2001年北京高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

第頁(yè)|共頁(yè)2001年北京高考文科數(shù)學(xué)真題及答案本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁(yè)。第II卷3至9頁(yè)。共150分。考試時(shí)間120分鐘。第I卷（選擇題60分）注意事項(xiàng)：答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線(xiàn)長(zhǎng)臺(tái)體的體積公式其中、分別表示上、下底面積，表示高選擇題：本大題共12小題；第每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的?！恪愕闹禐椋ˋ）（B）（C）（D）（2）過(guò)點(diǎn)且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程是（A）（B）（C）（D）（3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（A）（B）（C）（D）（4）若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（A）（0，）（B）（0，（C）（，+）（D）（0，+）(5)已知復(fù)數(shù)，則是（A）（B）（C）（D）（6）函數(shù)的反函數(shù)是（A）（B）（C）（D）（7）若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為，則其離心率為（A）（B）（C）（D）（8）若，，，則（A）（B）（C）（D）（9）在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°（10）設(shè)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：eq\o\ac(○,1)若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；eq\o\ac(○,2)若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；eq\o\ac(○,3)若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；eq\o\ac(○,4)若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減；其中，正確的命題是（A）eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,3)（B）eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,4)（C）eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)（D）eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4)（11）一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：eq\o\ac(○,1)單向傾斜；eq\o\ac(○,2)雙向傾斜；eq\o\ac(○,3)四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為.若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（A）（B）（C）（D）（12）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線(xiàn)表示它們有網(wǎng)線(xiàn)相聯(lián)。連線(xiàn)標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量?，F(xiàn)從結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)傳遞信息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線(xiàn)同時(shí)傳遞。則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（A）26（B）24（C）20（D）19第Ⅱ卷(非選擇題共90分)注意事項(xiàng)：1.第Ⅱ卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中．2.答卷前將密封線(xiàn)內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線(xiàn)上．(13)()10的二項(xiàng)展開(kāi)式中x3的系數(shù)為(14)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上．若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為(15)設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若｛Sn｝是等差數(shù)列，則q=(16)圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n＞1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________三.解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．(17)(本小題滿(mǎn)分12分)已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，前n項(xiàng)和為Sn，Sk=2550(Ⅰ)求a及k的值；(Ⅱ)求(…)．(18)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，． (Ⅰ)求四棱錐S—ABCD的體積； (Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．(19)(本小題滿(mǎn)分12分) 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4求四邊形ABCD的面積． (20)(本小題滿(mǎn)分12分) 設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC∥x軸．證明直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．(21)(本小題滿(mǎn)分12分) 設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840cm2，畫(huà)面的寬與高的比為λ(λ＜1)，畫(huà)面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm(22)(本小題滿(mǎn)分14分) 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)．對(duì)任意x1，x2∈都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)． (Ⅰ)求及；(Ⅱ)證明f(x)是周期函數(shù)；參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一.本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一.選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿(mǎn)分60分．（1）B（2）C（3）A（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C（11）D（12）D二.填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題4分，滿(mǎn)分16分．（13）15（14）（15）1（16）2n(n－1)三.解答題：（17）本小題考查數(shù)列求和以及極限的基本概念和運(yùn)算，考查綜合分析的能力．滿(mǎn)分12分． 解：（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為｛an｝，則a1=a，a2=4，a3=3a，Sk=2550由已知有a＋3a=2×4，解得首項(xiàng)a1=a=2，公差d=a2－a1=2．—— 代入公式得，整理得k2＋k－2550=0，解得k=50，k=－51（舍去）． ∴a=2，k=50．——6分（Ⅱ）由得Sn=n(n＋1)，∴ ，——9分∴．——12分（18）本小題考查線(xiàn)面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力．滿(mǎn)分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是M底面，——2分∴四棱錐S—ABCD的體積是 M底面．——4分（Ⅱ）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱．——6分∵AD∥BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線(xiàn)，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．——10分∵，BC=1，BC⊥SB，∴tg∠BSC．即所求二面角的正切值為．——12分（19）本小題考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理解三角形的方法，考查運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．滿(mǎn)分12分．解：如圖，連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積，．∵A＋C=180°，∴sinA=sinC． ∴ ．——6分 由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2＋AD2－2AB·ADcosA=22+42－2×2×4cosA=20－16cosA，在△CDB中BD2=CB2＋CD2－2CB·CDcosC=62＋42－2×6×4cosC=52－48cosC， ——9分∴20－16cosA=52－48cosC∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，，∴A=120°，∴．——12分（20）本小題考查拋物線(xiàn)的概念和性質(zhì)，直線(xiàn)的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力．滿(mǎn)分12分． 證明：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(，0)，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)AB的方程可設(shè)為；——4分代入拋物線(xiàn)方程得y2－2pmy－p2=0，若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=－p2．——8分因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線(xiàn)x=－上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－，y2），故直線(xiàn)CO的斜率為，即k也是直線(xiàn)OA的斜率，所以直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．——12分（21）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)最小值的方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．滿(mǎn)分12分．解：設(shè)畫(huà)面高為xcm，寬為λxcm，則λx2=4840．設(shè)紙張面積為S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，——3分將代入上式，得．——6分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，S取得最小值．——8分此時(shí)，高：，寬：．答：畫(huà)面高為88cm，寬為55cm時(shí)，能使所用紙張面積最?。?2）本小題主要考查函數(shù)的概念、圖像，函數(shù)的奇偶性和周期性等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力．滿(mǎn)分14分．(Ⅰ)解：由f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，x1x2∈[0，]知 f()·f()≥0，x∈[0，1]．——2分∵f()=f()·f()=[f()]2， ，∴f()．——5分∵f()， f()，∴f()．—