2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（蘇科版）第十二章 二次根式（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十二章二次根式（知識歸納+題型突破）了解二次根式的概念，最簡二次根式的概念理解二次根式的性質(zhì)，了解二次根式的加減乘除法則，會進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。2.最簡二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì)①（）2=a（a≥0）；②=│a│=；③=·（a≥0，b≥0）；④（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式：把分母中的根號化去，叫做分母有理化；兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．6.二次根式的運(yùn)算：（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．題型一二次根式有意義的條件【例1】函數(shù)自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】A【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不能為0；根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不能為0列出不等式即可解答．【詳解】解：依題意可得：，解得：，故選：A．【例2】若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，利用了二次根式的性質(zhì)．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，二次根式的值是非負(fù)數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵；∴，；解得：；故選：C．【例3】函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不等于0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)被開方數(shù)大于等于0和分式的分母不等于0的條件可得且，求解不等式組，即可得出答案．【詳解】解：由題意得：且，解得：且，故選：C．鞏固訓(xùn)練1．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍．【答案】且【分析】本題考查了分式和二次根式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于0，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式和二次根式有意義的條件得出不等式組，求解即可．【詳解】解：由題意，得，解得：且．故答案為：且．2．試寫出一個(gè)x值使得二次根式有意義：．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義，被開方式大于或等于0即可得到答案【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，解得：，故答案為：（答案不唯一）．3．函數(shù)的自變量x的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查求函數(shù)的自變量的取值范圍，分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)非負(fù)，分式的分母不為0．【詳解】解：由題意可得，且，解得：，故答案為：．4．函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查求函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．掌握被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式的分母不能為0是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件解答即可．【詳解】解：∵，∴，且，∴且，∴x的取值范圍為,故答案為：．題型二簡單二次根式的求值【例4】當(dāng)時(shí)，二次根式的值是．【答案】【分析】本題主要考查了化簡二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【例5】當(dāng)時(shí)，二次根式的值為．【答案】3【分析】本題考查求二次根式的值，先將代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3．【例6】當(dāng)時(shí)，二次根式的值是．【答案】【分析】將代入待求式子，根據(jù)根號具有括號的作用，按含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序算出被開方數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練5．當(dāng)時(shí)，二次根式的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質(zhì)及化簡，二次根式的定義，把代入原式化簡即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式，故選：B．題型三求二次根式中的參數(shù)【例7】已知是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式求出m的取值范圍，再根據(jù)是整數(shù)對m的值進(jìn)行分析討論．【詳解】解：由題意得：，解得，又因?yàn)槭钦麛?shù)，∴是完全平方數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，綜上所述，自然數(shù)m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡及自然數(shù)的定義，掌握二次根式的化簡法則及自然數(shù)是指大于等于0的整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【例8】若是一個(gè)整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】結(jié)合正整數(shù)與最簡二次根式的性質(zhì)即可求出m的值．【詳解】∵是一個(gè)整數(shù),且m是正整數(shù)，,∴m的最小值為3，此時(shí)的值是整數(shù)3.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．鞏固訓(xùn)練6．若實(shí)數(shù)m滿足，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出m的取值范圍．理解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知：，解得：，故答案為：．7．計(jì)算：如果，那么；．【答案】5【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性解答即可，即．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴；∵，∴，∴；故答案為：5，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的雙重非負(fù)性，熟知是解題的關(guān)鍵．8．若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是．【答案】4【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和m為正整數(shù)，得出，即可得出m的值．【詳解】解：∵有意義，∴，解得：，∵m是正整數(shù)，∴，∴，∵是整數(shù)，∴，解得：，∴正整數(shù)的最小值是4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．題型四二次根式的性質(zhì)化簡【例9】下列選項(xiàng)中，化簡正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、乘方等知識點(diǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡以及乘方逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故此選項(xiàng)正確，符合題意；C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【例10】計(jì)算：（）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，先得到，再進(jìn)一步化簡，即可作答．【詳解】解：依題意，故選：C【例11】化簡：的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)題意判斷出a的符號，再把二次根式進(jìn)行化簡即可．【詳解】∵有意義，∴，且∴∴．故選：B．鞏固訓(xùn)練9．（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的化簡，理解算術(shù)平方根的意義是關(guān)鍵．是4的算術(shù)平方根，據(jù)此即可求解．【詳解】是4的算術(shù)平方根，則．故選：A．10．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的相關(guān)知識．【詳解】解：，故答案為：．11．已知那么．【答案】81【分析】先求出x值，再求平方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：81．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的意義，掌握二次根式的意義和運(yùn)算方法是正確求解的基本方法．12．已知，化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，熟練掌握二次根式和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的取值范圍得出，，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，故答案為：．13．已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：．【答案】a【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸可知，，再化簡即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，∴，∴，故答案為：a．題型五最簡二次根式的判斷【例12】下列根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查最簡二次根式的定義，即“被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式”，由此即可求解，掌握最簡二次根式的定義，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，不符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、是最簡二次格式，符合題意；D、是三次根式，不符合題意；故選：C．【例13】下列二次根式中，是最簡二次根式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)不含分母，且不含能開方開的盡的因數(shù)或因式，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：下列二次根式中，是最簡二次根式的有，共2個(gè)；故選A．鞏固訓(xùn)練14．下列式子中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是最簡二次根式，符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、，不是最簡二次根式，不符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選A。15．下列式子中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了最簡二次根式的定義．在判斷最簡二次根式的過程中要注意：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．判斷一個(gè)二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)要先因式分解后再觀察．【詳解】A．，不是最簡二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意，B．，不是最簡二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意，C．，被開方數(shù)中含分母，不是最簡二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意，D．，是最簡二次根式，故該選項(xiàng)符合題意，故選：D．16．化為最簡二次根式的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的化簡，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．【詳解】，故選：B．17．下列式子是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是最簡二次根式的概念，掌握被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．是最簡二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B．不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．題型六最簡二次根式化簡【例14】下列各式化成最簡二次根式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了對最簡二次根式的定義的理解，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)最簡二次根式的定義判斷是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，化簡不正確；B.，化簡不正確；C.，化簡不正確；D.，化簡正確；故選D．鞏固訓(xùn)練18．計(jì)算：【答案】【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：；故答案為：．19．化簡：．【答案】【分析】本題考查的是化為最簡二次根式，把被開方數(shù)的分子分母都乘以5，再化簡即可．【詳解】解：，故答案為：題型七二次根式乘法【例15】計(jì)算：【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算、平方差公式等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式和二次根式運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：原式．【例16】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)3；(2)2.【分析】本題考查的是二次根式的乘除法及應(yīng)用平方差公式進(jìn)行二次根式計(jì)算，掌握二次根式的乘除法法則及平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可．（2）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：鞏固訓(xùn)練20．計(jì)算：．【答案】1【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算和平方差公式，根據(jù)平方差公式去括號，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：1．21．計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘法，利用二次根式乘法運(yùn)算及二次根式性質(zhì)求解即可得到答案，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．22．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘法，先化簡，再根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可，解題關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則．【詳解】解：,故答案為：．23．計(jì)算：．【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟知二次根式的乘法運(yùn)算法則是正確解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的乘法公式：，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：；故答案為：2．題型八二次根式除法【例17】．【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算，即可求解．【詳解】解：原式．故答案為：．【例18】計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查二次根式的除法，利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式；故答案為：．鞏固訓(xùn)練24．計(jì)算：÷=【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除運(yùn)算，被開方數(shù)先相除，然后化成最簡二次根式就出結(jié)果．【詳解】解：原式＝．故答案為：．25．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法運(yùn)算，根據(jù)二次根式的除法法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．題型九二次根式乘除法混合【例19】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的除法計(jì)算，熟知二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的除法法則可解決問題．（2）根據(jù)二次根式的除法法則可解決問題．【詳解】（1）（2）【例20】計(jì)算：【答案】【分析】本題考查的是二次根式的乘除運(yùn)算，先化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，即可求解．【詳解】解：原式．【例21】計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了平方差公式，二次根式的乘除，算術(shù)平方根等知識．熟練掌握平方差公式，二次根式的乘除，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．利用平方差公式計(jì)算二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的除法計(jì)算，求算術(shù)平方根，最后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：．鞏固訓(xùn)練26．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可；（2）按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）解：原式；（2）原式

．27．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和利用平方根解方程．掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則和利用平方根解方程的方法是解題關(guān)鍵．（1）先簡二根式再合并同類二次根即可；（2）先簡二根式再合并同類二次根，再根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．題型十同類二次根式【例22】如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么．【答案】5【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式的定義列方求解．【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，，解得：，故答案為：5．【例23】若最簡二次根式與是同類二次根式，則的值是．【答案】8【分析】本題考查的是同類二次根式的含義，掌握“利用同類二次根式的定義求解字母參數(shù)的值”是解本題的關(guān)鍵．由同類二次根式的定義可得，再解方程即可．【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：．故答案為：8．鞏固訓(xùn)練28．下列二次根式中，與屬于同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式：二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，二次根式的性質(zhì)；把選項(xiàng)中不是最簡二次根式的化為最簡二次根式即可判斷．【詳解】解：，，則與是同類二次根式，故選：C．29．下列各式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義即可解答．【詳解】解：A．，與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．與是同類二次根式，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C．，與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．30．下列各組的兩個(gè)根式，是同類二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．先把各二次根式化簡為最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的概念解答即可．【詳解】A、與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；B、與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；C、與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；D、與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式．故選：B．題型十一二次根式的加減運(yùn)算【例24】化簡的結(jié)果是（

）A． B．3 C．3 D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，涉及到最簡二次根式與同類二次根式的概念，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再利用加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：＝＝．故選：D．【例25】若a，b為有理數(shù)，且，則．【答案】/【分析】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，實(shí)數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次根式的化簡，合并同類二次根式，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．實(shí)數(shù)的性質(zhì)：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分分別相等．先把等式的左邊化簡，合并同類二次根式，再利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】∵，且，∴，∴，，∴．故答案為：．【例26】計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查二次根式的加減運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．故答案為：．鞏固訓(xùn)練31．計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的加減、二次根式分母有理化．先分母有理化，再合并，即可求解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．故答案為：32．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．【詳解】解：原式33．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，二次根式的化簡用加減運(yùn)算．先計(jì)算乘方，化簡二次根式和絕對值，再計(jì)算加減即可．【詳解】解：原式．題型十二比較二次根式大小【例27】比較大?。海ㄌ睢啊?，“”或“”）【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，先把轉(zhuǎn)化成，比較被開方數(shù)的大小即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵，∴，即，故答案為：．【例28】比較大?。?；．【答案】＜＜【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)兩個(gè)正無理數(shù)比較，被開方數(shù)大的仍然大，兩個(gè)負(fù)無理數(shù)相比較，絕對值大的反而小，計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：＜，＜．【例29】比較大?。海ㄓ?、或連接）【答案】【分析】本題考查二次根式的大小比較，熟練掌握二次根式的大小比較的方法是解答的關(guān)鍵．將根號外的正因數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計(jì)算出被開方數(shù)，再比較被開方數(shù)的大小，即可得到答案．【詳解】解：，，且，，即，故答案為：．鞏固訓(xùn)練34．比較大?。海ㄌ顚憽啊保啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了二次根式比較大小，把兩個(gè)二次根式都平方，根據(jù)平方越大，對應(yīng)的二次根式越大進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．35．比較大?。海ㄌ睢?gt;”或“<”或“=”）．【答案】【分析】本題考查的是二次根式的大小比較，掌握二次根式的大小比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，而，∴，故答案為：．36．比較大?。ㄓ茫?，號填寫）．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，通過比較與的平方即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴．故答案為：．37．比較大?。海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了無理數(shù)的估算、二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將化成，根據(jù)無理數(shù)的估算、二次根式的化簡可得，由此即可得．【詳解】解：，∵，，即，故答案為：．題型十三分母有理化【例30】分母有理化：．【答案】【分析】本題考查了分母有理化，根據(jù)，分子和分母同時(shí)乘上，化簡即可作答．【詳解】解：依題意，故答案為：【例31】的有理化因式是．【答案】/【分析】本題考查了有理數(shù)因式的定義，根據(jù)“如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式”，即可解答．【詳解】解：∵，∴的有理化因式是，故答案為：．【例32】計(jì)算＝．【答案】【分析】利用分母有理化的方法化簡即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化和二次根式的乘除法，熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練38．的有理化因式是．【答案】【分析】本題主要考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式和有理化因式的意義是解題的關(guān)鍵．利用平方差公式和有理化因式的意義解答即可．【詳解】的有理化因式是．故答案為：．39．的有理化因式為．【答案】/【分析】本題考查了有