x).

11

令h(x)=/(x)--x,則/(%)=h(x)+-x,

由ft(x+3)=fi(3—%)，得人(久)的圖象關(guān)于直線％=3對稱.

又/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，則f(%+1)+/(l-x)=2,

所以僅久+1)+1(x+1)+/i(l-x)+1(l-x)=2,gp/i(x+1)+/i(l-x)=1,

則可得h(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,3對稱，

故僅久)為周期函數(shù)，且周期為8,/i(x)=h(x+8),

所以，/(985)=叔985)+誓=以1)+等=^+等=493,D選項錯誤.

又f(%)=ft(x)+1x=h(x+8)+|x=f(x+8)—~(x+8)+|x,則f(x+8)=f(x)+4,

所以r(x)=尸0+8),由g(x)=/'(x)得：g(x)=g(久+8),故g(x)為周期函數(shù)，A選項錯誤.

由/'(x+3)=x+/(3—x),兩邊求導(dǎo)得：/'(x+3)=1—尸(3—％),

由g(x)=f'(x)得：g(x+3)+g(3-x)=1，令x=0得：g(3)=：,

1

利用g(x)的周期為8,則g(211)=g(8x26+3)=g⑶=],C選項正確.

故選：C.

【變式5-31(2024?陜西榆林?一模)定義在R上的函數(shù)/(%),g(%)滿足f(0)<0,/(3-x)=/(1+x),

g(2—久)+g(x)=2,5(x+|)=f(2x)+1,則下列說法中錯誤的是()

A.x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

B.2是g(x)的一個周期

C.函數(shù)/(久)圖象的一個對稱中心為(3,0)

D.若neN*且九<2023,/(n)+f(n+1)+-+/(2023)=0,則"的最小值為2

【解題思路】由已知可推得g(x)關(guān)于直線x=|對稱，g(2—%)—1=g(x+1)—1.又有g(shù)(l—%)—1=—g

(1+x)+1.進(jìn)而得出g(l—x)=-g(2—x),即有g(shù)(-x)=g(—％+2),即可得出B項；根據(jù)g(x)的周期可

得出f(x)的周期為4,結(jié)合/(x)的對稱性，即可得出A項；由g(x)的對稱中心，即可得出/⑺關(guān)于點(diǎn)(1,0)對

稱，結(jié)合了(久)的性質(zhì)，即可得出C項；根據(jù)/(%)的周期性以及對稱性可得/(0)+/(1)+-2)+/(3)=0,

/(2023)=/(3),然后分n=1,2,3討論求解，即可判斷D項.

【解答過程】由f(3—x)=/(1+尤)可得-2—%)=/(2+幻，所以/(%)關(guān)于直線久=2對稱，

所以f(2久)關(guān)于直線x=1對稱，即g(x+1)-1關(guān)于直線x=1對稱，

所以g(x+9關(guān)于直線％=1對稱，所以g(x)關(guān)于直線％=|對稱，

所以有g(shù)(3—x)=g(x),所以有g(shù)(2—x)=g(x+1),所以g(2—x)—1=g(x+1)—1.

又由g(2—x)+g(x)=2可得，g(l—x)+g(l+x)=2,所以g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱,

所以g(l-%)-1=-5(1+%)+1.

對于B項，因為g(2—x)—1=g(x+l)—Lg(l—x)—1=—g(l+無)+1,

所以，g(l—%)=-g(2—%),所以g(—%)=—g(l—%)=g(—%+2),

所以，9(%)的周期為7=2,故B項正確；

對于A項，由已知f(2x)=g(x+3—1周期為2,所以f(x)的周期為4.

因為f(x)關(guān)于直線％=2對稱，所以x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，故A項正確；

對于C項，g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，所以f(2x)=g(%+9—1關(guān)于點(diǎn)6,0)對稱，

所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以f(2—x)=-/(-%).

又八支)關(guān)于直線x=2對稱，所以f(4+x)=/(-%),

所以/'(4+x)=—/(2—,所以有f(3+x)=—/(3—x),

所以函數(shù)/(久)圖象的一個對稱中心為(3,0),故C項正確；

對于D項，由C知，/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，/(x)關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱，

所以，/(0)+/(2)=0,/(I)=/(3)=0,所以f(0)+/(I)+f(2)+f(3)=0.

又7(%)的周期為4,所以對keZ,f(4k)+f(4k+l)+f(4k+2)+f(4k+3)=0.

因為/'(2023)=/(4X505+3)=/⑶,

則當(dāng)n=2時,有f(n)+f(n+1)+-+f(2023)=f⑵+/⑶=f(2).

因為/'(0)+/(2)=0,所以/(2)=—f(0)>0,不滿足題意；

當(dāng)n=l時，f(n)+/(n+1)+,,,+/(2023)=/(I)+/(2)+/(3)=/(2)>不滿足題意；

當(dāng)71=3時，/(n)+f(n+1)+-+/(2023)=f(3)=0,滿足題意.

故〃的最小值為3,D錯誤.

故選：D.

【題型6類周期函數(shù)】

【例6】(2024?山東青島?模擬預(yù)測)函數(shù)/(為的定義域為R,滿足/(久)=2/Q—1),且當(dāng)x€(0,l]時，/0)

=K(1—%).若對任意xe(—8,河，都有則機(jī)的最大值是()

.11c14-32-41

A-TB-TC.君D.-

【解題思路】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.

【解答過程】因f(x)=2f(x—1),又當(dāng)(0,1]時，f(x)=-(x-|)2+Je[oi],

當(dāng)工￡(化/c+1],keN*,時，x-ke(0,1],

則/(%)=2/(%—1)=22/(%—2)=???=2吁(x—k),

/(%)=2fc(x-/c)(l-x+/c)=-2k(X—差)2+*e[0,2k-2],

當(dāng)xe(—/c,-k+1],keN*,時，x+ke(0,1],

則/(X)=2-1/(久+1)=2-2/(%+2)=???=2~kf(x+k),

/(X)=2-fe(x+k)(l—x—k)=-2-fe(x+夕)2+短e[0,2-fc-2],

作出函數(shù)/(%)的大致圖象，

對任意xe(-oo,m],都有f(x)＜云，

設(shè)力的最大值為3

則/(￡)=￡且2Vm〈|

所以_22(?()2+1=堤解得”日

所以加的最大值為號.

故選：A.

【變式6-1](2024?云南昆明?二模)定義“函數(shù)y=/(x)是。上的a級類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=/(%),比e

D,對于給定的非零常數(shù)a,總存在非零常數(shù)T,使得定義域D內(nèi)的任意實數(shù)x都有好(久)=/(久+0恒成立,

此時T為f0)的周期.若y=f(嗎是[1,+8)上的a級類周期函數(shù)，且T=1,當(dāng)久e[1,2)時，/(%)=2x+1,且

y=/(久)是[1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.t,+8)B.[2,+oo)C.t,+8)D.[10,+oo)

【解題思路】由題可得/(X)=a"T-(2x—2n+3),nCN*,%G[n,n+l),然后利用函數(shù)的單調(diào)性即得.

【解答過程】一€口,2)時J(x)=2x+l,

二當(dāng)xG[2,3)時,/(x)=af(久-1)=a(2x—1)；

當(dāng)xe[n,n+1)時/(X)—af(x-1)=a2/(x-2)="??=an-1/(x—n+1)=an-1-(2x-2n+3),

即％G[n,n+1)時,f(x)=a”】-(2x-2n+3),neN*,

"(%)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

.,.a>0且。九―i-(2n—2n+3)>an-2?(2n—2n+5),

解得a>I，

???實數(shù)a的取值范圍是［|,+8).

故選：C.

【變式6-2］(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)設(shè)函數(shù)/(*)的定義域為R,滿足/(x—2)=2/Q),且當(dāng)xe(0,2］時,

/(%)=x(2-x).若對任意久e［a,+8),都有〃久)<1成立，貝必的取值范圍是()

A.||,+8)B.[|,+°°)

【解題思路】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，由圖象分析得出小的取值范圍.

【解答過程】因為當(dāng)x6(0,2］時,/(x)=x(2-x)；/(x-2)=2/(x),

11

所以=—2)，即若/⑺在(。，2］上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加2,則對應(yīng)y