17-4-一元二次方程的應(yīng)用-精講與精練高分突破系列(滬教版)(原卷版)

17.4一元二次方程的應(yīng)用（共14種題型剖析）一、二次三項式的因式分解方法探究：如果方程有兩個實(shí)數(shù)根:=、=，那么寫出代數(shù)式得因為=+=－·=上面等式，從右到左就是把a(bǔ)x+bx+c分解因式.把二次三項式ax+bx+c(a≠0)分解因式時,如果b-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)數(shù)根、，再寫出分解式②如果b-4ac<0，那么方程ax+bx+c=0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根，ax+bx+c不能分解因式（R內(nèi)）.二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.平均變化率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)2.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.3.利息問題(1)概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期數(shù)利息稅=利息×稅率本金×(1+利率×期數(shù))=本息和本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)4.利潤(銷售)問題利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：利潤=售價-進(jìn)價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)5.形積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.題型1：二次三項式的因式分解1．下列各式哪個是二次三項式的因式分解（

）A．B．C． D．2．二次三項式2x2-8x+5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解為（

）A．B．C． D．3．如果一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為、，則二次三項式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的分解式是（

）.A． B． C． D．題型2：含字母型（參數(shù)型）二次三項式的因式分解4．若方程的兩個解是，那么在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式是（

）A．B．C．D．5．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，下列四個答案中正確的是（

）.A．B．C．D．題型3：二次三項式能因式分解的條件6．下列關(guān)于的二次三項式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能夠因式分解的是（

）A．； B．； C．； D．．7．下列多項式，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能用公式法分解因式的有（

）.①；②；③；④；⑤；⑥.A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．如果二次三項式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以因式分解,求的取值范圍.9．小穎初一時體重是，到初三時體重增加到，則她的體重平均每年增加的百分率為（

）A． B． C． D．題型4：增長率問題10．隨著國內(nèi)新冠疫情逐步得到控制，人們的口罩儲備逐漸充足，市場的口罩需求量在逐漸減少，某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到萬只，則該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為（

）A． B． C． D．11．某農(nóng)機(jī)廠一月份生產(chǎn)零件50萬個，第一季度共生產(chǎn)零件182萬個．設(shè)該廠二、三月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182題型5：數(shù)字型問題12．有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來的兩位數(shù)就得1855，則原來的兩位數(shù)中較大的數(shù)為（

）A．62 B．44 C．53 D．35題型6：握手問題（握手問題2個算一場）13．一次會議上，每兩個參加會議的人都互相握了一次手，有人統(tǒng)計一共共握66次手．若設(shè)這次會議到會的人數(shù)為x人，依題意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66B．＝66C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝6614．某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排36場比賽，則八年級班級的個數(shù)為(

)A．6 B．9 C．7 D．8題型7：握手問題衍生題（紅包問題2個算2場，重在理解）15．今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到90個紅包，則該群一共有A．9人 B．10人 C．11人 D．12人題型8：傳染問題16．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有225人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)為x人，則可列方程（

）A． B． C． D．題型9：小路問題17．如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為(

)A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=60018．如圖，在一幅長80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周，鑲一條寬度相等的金色紙邊制成矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積為cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則可列方程（）．A． B．C． D．19．現(xiàn)要在一個長為，寬為的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草，如圖所示，要使種植花草的面積為，設(shè)小道的寬度為x，可列方程是（

）A． B．C． D．題型10：日歷（表格）問題20．日歷中含有豐富的數(shù)學(xué)知識，如在圖1所示的日歷中用陰影圈出9個數(shù)，這9個數(shù)的大小之間存在著某種規(guī)律．小慧在2020年某月的日歷中也按圖1所示方式圈出9個數(shù)（如圖2），發(fā)現(xiàn)這9個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)乘積是297，則這9個數(shù)中，中間的數(shù)是（

）A．17 B．18 C．19 D．20題型11：圍欄問題21．如圖，一農(nóng)戶要建議個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)于墻垂直的一邊長為xm，則可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝8022．空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法題型12：營銷問題23．某海鮮市場以每千克10元的進(jìn)價進(jìn)了一批螃蟹，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價為每千克20元時，每天可銷售40千克．售價每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該海鮮市場想平均每天獲利408元，設(shè)這種螃蟹的售價上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．題型13：復(fù)雜的營銷問題24．重慶奉節(jié)臍橙，柚子非常出名，奉節(jié)大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)作物．其中果樹種植已經(jīng)具有規(guī)模性了，今年受氣候、雨水等因素的影響，所橙產(chǎn)量較去年有小幅度的減少．而柚子產(chǎn)量有所增加．（1）奉節(jié)某果農(nóng)今年收獲臍橙和柚子共4200千克，其中臍橙的產(chǎn)量不超過柚子產(chǎn)量的6倍，求該果農(nóng)今年收獲柚子至少多少千克？（2）該果農(nóng)把今年收獲的臍橙、柚子兩種水果的一部分運(yùn)往市場銷售．該果農(nóng)去年臍橙的市場銷售量為1000千克，銷售均價為15元千克，今年臍橙的市場銷售量比去年減少了a%銷售均價與去年相同．該果農(nóng)去年柚子的市場銷售量為2000千克，銷售均價為10元/千克，今年柚子的市場銷售量比去年增加了2a%，但銷售均價比去年減少了a%，該果農(nóng)今年運(yùn)往市場銷售的這部分臍橙和柚子的銷售總金額與他去年臍橙和柚子的市場銷售總金額相同，求a的值．題型14：幾何問題25．如圖所示，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設(shè)，則這個正方形的面積是____________________．26．如圖，在長方形中，厘米，厘米，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），厘米．將長方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度后，得到長方形，且重疊部分的四邊形是長方形．連接，．（1）若厘米，厘米，則三角形的面積平方厘米；（2）用含有、的代數(shù)式表示三角形的面積；（3）若，求的長度．一、單選題1．多項式分解因式正確的是（

）A． B．C． D．2．下面的多項式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解的是（

）A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2+x+1 D．x2﹣2x+13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把分解因式為（

）.A．B．C．D．4．小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．5．在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝06．雞瘟是一種傳播速度很快的傳染病，一輪傳染為一天的時間，某養(yǎng)雞場于某日發(fā)現(xiàn)一例雞瘟病例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種?。裘坷‰u傳染健康雞的只數(shù)均相同，則每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為（）A．11只 B．12只 C．13只 D．14只7．如圖是某公園在一長35m，寬23m的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬為xm，則x滿足的方程為（

）A． B．C． D．8．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長比寬多多少步？若設(shè)長比寬多x步，則下列符合題意的方程是（

）A．(60-x)x=864 B．=864C．(60+x)x=864 D．(30+x)(30-x)=8649．“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降5元時，日銷售量會增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．10．一個容器盛滿純藥液千克，第一次倒出一部分藥液后加滿水，第二次又倒出同樣多的藥液，再加滿水，此時容器內(nèi)的純藥液利下千克，那么每次倒出的藥液是（

）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克二、填空題11．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：____．12．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：__________________．13．實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：________．14．在國家政策的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交均價由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，則11、12兩月平均每月降價的百分率是_______%．15．游行隊伍有8行12列，后又增加了69人，要使得隊伍增加的行數(shù)和列數(shù)相同，需要增加___行．16．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了_______人．17．如圖，有一塊長，寬的長方形鐵皮，如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個底面面積為的無蓋的盒子，則這個盒子的容積為___．18．某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠現(xiàn)有墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩面用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，則飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB的長為_____米．三、解答題19．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：20．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）；（2）；（3）.21．（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．（2）解關(guān)于的方程：（是已知數(shù)）．22．某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？23．受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略，某市汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計，2016年利潤為2億元，2018年利潤為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率；（2）若利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2019年的利潤能否超過3.5億元？24．如圖，某中學(xué)課外興題小組準(zhǔn)備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為28m．(1)當(dāng)矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長；若不能，說明理由．25．某公司市場營銷部的某營銷員的個人月收入與該營銷員每月的銷售量的關(guān)系如表格所示．個人月收入（元）16002400320040004800…每月銷售量（萬件）12345…根據(jù)以上表格提供的信息，解答下列問題：如果兩個月內(nèi)該營銷員的銷售量從2萬件猛增到5萬件，月收入兩個月大幅度增長，且連續(xù)兩個月的月收入的增長率是相同的，試求這個增長率（取1.41）．26．工藝商場按標(biāo)價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元，按標(biāo)價的八五折銷售共工藝品8件與將標(biāo)價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等．（1）該工藝品每件的進(jìn)價、標(biāo)價分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進(jìn)價進(jìn)貨，標(biāo)價售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件，若每件工藝品降價1元，則每天可售出該工藝品4件