福建省龍巖市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的答案均填寫(xiě)在答題卡上.2.答題要求見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.1.計(jì)算（）A.34 B.35 C.36 D.37【答案】A【解析】由題意.故選：A.2.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得.故選：B.3.已知直線l法向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則原點(diǎn)O到l的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則，所以，即直線的方程為，所以原點(diǎn)O到l的距離為.故選：C.4.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球,第三層有6個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，，，，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：D.5.某學(xué)校高二（1）班上午安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、物理門課，要求第一節(jié)不安排體育，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素，將這個(gè)大元素與英語(yǔ)、物理課進(jìn)行排序，共有種排法；接下來(lái)只考慮語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素，將這個(gè)大元素與其余門課進(jìn)行排序，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：B.6.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線上一動(dòng)點(diǎn),Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，解得，即，所以，其中分別為圓圓心和半徑，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)分別與重合，其中分別為線段與直線和圓的交點(diǎn)，綜上所述，的最小值為.故選：C.7.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且,，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則，所以，，所以，，A對(duì)；，則，B錯(cuò)；，C對(duì)；因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，，D錯(cuò).故選：C.8.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：，可得，取的中點(diǎn)，連接，可知，因?yàn)椋傻?，則，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.9.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式，則（）A.常數(shù)項(xiàng)是 B.系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)C.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 D.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256【答案】ACD【解析】由題意二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為，對(duì)于A，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)是，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這些項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有5項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)滿足，故C正確；對(duì)于D，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確.故選：ACD.10.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段的中點(diǎn)為P，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，直線l平分圓CC.當(dāng)時(shí)， D.點(diǎn)P的軌跡方程為【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，變形為，即圓心為，半徑為2，設(shè)直線，則圓心到直線的距離，即，解得，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由于，故在直線上，故當(dāng)時(shí)，直線l平分圓C，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故圓心到直線的距離，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，，聯(lián)立與得，，由得，且，故，令，則，由于，故在上單調(diào)遞增，故，則,由幾何關(guān)系知，設(shè)，故，變形得到，故點(diǎn)P的軌跡方程為，且，D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知直線l與拋物線交于、兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、斜率之積為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，線段中點(diǎn)的軌跡方程為C.當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】AC【解析】設(shè)點(diǎn)、、，由題意可得，，若直線與軸垂直，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，對(duì)于AB選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，即點(diǎn)，滿足，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)，設(shè)點(diǎn)，則，，化簡(jiǎn)可得，B錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，則為拋物線的焦點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)為，，故以線段為直徑的圓與軸相切，C對(duì)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或，D錯(cuò).故選：AC.12.已知數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，則（）A.數(shù)列的第項(xiàng)小于 B.數(shù)列不可能是等比數(shù)列C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列中存在大于項(xiàng)【答案】BCD【解析】由題知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，又，且，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于，即，變形可得，必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得，必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，假設(shè)數(shù)列中不存在大于的項(xiàng)，即對(duì)于，有，則，所以有，變形得，與假設(shè)矛盾，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分（其中16題第一空2分，第二空3分）.13.編號(hào)不同的四個(gè)球放入四個(gè)不同的盒子中，恰有一個(gè)空盒的不同放法有______種.（用數(shù)字回答）【答案】144【解析】首先把四個(gè)小球分成2、1、1三組，共有種不同的分法，然后再?gòu)乃膫€(gè)盒子中選出三個(gè)盒子放入三組小球，共有種放法.故答案為：144.14.已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因?yàn)閮蓤A外離，所以圓心距滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15.已知橢圓的離心率為，、是左、右焦點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，則直線的斜率為_(kāi)_____.【答案】【解析】由已知可得，則，，橢圓的方程可化為，即，易知點(diǎn)、、，直線的方程為，可得，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，.故答案為：.16.已知數(shù)列各項(xiàng)均為，在其第項(xiàng)和第項(xiàng)之間插入個(gè)，得到新數(shù)列，記新數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______，______.【答案】；【解析】由題意，將數(shù)列各項(xiàng)按如下數(shù)陣排列：其中第行有項(xiàng)，則該數(shù)陣中第行最后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列中的對(duì)應(yīng)的第項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，位于?shù)陣的第行第項(xiàng)，故，數(shù)列的前項(xiàng)中，項(xiàng)的值為的共項(xiàng)，項(xiàng)的值為的項(xiàng)共項(xiàng)，因此，.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①各項(xiàng)系數(shù)之和為；②常數(shù)項(xiàng)為；③各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1536這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問(wèn)題.在的展開(kāi)式中，.（1）求n；（2）證明：能被6整除.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）解：（1）選條件①各項(xiàng)系數(shù)之和為，取，則，解得；選條件②常數(shù)項(xiàng)為，由，則常數(shù)項(xiàng)為，解得；選條件③各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1536，即的各項(xiàng)系數(shù)之和為1536，取，則，解得.（2），所以能被6整除.18.在數(shù)列中，，且分別是等差數(shù)列的第1，3項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求的前n項(xiàng)和.解：（1）由題意得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，解得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由題意，若，則，若，則，所以的前n項(xiàng)和.19.已知圓M的圓心在直線上，并且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)與直線垂直的直線方程為，代入點(diǎn)可得，解得，可知圓M的圓心在直線上，聯(lián)立方程，解得，即圓M的圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，則，因?yàn)?，解得，此時(shí)，即符合題意，設(shè)的傾斜角為，則，故，所以.20.拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為，滿足.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過(guò)拋物線上另一點(diǎn)，最后沿方向射出，若射線平分，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，將代入拋物線方程可得，即點(diǎn)，由可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，直線的方程為，由可得，即點(diǎn)，則，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可知，，且為銳角，，可得，所以，，因?yàn)?，可得，解?21.已知函數(shù)滿足,數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（1）函數(shù)滿足，數(shù)列滿足，則，所以，，故.（2）由（1）可得，則，所以，，上式下式可得，所以，，則，所以，，由可得，則，因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.已知定點(diǎn),直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）點(diǎn)滿足，直線與雙曲線分別相切于點(diǎn)A，B.證明：直線與曲線C相切于點(diǎn)Q，且.解：（1