高考數(shù)學專項復習：分類打靶函數(shù)應用與函數(shù)模型（6大考點）（講義）（解析版）

專題05分類打靶函數(shù)應用與函數(shù)模型

【目錄】

......................................................................................................................................................2

......................................................................................................................................................3

考點一：二次函數(shù)與幕模型.....................................................................9

考點二：分段函數(shù)模型........................................................................11

考點三：對勾函數(shù)模型........................................................................14

考點四：指數(shù)函數(shù)模型........................................................................17

考點五：對數(shù)函數(shù)模型........................................................................18

考點六：函數(shù)模型的選擇......................................................................19

本節(jié)內(nèi)容，常以其他學科或與社會生活息息相關的背景來命題，如現(xiàn)實中的生產(chǎn)經(jīng)營、企業(yè)盈利與虧損

等熱點問題中的增長、減少問題，在這些背景中發(fā)現(xiàn)、選擇、建立數(shù)學模型，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)

函數(shù)模型，對現(xiàn)實問題中數(shù)據(jù)進行處理以解決問題，體現(xiàn)數(shù)學知識的實用性.

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2021年北京卷第8題，4分【命題預測】

二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

2020年上海卷第19題，14分預測2024年高考，可能結合

2023年/卷第10題，5分函數(shù)與生活應用進行考察，

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

2021年甲卷（文）第6題，5分對學生建模能力和數(shù)學應用

2020年山東卷第6題，5分能力綜合考察.

1、幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,Z?為常數(shù)且Q。0)

反比例函數(shù)模型k

/(%)二—(女為常數(shù))

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c(a,b,。為常數(shù)且

指數(shù)函數(shù)模型x

/(x)=ba+c(a,b,。為常數(shù)，bwO,a>Qf

對數(shù)函數(shù)模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，bwO,a>0,awl)

累函數(shù)模型/(x)=axn+b(a,b為常數(shù)，

2、解函數(shù)應用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；

（2）建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用己有知識建立相應的數(shù)學

模型；

（3）解模：求解數(shù)學模型，得出結論；

（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題.

3、解答函數(shù)應用題應注意的問題

首先，要認真閱讀理解材料.應用題所用的數(shù)學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往

往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感.閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領悟

其中的數(shù)學本質(zhì)，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關系、數(shù)量關系，確立解體思

路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它.

其次，建立函數(shù)關系.根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關系符號”表達出來，建立函

數(shù)關系.

其中，認真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關鍵.在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題

一樣，有“泛讀”與“精讀”之分.這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地

相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量

關系的語言來敘述，而我們解決問題所關心的東西是數(shù)量關系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即

可.反過來，對那些刻畫數(shù)量關系、位置關系、對應關系等與數(shù)學有關的問題的部分，則應“精讀”，一遍

不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率.

1.（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足乙=5+/gV.已知某同學視力的五

分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在乙=5+/gV中，乙=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

解得V=1001=-=---x0.8，

1O01曬1.259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

2.（2021?北京）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深

度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.24/z降雨量的等級劃分如下：

等級24/z降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0?99.9

..........

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200〃儂，高為300〃M的圓錐形雨量器.若一次降雨過程

中，該雨量器收集的247z的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24〃降雨量的等級是（）

C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圓錐的體積為V==

33

因為圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半,

所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為-xlx200=50mm,

22

將r=50,/z=150代入公式可得V=125000萬（〃力力，

圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，

平底上積水的體積為V=S/z,且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積,

所以S="?（gx200）2=100007r（mm2）,

則平地上積水的厚度/7="迎”=12.5（〃?〃?），

10000萬

因為10<12.5<25,

由題意可知，這一天的雨水屬于中雨.

故選：B.

3.(2020?山東)基本再生數(shù)舄與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳

染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/?)=e"描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間f(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與T近似滿足

&=l+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出&=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病

例數(shù)增加1倍需要的時間約為()(/"2q0.69)

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】把扁=3.28,T=6代入扁=1+〃，可得r=0.38,.,./?)=薩",

當t=0時，/(0)=1,則e°.=2,

兩邊取對數(shù)得0.38/=歷2,解得/=——“1.8.

0.38

故選：B.

4.(2019?新課標II)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天

事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為

解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.4點是平衡

點，位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為知2,地月距離為尺，4點到月球的距離為

，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，廠滿足方程：/？+牛=(R+r)4.

2

(R+r)2rR3

+3a4+

設。=二.由于。的值很小，因此在近似計算中3a3,則廠的近似值為()

R(l+a)2

D

A.B.c?瞪R-低式

【答案】D

【解析】:.r=aR，

R

出口+工口MMo…、M

廠7兩足方程：------H—z-=+r)——.

2(R

(R+r)/'R3

1R2r

------------------M1+--M2=(1+一)M1,

,cr/122R1

1+2--+—r

RR-

r11

把二二一代入，得：-----y,Af,H——,—(1+,

R(l+a)21cr221

2

(l+a)3_a(a+3a+3)

(l+a)2.「-57^?-1

A/^23a3+3a4+cc^

~M[~(1+0)2

故選：D.

5.（多選題）（2023?新高考I）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

L=20xlgP-,其中常數(shù)吊（4>0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

A）

聲源與聲源的聲壓級

距離/加/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽1050?60

車

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10機處測得實際聲壓分別為0,以，P3,貝1（）

A.pv.p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.pp,100p2

【答案】ACD

9

【解析】由題意得，6族切/g旦90,IO。。，。蛋歸lO^Po，

Po

5

5啖切這匹60,I。］/張歸I。。。，。，

Po

20/g隹=40,p3=100p0,

Po

可得〃.1力2，A正確；

2，,1。2=1000〃0，5錯誤；

〃3=10000,。正確；

95

Pi轟！lO?Po=100x102/J。100必，pp,100p2,￡)正確.

故選：ACD.

6.（2018?浙江）我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢

三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為X,

x+y+z=100

y,z,則<1，當z=81時，、=,y=

5x+3y+-z=100------

【答案】8；11

x+y+z=100

x+y=19

【解析】<當z=81時，化為:

5x+3y+gz=1005x+3y=73

解得％=8,7=11.

故答案為：8；11.

7.(2020?上海)在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時間，車輛

密度是該路段一定

時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為v=9,X為道路密度，4為車輛密度，交通流

X

'80

0,、100-135-(-r,0<x<40

里n=J(z尤)=j3?

「左。-40)+85,4噫/80

(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范圍；

(2)已知道路密度x=8O時，測得交通流量v=5O,求車輛密度q的最大值.

【解析】(1)按實際情況而言，交通流量v隨著道路密度x的增大而減小，

故^=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以左>0,

當4(凝/80時，v最大為85,

180on

于是只需令100-135?(?*>95,解得x〈學

故道路密度》的取值范圍為(0,—).

3

(2)把兄=80,口=50代入v=/Cx)=一依％—40)+85中,

7

得50=—左?40+85,解得左二一.

8

[80

100x-135.(j)T-x,0<x<40

:.q=vx=<

7

一一(%-40)1+85%,4(啜!k80

、8

i§2

①當0vxv40時，v=100-135-(-)"<100,

q=vx<100x40=4000.

7

②當4Ok80時，q是關于x的二次函數(shù)，q=--x1+n0x,

對稱軸為此時q有最大值，為二x（出）2+12。＞＜型=型＞4。。。.

78777

綜上所述，車輛密度4的最大值為啰箸.

8.（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”S=區(qū),其中工為建筑物暴露在

匕

空氣中的面積（單位：平方米），匕為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為R,高度為X,暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑

體的“體形系數(shù)”S；（結果用含尺、”的代數(shù)式表示）

T2

（2）定義建筑物的“形狀因子”為了=上，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義T為

A

總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設力為某宿舍樓的層數(shù)，層高

為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為S=、＞當/=18,7=10000時，試求當該宿舍

VT3〃

樓的層數(shù)〃為多少時，“體形系數(shù)”s最小.

【解析】（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：

22

Fo=2兀RH+TTR-V0=7TRH,

FTTR(2H+R)2H+R

所以S=o

%-—兀NH-HR

旦+_L=巫+_L,

（2）由題意可得S=nsN*,

100003n1003n

3

令s，=o,解得吟3”992

?6.27,

81

所以S在口，6.27］單調(diào)遞減，在［6.27,+8）單調(diào)遞增,

所以S的最小值在〃=6或7取得,

當"=6時‘

當〃=7時，S=豆亙+，”0.16,

1003x7

所以在〃=6時，該建筑體S最小.

9.（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤

為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

(1)求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

【解析】(1)由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，

則首項%=11，公差d=0.05,

20(21)

S20=20^+^~6/^20x1.1+10x19x0.05=31.5,

即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元.

(2)解法一：假設今年第一季度往后的第w(〃eN*)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%,

貝0.16x(l+4%)”>(1.1+0.05”)?18%,

令/(")=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05”)?18%,("eN"),

即要解/(n)>0,

則當九.2時，/(“)-/(〃-1)=0.0064-(1+4%)i-0.009,

4/(?)-/(?-1)>0,解得：九.10，

即當掇女9時,f(〃)遞減;當九.10時，f(")遞增,

由于/(1)<0,因此f(")>0的解只能在加.10時取得，

經(jīng)檢驗，/(24)<0,f(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

解法二：設今年第一季度往后的第n(neN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為4,

則也=3吏±”網(wǎng)“。4-此=1+0.04(1-上)，

an1.1+0.05〃22+〃22+〃

?.數(shù)列｛?！ǎ凉M足Oy>a2>a3>a4=a5<a6<Oj<...，

注意到，a25=0.178...,a26=0.181...,

...今年第一季度往后的第25個季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

考點一：二次函數(shù)與幕模型

?規(guī)律總結

1、二次函數(shù)模型的應用

構建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求

最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應區(qū)間之間的位置關系討論求解，但一定要注意自變

量的取值范圍.

2、暴函數(shù)模型為丫=辦"+。（。，6為常數(shù)，。中0）,

在計算塞函數(shù)解析式、求事函數(shù)最值的時候，通常利用暴函數(shù)圖像、單調(diào)性、奇偶性解題.

—型特訓

例1.（2023?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學考試）一個動力船拖動載重量相等的小船若干只，在兩個港口之間

來回運貨.若拖4只小船，則每天能往返16次；若拖7只小船，則每天能往返10次.已知增加的小船只數(shù)

與相應減少的往返次數(shù)成正比例.為使得每天運貨總量最大，則每次拖只小船.

【答案】6

【解析】設每日每次拖了只小船，每日來回y次，每只小船的載重量為〃，每日的運貨總重量為G,

由題意設,=履+3則;:〃A，解得:..,

[7左+/?=10[b=24

所以>=—2x+24,

所以每日運貨總重量為6=Mxy=Me（-2尤+24）=-2M（x-6）2+72M,

所以當尤=6,〉=12時，G取得最大值72M,

即每次拖6只小船，

故答案為：6

例2.（2023?全國?高三專題練習）為弘揚“中國女排精神”，加強青少年體育發(fā)展.學校在體育課中組織學

生進行排球練習，某同學以初速度為=12m/s豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點2根以上的位置最多停

留時間為秒（小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字）.（注：若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點

2

的高度為（m）與時間f（s）滿足關系式=，其中g=9.8m/s,7655^25.59.）

【答案】2.09

【解析】由題意，豎直上拋的物體距離拋出點的高度Mm）與時間f（s）滿足關系式/z=引一;g/,

因為%=12m/s,所以〃=12f-；x9.8產(chǎn)，

令/?=2,可得12f—：x9.8r=2,即49產(chǎn)-120r+20=0,

所以4+,2=詈，斯2=%，所以『1一L|=+，2）2-4他=4X2.09s.

所以排球能夠在拋出點2m以上的位置最多停留2.09秒.

故答案為：2.09.

例3.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學?？寄M預測）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全

部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應

政府號召，積極參與幫扶活動.該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政

府將補貼10萬元.若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：

VL82?1.22,^/1?73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由題意，設年平均增長率為x,則150（1+X）3+10=270,

所以x=合1.2-1=0.2,故年平均增長率為20%.

故選:B

例4.（2023-廣西?統(tǒng)考模擬預測）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關系

通常以幕函數(shù)形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足>=丘3其中左和。為正常數(shù)，

該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態(tài)的8倍，則a為（）

A.-B.；C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】設初始狀態(tài)為（%，%）,則％=16%，%=8%，

又％=卮：，y2=kx^,即8%=左（16xja=左」6ax：,

8%公160￥43/。3

—=——16a=8,24a=23,4a=3,

yxkx^4

故選：D.

考點二：分段函數(shù)模型

規(guī)律總結

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化

規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏

題型特訓

例5.(2023?全國?高三對口高考)已知A8兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A

地前往8地，到達3地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x(千

米)表示為時間f(小時)的函數(shù)，則下列正確的是()

60;(04*2.5)

A.x=60t+50z(0<t<6.5)B.x=150(2.5<t<3.5)

150-50/(3.5<f<6.5)

60r,(0<f<2.5)

60r(0<f<2.5)

D.x=<150,(2.5<?<3.5)

150-50(>3.5)

150-50(f-3.5),(3.5<Z<6.5)

【答案】D

【解析】因為AB兩地相距150千米，

所以當汽車以60千米/小時的速度從A地前往8地時，

需要要=2.5小時，此時汽車離開A地的距離為：

60

A：=60^(0<r<2.5),

到達5地停留1小時，此時汽車離開A地的距離為：

x=150(2.5<t<3.5),

當汽車以50千米/小時的速度從B地前往A地時，

需要黑=3小時，此時汽車離開A地的距離為：

x=150-50(r-3.5)(2.5<t<6.5),

'60f,(0<Z<2.5)

所以由題意有：x=150,(2.5<?<3.5)

150-50(/-3.5),(3.5<?<6.5)

故選：D.

例6.(2023-全國?高三對口高考)2005年10月27日全國人大通過了關于修改個人所得稅的決定，工

薪所得減去費用標準從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月

1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：

級數(shù)全月應納稅所得額稅率(％)

1不超過500元5

2500-2000元10

32000-5000元15

某人2005年9月交納個人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅()元.

A.43B.2280C.680D.不能確定

【答案】A

【解析】設工資為x元，

當0VXV800,納稅為0元；

當800<xV1300,納稅為(x-800)x5%元；

當1300<xV2800,納稅為500x5%+(x-1300)xl0%元；

當2800cXV5800,納稅為5OOx5%+15OOxlO%+(x-28OO)xl5%元；

0,0<x<800

X

——40,800<x<1300

20

所以，納稅為>=<Y

——105,1300<x<2800

10

3x

——245,2800<x<5800

120

Y

而25<123<175,令m-105=123,可得x=2280元,

由x-1600=680>500,則按新稅法只要交稅500x5%+(680-500)x10%=43元.

故選：A

例7.(2023?云南?統(tǒng)考二模)下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具()

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設購買的件數(shù)為％,花費為y元，

37x,l<x<10

32x』1WxW50

貝l|y=，30x,514xW100,當x=107時，y=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

當x=108時，y=2916>2900,所以最多可購買這種產(chǎn)品107件,

故選：C.

考點三：對勾函數(shù)模型

1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域;

h

2、利用模型/（x）=?x+2求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

X

■■題型特訓

例8.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考一模）某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯(lián)合收割

機，并立即投入生產(chǎn).預計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保

養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.若當該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是

（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

【答案】B

【解析】設第"年的維修保養(yǎng)費為為萬元，數(shù)列｛%｝的前“項和為S“，該機的年平均耗費為。，

據(jù)題意，數(shù)列｛%｝是首項為12,公差為4的等差數(shù)列.

S+981「n（n-\\198I98

貝ijp=^——=_12n+-^——^x4+98=2n+—+10>22n—+10=38.

nn2nyn

當且僅當2幾=一，即〃=7時，〃取最小值38.

n

所以這臺冰激凌機的使用年限是7年.

故選:B.

例9.（2023?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學校考期中）某單位建造一間背面靠墻的小房，地面面積

為48m2,房屋正面每平方米的造價為1200元（包含門窗），房屋側面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑?/p>

價為5800元.如果墻高為3m,且不計房屋背面和地面的費用，則最低總造價是（）

A.57600元B.63400元C.69200元D.57600&元

【答案】B

AQ

【解析】設房屋的正面邊長為加（了>0）,側面邊長為四（y>0），總造價為Z元，則沖=48,即y=?,

所以z=3尤xl200+6yx800+5800=3600尤+^^^+5800

X

>2^3600%?“600x4+5800=63400.

當3600x=57600x4時,即當％=&時，z有最小值，最低總造價為63400元.

X

故選：B

例10.（2023?全國?高三專題練習）某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬

元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比

上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為尤（尤6N*）,設備年平均費用為y萬元，

則x年后的設備維護費用為2+4+6++2X=M2,）=X（X+I）,

匚g、…左.干小段中口l0°+°.5x+尤（尤+1）1003、J100343,七一、

所以x年的干均費用為,=-----------------=尤-|-----1—22jx------1--=—（萬兀），

x%2Y尤22

當且僅當x=10時，等號成立，

因此，為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為10.

故選：B.

例11.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？既＃┤鐖D為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，A3為球

門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的P點處接球，此時tanNAP3=g,假設

甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最佳的射門角度（即-AQB最大），則射

門時甲離上方端線的距離為（）

c.10V2D.10^/3

【答案】B

【解析】設AB=X，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

所以tan/3PH=型上=2,<tanZAPB=—,

HP25531

52

所以tanZAPH=tan(ZAPB+ZBPH)=_

./AnqAHA.B+BHx+10已廣…x+103左力，口_口門入門「

XtanZAPH=—=—所以一^=^，解得x=5,即AB=5,

PHrri25255

沒QH=h,/?e[0,25],則AQ="Q〃2+AH2=J/z2+i52,

BQ=y]QH2+BH2=V/z2+102,所以在，AQB中，

AQ2+BQ1-AB2/r+150

有cosZAQB=

2AQxBQV/Z4+325/I2+22500，

令根=層+150(15。4機4775),所以/?=m-150,

一一cosAAQB=[-----=?=

所以J("7-150)2+325("150)+22500J3750?25?1，

因為150V機W775,所以二V’W工，則要使NAQ8最大，

775m150

cosZAQB=-,I375f)~~25

即375025，要取得最小值,即、-字+4+1取得最大值,

J------5-+—+1Vm2m

Vmm

即-W3750+25+l在11士1取得最大值,

mm775m150

1___1_

，⑺=—3750/+25,+1,

775，150

所以/⑺的對稱軸為：，=5，所以/⑺在單調(diào)遞增，在^0'^單調(diào)遞減，

所以當，=工時，/⑺取得最大值，即-AQ8最大，此時,=工，即機=300，

300m300

所以/=150,所以〃=5#,即為獲得最佳的射門角度（即-AQ8最大），

則射門時甲離上方端線的距離為：5瓜

故選：B.

P

考點四：指數(shù)函數(shù)模型

一挪律何結

在解題時，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率

有關的問題都屬于指數(shù)模型.

^題型特訓

例12.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預測）人類已進入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從

TB（1TB=1024GB）級別躍升到PB（1PB=1024TB）,EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）級別.國際數(shù)

據(jù)公司（IDC）的研究結果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為Q500ZB,2010年增長到L125ZB.若從2008

年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量產(chǎn)與年份f的關系為尸其中4,a均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的

數(shù)據(jù)量是2022年的倍.

3

【答案】1.5/-

【解析】由題意，1.125=0.5/°電2008,所以所以尸=0515-2°08,

所以2022年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.5.1,514,則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量0.5.1.515,

所以2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的”與=1.5倍.

0.5-1.514

故答案為：1.5

例13.（2023?福建龍巖?高三上杭一中校考階段練習）研究表明大氣中二氧化碳的含量對地表溫度有明

顯的影響：當大氣中二氧化碳的含量每增加25%,地球平均溫度就要上升0.5℃.若到2050年，預測大氣中

二氧化碳的含量是目前的4倍，則地球平均溫度將上升約℃.（參考數(shù)據(jù)：1g2。0.3010）

【答案】3

【解析】設目前大氣中二氧化碳的含量為。，

依題意，當二氧化碳的含量為1.25a時，地球平均溫度上升0.5℃,

當二氧化碳的含量為ax1.252時，地球平均溫度上升（0.5x2）℃,

依次類推，當大氣中二氧化碳的含量為axl.25”時，地球平均溫度上升（。.5X”）。。，

1g421g221g22x0.301“

令axl.25"=4a,即1.25"=4,方程兩邊同時取常用對數(shù)，貝l|-lgl.25-,5-l-31g2~1-3x0.301~,

所以到2050年，地球平均溫度將上升約0.5義6=3（℃）.

故答案為：3

例14.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習）研究發(fā)現(xiàn)某人的行車速度v（km/h）與行駛地區(qū)的人口密度p

（人/kn?）有如下關系：v=5Ox（O.5+2^00004^,若此人在人口密度為。人/km?的地區(qū)的行車速度為

70km/h,則他在人口密度為2a人/km?的地區(qū)的行車速度是km/h.

131

【答案】65.5/—^―

【解析】由70=50><e.5+2?）,#2^00004a=0.9,

所以當人口密度為2a人/km?時，他的行車速度

v=50x（0.5+2Awamx2a）=50x0.5+（2-0000（14fl）2]=65.5km/h.

故答案為：65.5

考點五：對數(shù)函數(shù)模型

一榭隹敢結

在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像

求解最值問題.

一題型特訓

例15.（2023?上海長寧?統(tǒng)考一模）在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標.其值丫（單位：

dB）定義為y=101g：.其中/為聲場中某點的聲強度，其單位為亞/!1?,/0=10*亞/1112為基準值.若

/-10W/m2,則其相應的聲強級為dB.

【答案】130

*122

【解析】因為/=10W/m2,Z0=10W/m,

所以其相應的聲強級為y=101g蒜=101gl0"=130dB.

故答案為：130.

例16.（2023?云南楚雄?高三統(tǒng)考期中）生物學家為了了解某藥品對土壤的影響，常通過檢測進行判斷.

12

已知土壤中某藥品的殘留量y（mg）與時間/（年）近似滿足關系式y(tǒng)=〃log2不（〃。0）,其中〃是殘

留系數(shù)，則大約經(jīng)過年后土壤中該藥品的殘留量是2年后殘留量的；.（參考數(shù)據(jù)：血。1.41，

答案保留一位小數(shù)）

【答案】7.5

1?

【解析】當，=2時，y=a\og2-^—^=2af

121

由Qlog2y^=]a,得￡=6^/5—1B7.5

故答案為：7.5

例17.（2023?山西-高三統(tǒng)考階段練習）科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設/為地震時所散發(fā)

出來的相對能量程度，則里氏震級/可定義為7=0.61g/.在2021年3月13日下午，江西鷹潭余江區(qū)發(fā)

生里氏3.1級地震，2020年1月1日，四川自貢發(fā)生里氏”級地震，若自貢地震所散發(fā)出來的相對能量程

度是余江地震所散發(fā)出來的相對能量程度的100倍，貝”=.

【答案】4.3嗒43

【解析】設里氏3.1級地震所散發(fā)出來的能量為人，里氏"級地震所散發(fā)出來的能量為八，則/2=1。。/-

由已知可得3」=0.6坨4.

所以，?=0.61g/2=0.61g100Z,=0.6（lgl00+lg/1）=1.2+0.61gZ1=1.2+3.1=43.

故答案為：4.3.

例18.（2023?山西晉中?高三介休一中校考階段練習）大西洋鞋魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研

究魚的科學家發(fā)現(xiàn)大西洋鞋魚的游速v（單位：m/s）可以表示為v=；log3葛，其中M表示魚的耗氧量