數學-2025屆河南省天一小高考高三第二次考試

小高考2024—2025學年(上)高三第二次考試數學.答案一、單項選擇題:本題共8小題'每小題5分'共40分.1.C2.D3.C4.A5.B6.B7.D8.A二、多項選擇題:本題共3小題'每小題6分'共18分.每小題全部選對的得6分'部分選對的得部分分'有選錯的得0分.9.BC10.ACD11.ACD三、填空題:本題共3小題'每小題5分'共15分.四、解答題:本題共5小題'共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.解析(I)由余弦定理得b2=a2+C2-2aCcosB,22,…………………… 所以b=2\5a.………………(4分)由余弦定理得cosC=.……………(")由正弦定理知=2R,其中R為△ABC外接圓的半徑.…………(7分)因為cosC=-所以sinC=,………………………2.…………………于是有…………………………(13分)16.解析(I)如圖,連接BC1與B1C交于點N,連接MN.因為四邊形BCC1B1為平行四邊形,所以N為BC1的中點,………………(2分)又M為AB的中點,則在△ABC1中,有MN"AC1,…………(4分)又MNC平面B1CM,AC1丈平面B1CM,所以AC1"平面B1CM.………………………(6分)(")由勾股定理的逆定理知BC丄AC,又由側面ACC1A1,BCC1B1均垂直于底面ABC,可得CC1丄平面ABC,所以CA,CB,CC1兩兩垂直,以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖所示.…………(7分)由已知得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,\13),B1(0,4,\13),M(1,2,0).………………(8分)設平面CMC1的法向量為m=(x,y,z),則,,可取m=.………………→CB=(0,4,\13),設平面CMB1的法向量為n=(a,b,C)→則0,可取n=(2\,-\,4).……………(12分),………所以二面角C1-CM-B1的正弦值為.…………………(15分)17.解析(I)由題意知,解得{,故E的方程為=1.………………… (")由條件知A(-2,0),B(2,0),C(0,\3).如圖,則=1,整理得6-2n2=.…………由直線PC:y=\,得T.………………將直線AP:y=(x+2)與直線BC:y=-\x+\的方程聯立,可解得xQ=2(22\\++\\+-22nn).(12分)所以.=2(2\+\m-2n)×\m=12m故.為定值4.………………………(15分)18.解析(I)由已知得g’(x)=lnx+1.……………………(1分)g’(e)=2,且g(e)=1+e,故所求的切線方程為y=2(x-e)+1+e,即y=2x+1-e.………………(3分)(")f’(x)=ex-1-x,f”(x)=ex-1,………………………(4分)當x>0時,f”(x)>0,當x<0時,f”(x)<0,所以f’(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,所以f’(x)≥f’(0)=0,當且僅當x=0時取等號,…………(6分)所以f(x)在R上單調遞增.…………………(7分)(Ⅲ)g’(x)=lnx+1,由g’(x)>0得x>,由g’(x)<0得0<x<,所以g(x)在(0,上單調遞減,在,+∞)上單調遞增,故g(x)≥g=1->0.………………(9分)易證x-1≥lnx,又x>0,所以x2-xlnx=x(x-lnx)>0.所以L(x)=>0.…………………(10分)1x2-xlnxx-lnx.由題意得L(x)=x2-xlnxx-lnx.對任意m>0,取x0=e,則L(x0)==,……………(12分)m注:此處x0的值不唯一,取em,em等均可.因為e-<1,再由(")可知f>f(0),即e->1+>0,……(14分)于是有又因為-1=<0,即<1,所以L(x0)<m.4故存在x0=em,使得L(x0)<m.…………(17分)注:用極限x∞=0表達,不給分.19.解析(I)一共有6個.……………………(2分)=127.…………………(5分)理由:由題可知am,k=(3m+1)+(k-1)(2m+1)=m+k+2mk.由m+k+2mk=127,得2m+2k+4mk=254,所以(2m+1)(2k+1)=255=3×85=5×51=15×17,故2m+1與2k+1的值有6種情況,即am,k有6種情況.注:沒寫理由不扣分,只寫出全部結果沒有說明共有6個,扣2分.由于2x+1是奇數,所以a,b都是奇數,,則2x+1=(2t+1)(2s+1)=2t+2s+4ts+1,所以x=t+s+2ts=at,s,這與x不在數表中相矛盾,故假設不成立,原結論成立,即2x+1是質數.……………(10分)(Ⅲ)因為am,k=m+k+2mk,a2i-1,2j-1=2i+2j-2+2(2i-1)(2j-1),即奇數行、奇數列一定是偶數,a2i-1,2j=2i+2j+4(2i-1)j-1,即奇數行、偶數列一定是奇數.從而每個奇數行的前(2j-1)列中,共有j個偶數,(j-1)個奇數.………(11分)a2i,2j-1=2i+2j+4(2j-1)i-1,即偶數行、奇數列一定是奇數,a2i,2j=2i+2j+8ij,即偶數行、偶數列一定是偶數.從而每個偶數行的前(2j-1)列中,共有(j-1)個偶數,j個奇數.………(12分)所以前2i行、前(2j-1)列中共有2i(2j-1)個數,其中偶數和奇數均有i(2j-1)個.…(13分)x的所有可能取值為0,1,2,3.P(x=0)=P(x=3)==,P(x=1)=P(x=2)=Cij-iCij-i=3(2ij-i)………(15分)Cij-2i