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二重積分計算播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積２．求平面薄片的質量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質量之和近似等于薄片總質量二、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為性質１當為常數時，性質２（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性質性質３對區(qū)域具有可加性性質４若為D的面積，性質５若在D上特殊地則有性質６性質７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）如果積分區(qū)域為：其中函數、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分［X－型］3.2二重積分的計算應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區(qū)域為：［Y－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.例1計算其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解如圖,既是型,又是型.若視為型,則原式例1計算其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解若視為型,則原積分若視為型,則分次序對重積分的計算非常重要.故合理選擇積其中關于的積分計算比較麻煩,解例3計算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解如圖,(見P141圖3-12)既是型,也是型.但易見選擇前者計算較麻煩,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計算,擇后者.故選例3計算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解如圖,(見P141圖3-11)既是型,也是型.但易見選擇前者計算較麻煩,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計算,擇后者.故選例4計算二重積分其中區(qū)域是由圍成的矩形.如圖,因為是矩形區(qū)域,且所以解解例6交換二次積分的積分次序.解題設二次積分的積分限:可改寫為:所以例7交換二次積分的積分次序.解題設二次積分的積分限:可改寫為所以原式二、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖注：極坐標系下區(qū)域的面積二重

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