浙江省東陽縣東陽中學(xué)2024-2025上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)自主招生數(shù)競賽學(xué)試卷（含解析）

2024.11東陽中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷全解全析一、選擇題(本題共20分,每小題4分)1.設(shè)x=29?52,則代數(shù)式A.629B.529+92.函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示,則函數(shù)A.?1,0,13,0B.?題2題3題53.如圖,點(diǎn)A是以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn),直線y=kx+2k+2交⊙O于B,C兩點(diǎn),已知弦BCA.(2,0)B.5,0C.(3,0)4.對(duì)于反比例函數(shù)y=kx,如果當(dāng)?2≤x≤?1時(shí)有最大值A(chǔ).最大值y=1B.最小值y=1C.最大值y=15.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿足CFFD=13,連結(jié)AF并延長交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)AD,DE,若CF=2,AF=A.1B.2C.3D.4二、填空題(本題共20分,每小題4分)6.如圖,在菱形紙片ABCD中,∠A=60°,P為AB中點(diǎn),折疊菱形紙片ABCD=6,使點(diǎn)C落在DP所在的直線上,得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕題6題87.方程組xy+yz8.如圖,在5×5的正方形網(wǎng)格中,△ABC為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上),則圖中與△ABC相似9.已知函數(shù)y=x?2+1,當(dāng)自變量x滿足?1≤x≤m時(shí),函數(shù)值三、解答題(第10題8分,第11-14題每題10分,第15題12分)10.已知有理數(shù)a,b滿足a+b?2設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a212.按要求作圖,不要求寫作法,但要保留作圖痕跡.(1)如圖1,A為⊙O上一點(diǎn),請(qǐng)用無刻度直尺和圓規(guī)作出⊙O(2)結(jié)合幾何圖形的性質(zhì),只用無刻度直尺作圖.①如圖2,在平行四邊形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),作BC的中點(diǎn)F.②如圖3,在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上,作△ABC圖1圖2圖313.如圖,在Rt△ABC兩直角邊AC,BC上分別作正方形ACDE,正方形CBFG,連結(jié)DG.線段AB,BF,FG,GD,DE,EA的中點(diǎn)依次為14.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca>(1)求a,b(2)當(dāng)k≤x≤k+1時(shí),該二次函數(shù)的最小值為k15.如圖,點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.過點(diǎn)A作PB的平行線交⊙O于點(diǎn)C.連結(jié)PC交⊙O于點(diǎn)E.連結(jié)AE并延長交PB于點(diǎn)試卷全解全析一、選擇題(本題共20分,每小題4分)1.解析：原式=====選D.2.解析：由圖像可知y=ax+1x?3根據(jù)y=cx2?因此1?x=?1或3,交點(diǎn)?13選B.3.解析：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)r,0因?yàn)閥=kx+2k+連接OD,作過點(diǎn)D的BC⊥OD,交⊙O于BC,此時(shí)根據(jù)垂直弦定理,DC=1,所以所以A的坐標(biāo)為(3,0),選C.4.解析：當(dāng)x<0時(shí),y可得k>0,最大值y=?4在k因此當(dāng)x≥8時(shí),有最大值選A.5.解析：∵OA∴AC又有∠DAE=∠∵CG∴FD進(jìn)一步得FG=CG∵AF由勾股定理可得AG=又∵GD=4,可得到結(jié)合∠E=∠ADC,可推出S又∵AF∴S△DEF選D.二、填空題(本題共20分,每小題4分)6.解析：連接DB,∵∠A∴△ADB是等邊三角形,DP∵ED是∠C′DC∴∠CDE又∵∠C得∠DEC7.解析：由題意得xy+yz由②得zx∴x=23?y,代入①式,得y2?所以方程組的正整數(shù)解為x=20y=8.解析：設(shè)小正方形邊長為1,從而AB=最小的三角形邊長為1,2,最大的三角形邊長為10,因此最小的三角形與最大的三角形的面積比值為1109.解析：當(dāng)?1≤x≤2時(shí),y當(dāng)2≤x≤m時(shí),y=因此1≤m?1≤三、解答題(第10題8分,第11-14題每題10分,第15題12分)10.解析：310?比較系數(shù)得a=2b?a11.解析：注意到有bc、b由題意得bc=因此b,c為方程x因此△=a故1≤12.解析：∴此圖就是所作的解.作圖思路:(1)連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)C,作AC中垂線BD交⊙O于點(diǎn)B、C,順次連結(jié)即得⊙O(2)①連結(jié)AC、BC交于點(diǎn)O,連結(jié)CO、BE交于點(diǎn)P,連結(jié)DP并延長交BC于點(diǎn)F,此為BC中點(diǎn),這里運(yùn)用了三角形重心的性質(zhì);②連結(jié)BD、CE交于點(diǎn)F,連結(jié)AF并延長交BC于點(diǎn)H,即為BC的高AH,利用全等可得BD⊥AC,CE13.解析：運(yùn)用整體減部分求面積.S△S△S六邊形HIKLPQ14.解析：(1)將方程y=ax2+bxa由題意知該一元二次方程只有一個(gè)解,∴△=b∴1該等式與m無關(guān),∴1?a=0(2)y=x?12分類討論:①當(dāng)k+1<1當(dāng)x=k+1時(shí),