2024年上海數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí) 第3講 三角形一邊的平行線含詳解

第03講三角形一邊的平行線

【知識(shí)梳理】

1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

AnAP

如圖，已知AA8C,直線〃/8C,且與AB、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,那么一=—.

DBEC

2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

如圖，點(diǎn)。、石分別在AA8C的邊44、AC上,

DE//BC,—=—=—

3、三角形的重心

定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.

4、三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

5、三角形一邊的平行線判定定理推論

如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直

線平行于三角形的第三邊.

AnAp

如圖，在A48C中，直線/與44、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)￡,如果——=——那么/〃3c.

DBEC

6、平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖，直線/"兒/兒，直線〃，與直線〃被直線4、所截，那么竺=空.

FBGC

7、平行線等分線段定理

兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等.

【考點(diǎn)剖析】

一.三角形的重心（共13小題）

1.（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）

A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

B.三角形三條中線的交點(diǎn)

C.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

D.三角形三條高的交點(diǎn)

2.（2023?奉賢區(qū)一模）在△A8C中，AD是BC邊上的中線，G是重心.如果/W=6,那么線段。G的長(zhǎng)是

3.（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，N84C=90°,點(diǎn)G是△ABC的重心，如果AG=4,那么8。的長(zhǎng)

為

A

4.（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在RtZ\A4C中，NC=9D°,點(diǎn)G是△A8C的重心，GELAC,垂足為

E,如果C8=10,則線段GE的長(zhǎng)為（）

5.（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△48C的重心，那么S“CG：SZ^BC等于（)

6.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，G是△A8C的重心，延長(zhǎng)BG交4c于點(diǎn)。，延長(zhǎng)CG交A8于點(diǎn)七，P、。分

別是△3CE和△6CO的重心，6c長(zhǎng)為6,則FQ的長(zhǎng)為

7.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在RtZVWC中，ZB=90c,N84C=30°,BC=1,以AC為邊在AAHC外作等邊4

ACD,設(shè)點(diǎn)￡、尸分別是△48C和△4CO的重心，則兩重心后與小之間的距離是

8.（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點(diǎn)G是△48C的重心，那么SMBG：SMBC=.

9.（2023?金山區(qū)一模）如圖，△A4C為等腰直角三角形，NA=90‘，AB=6,Gi為△ABC的重心，E為線段AB

上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰口△CO石（點(diǎn)/）在直線BCH勺上方），G2為RtZ\CO￡的重心，設(shè)Gi、G2兩

點(diǎn)的距離為4,那么在點(diǎn)石運(yùn)動(dòng)過(guò)程中〃的取值范圍是.

SG

10.（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC,P是邊6C_L一點(diǎn)，△笈8、△辦C的重心分別為3、Gz,那么------」的

SAABC

值為.

11.（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點(diǎn)G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6,那么AG的長(zhǎng)

為?

12.（2018?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）G為重心，QE過(guò)重心，SaA3C=l,求S“OE的最值，并證明結(jié)論.

13.（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G是△A4C的重心，過(guò)點(diǎn)G作E產(chǎn)〃8C,分別交人〃、AC于點(diǎn)石、F,且

EF+BC=72cm,求歡?的長(zhǎng).

二.平行線分線段成比例（共19小題）

14.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△A8C中，點(diǎn)。、E分別在邊48和8c上，AD=2,。8=3,BC=\O,要使。E〃

AC,那么BE必須等于.

15.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知A4〃C。〃七八它們依次交直線八、/2于點(diǎn)A、C、￡和點(diǎn)3、D、F,如果

AC：CE=3：I,8產(chǎn)=10,那么力尸等于（）

±Ax忸

E/卜

A.—B.—C.—D.—

3325

16.（2023?寶山區(qū)一模）在△48。中，點(diǎn)。、E分別在邊48、AC上，如果AQ：BD=\：3,那么下列條件中能判

斷Z）E〃8c的是（）

A.^=1B,膽=2C.D,述」

AC4EC4AB4BC4

17.（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果點(diǎn)從G分別在△?！晔械倪?。E和。尸上,那么不能判定HG〃石廠的比例式

是（）

A.DH：EH=DG：GFB.HG：EF=DH：DE

C.EH：DE=GF：DFD.DE：DF=DH：DG

18.（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a//b//c,若需存，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

一。

AAD3RBC3rAl32口BC3

AF5CE2ElF3BE5

19.（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知A8〃CO〃EF,AC：AE=3：5,那么下列結(jié)論正確的是（）

A/

A.BD：DF=2t3B.AB：CD=2：3C.CD：EF=3：5D.DF：BF=2：5

20.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，AD//BE//Cb\已知DE=6,AC=13,那么N”的長(zhǎng)等于

21.（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知直線AD//BE//CF,如果膽=2,。后=3,那么線段EF的長(zhǎng)

BC3

是_____________________

22.（2022秋?松江區(qū)月考）如圖,在△ABC中，點(diǎn)。在45上，點(diǎn)E在AC上,DE//BC.AD=3,48=4.AC

=6,求EC.

23.（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE//BC,EF//CG,AD：AI3=\：3,AE=3.

（1）求EC的值；

（2）求證：AO?4G=AF?AB.

24.（2023?崇明區(qū)一模）四邊形A4CD中，點(diǎn)F在邊A。上，破的延長(zhǎng)線交CO的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能

判斷的式子是（）

AID=EDB空=坦c膽=建D

,BCEC,DFEF?麗麗,BEEC

25.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知A8〃CO〃EF,AD：4產(chǎn)=3：5,BE=24,那么8c的長(zhǎng)等于（）

A.4B.—C.—D.8

55

26.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，DF//AC,DE//BC,下列各式中正確的是（）

BD_ABRAD_BFrAD_CEnAE_BF

CE"AC-BD"FC'DE"BD'CE'CF

27.（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線/1、/2、/3分別交直線/4于點(diǎn)A、B、C,交直線/5于點(diǎn)。、E、F,

且/1〃/2〃/3,45=6,8c=3,。尸=12,則。E=

28.（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)。、E、尸分別在△A8C的邊48、AC、BC上，DF//AC,BD=2AD,AE

=2EC.

（1）如果4B=2AC,求證：四邊形AQFE是菱形；

（2）如果AB=&AC,且BC=1,聯(lián)結(jié)。石，求DE的長(zhǎng).

29.（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)。為△A8C中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段A8、AC.AD上一點(diǎn),

W.EG//BD,GF//DC.

（1?求證：EF//BC；

A

30.(2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知直線八、h?、/3分別截直線/4于點(diǎn)A、B、C,截直線K于點(diǎn)。、E、F,

且」〃/2〃/3.

(1)如果AB=4,BC=8,E尸=12,求OE的長(zhǎng).

(2)如果。E：EF=2：3,AB=6,求4c的長(zhǎng).

\pA?/.

31.（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖,已知直線/|〃/2〃/3,1［線AC和￡＞尸被/】、b、/3所截.若4B=3c〃?，BC=5cm,

EF=4cm.

(1?求。E、OF的長(zhǎng)；

⑵如果AD=40cm,C/=80(7〃，求BE的長(zhǎng).

32.(2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)3、F、。分別是NO兩邊上的點(diǎn)，且A3〃EO,BC

//EF,AF.8c交于點(diǎn)M,CD、EF交于點(diǎn)、N.

(1?求證：AF//CDx

(2)若。4：AC：CE=3：2：4,AM=1,求線段ON的長(zhǎng).

E

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023?上海??？家荒＃┤鐖D，已知AB〃CZ）〃砂，AD:AF=y.5,BE=24,那么AC的長(zhǎng)等于（）

48

TD.8

2.（2022秋?上海浦東新?九年級(jí)?？计谥校┰趤V8c中，。、上分別在_A8C的邊A8、AC上，下列條件中不能

判定OE〃次7的是）

ADDEcADAE?ADAE

A.-----=------B.-----=------C.ZAED=ZCD.-----=------

ABBCABACBDEC

3.（2022秋?九年級(jí)單元測(cè)試）在“SC中,點(diǎn)、E、D、尸分別在邊48、BC、AC上，聯(lián)結(jié)QE、DF,如果

DE//AC,DF//AB.AE:EB=3:2,那么的值是（）

A3B-t23

C.—D.-

255

4.（2021秋?上海?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)。、點(diǎn)?在.以8C的邊A8上，點(diǎn)七在邊AC上，DE//BC,且

AD4

—要使得E尸〃CD,還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（）

H

DF3AE_4EF_4BD_3

A.D.

~AD7~AC~7~CD~1AD-4

5.（2023?上海浦東新??？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)。、E分別在A3、AC上，以下能推得力七〃8C的條件是（）

A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BC

C.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB

6.（2022秋?上海崇明?九年級(jí)?？计诳冢┰谝籄8c中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，如果AO=2,BD=3,那

么由下列條件能夠判定?！辍?C的是（）

aDE2AE2AE2CE2

A.=—B.——=—?C.=—D.

BC5AC5AD5~AC5

二、填空題

7.（2022秋?上海嘉定?九年級(jí)校考期口）在4ABe中，點(diǎn)。、￡分別在線段A3、AC的延長(zhǎng)線上，OE平行于

BC,AB=1,BD=3,AC=2,那么AE=

8.（2022春?上海普陀?九年級(jí)校考期口）如圖,YA5CQ中,E是邊A。的中點(diǎn)，砥交對(duì)角線4c于點(diǎn)P,那么

9.（2022秋?上海黃浦?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD.相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分別在BC、AO上,

AB//CD//EF,如果CE=6,E。=4,40=5,4F=6,那么AD=.

10.（2022秋?上海奉賢?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形人8c。中，AD//BC//EF,如果

則的長(zhǎng)足

11.（2022秋?上海寶山?九年級(jí)統(tǒng)考期中）在SBC中，點(diǎn)。、E分別在直線A3、AC上，如果。石〃BC,

AC=2,4)=3,那么CE

12.（2022秋?上海浦東新?九年級(jí)統(tǒng)考期中）在58C中，點(diǎn)。、￡分別在邊/W、4c上，AD:AB=2:3,

AE=4,當(dāng)AC=.時(shí)，DE〃BC.

13.（2022秋?上海長(zhǎng)寧?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)。、尸在線段43上，點(diǎn)E、G在線段4C上,

DE//FG//BC,AD:DF:FB=2:3:4,如果EG=4,那么4c的長(zhǎng)為.

4F1

4（2。22秋?上海奉賢?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，己知AQ為乂8c角平分線，小〃3如果元=屋

AB=6,那么DE=

15.（2017秋?上海?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線a〃b〃c,直線。4與這三條平行線分別交于點(diǎn)AB,C和點(diǎn)

D,E,F.若AB：BC=1：2,DE=3,則的長(zhǎng)為.

16.（2022秋?上海青浦?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在梯形A8c。中，AD//BC,對(duì)角線AC、8。相較于點(diǎn)O,己知

△AZX）的面積為2,△“心的面積為4,那么AO:8C=

17.（2022秋?上海奉賢?九年級(jí)校考期中）如圖，四邊形A8CO中，AD//BC//EF,如果AE=3,AB=8,

C/）=10,則C尸的長(zhǎng)是.

18.（2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模）如圖AO〃8E〃B,已知A8=5,DE=6,4c=15,那么EF的長(zhǎng)等于

19.（2019秋?上海?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)。、尸在A3上，點(diǎn)E在邊4c上，&EFHDC,

ADAF八

麗=而.求證：QE//8C.

20.（2021秋?上海寶山?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線小〃、/3分別截直線"于點(diǎn)A、8、C,截直線/5于點(diǎn)

D、E、F,且乙佻外

（1）如果4B=3,BC=6,DE=4,求Ef的長(zhǎng)；

(2)如果OE：EF=2：3,AC=2S,求AB的長(zhǎng).

/5（4

/1

DA

A

E\/B

h

21.（2022秋?上海寶山?九年級(jí)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有

借鑒意義.

⑴如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈人8下的影子長(zhǎng)為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿

AB的高?度;

（2）如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿A8前\測(cè)得其影長(zhǎng)?！?米，再將木桿沿著4C方向移動(dòng)L8

米至OE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)。尸為3米，求燈桿A3的高度.

22.（2022秋?上海嘉定?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知A8〃CO,AC與8。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在線段8c上,

⑴求證：AB//EF；

(2)求48:即：CD.

23.（2022秋?上海楊浦?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)。、￡分別在的邊A3、AC上，DE//BC.如果

SAADE=2,S^BCE=7.5.求SMDE?

24.（2022秋?上海松江?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在財(cái)中，點(diǎn)。在人8上，點(diǎn)E在4C上，且。E〃8C,

AD=3,A4=4,AC=6,求七C.

25.（2022秋?上海奉賢?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知直線4〃4"4,直線AC和。尸被《、44所截.若

AB=3cm,BC=5cm，EF=4cm.

(1)求OE、。廠的長(zhǎng);

⑵如果A￡>=40cm,C"=80cm,求電的長(zhǎng).

26.(2022秋?上海徐匯?九年級(jí)?？计谥?如圖，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E是邊。＞上的一點(diǎn).

⑴當(dāng)小=2時(shí)，求點(diǎn)4到直線AE的距離；

⑵將正方形A8C。沿直線AE翻折后，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)屏，連接8交正方形A8CQ的一邊于點(diǎn)A如I果

AF=CE,求AF的長(zhǎng).

第03講三角形一邊的平行線

【知識(shí)梳理】

1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

AnAP

如圖，已知AA8C,直線〃/8C,且與AB、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,那么一=—.

DBEC

2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

如圖，點(diǎn)。、石分別在AA8C的邊44、AC上,

DEAD

DnEm///BaC,那到“么==AE.

BCABAC

3、三角形的重心

定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.

4、三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

5、三角形一邊的平行線判定定理推論

如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直

線平行于三角形的第三邊.

AnAp

如圖，在A48C中，直線/與44、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)￡,如果——=——那么/〃3c.

DBEC

6、平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖，直線/"兒/兒，直線〃，與直線〃被直線4、所截，那么竺=空.

FBGC

7、平行線等分線段定理

兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等.

【考點(diǎn)剖析】

一.三角形的重心（共13小題）

1.（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）

A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

B.三角形三條中線的交點(diǎn)

C.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

D.三角形三條高的交點(diǎn)

【分析】根據(jù)三角形的重心概念作出回答，結(jié)合選項(xiàng)得出結(jié)果.

【解答】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的重心的概念.三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)；三角形的內(nèi)心是三角形

的三條角平分線的交點(diǎn).

2.（2023?奉賢區(qū)一模）在中，AO是8C邊上的中線，G是重心.如果40=6,那么線段OG的長(zhǎng)是2.

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，直接求得結(jié)果.

【解答】解：???三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，

：-DG---AG-2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心，熟知心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?楊浦區(qū)期木）如圖，△八/SC中，NZMC=90°,點(diǎn)G是△?!"’的重心，如果AG=4,那么4c的長(zhǎng)為

12.

【分析】延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)Q,杈據(jù)重心的性質(zhì)可知點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，且4G=2OG=4,則AD=6,再根據(jù)

直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

【解答】解:如圖，延長(zhǎng)AG交8c于點(diǎn)。.

???點(diǎn)G是△A8C的重心，AG=4,

???點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，且AG=2OG=4,

???OG=2,

：.AD=AG+DG=6,

1△ABC中，N8AC=90°,AO是斜邊的中線，

：.BC=2AD=\2.

故答案為12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重

心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.同時(shí)考查了直角三角形的性質(zhì).

4.（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在RtZXABC中，NC=9D°,點(diǎn)G是△45。的重心，GELAC,垂足為

E,如果CB=10,則線段GE的長(zhǎng)為（）

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心，根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)以及重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)

的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2：1,可知點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，至上，根據(jù)GE_LAC,可得NA￡G=

GD1

90°,進(jìn)而證得△AEGSAA。。，從而得到毀“，代入數(shù)值即可求解.

CDAD

【解答】解：如圖，連接AG并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)Q.

???點(diǎn)G是△ABC的重心，

???點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，也上,

GD1

VCB=1(),

?'CD=BD聿C=5，

?：GE±ACt

???NAEG=90°,

VZC=90°,

AZ4EG=ZC=90°,

?：ZEAG=ZCAD(公共角)，

/.叢AEGs4ACD,

?EGAG

??—'9

CDAD

..AG__2

,GDT

?AG2

AD3

?.?EG二AG一二一2,

5AD3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的定義及其性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△A8C的重心，那么S“CG：SAABC等于（)

A

【分析】連接AG延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)D,由G是重心可得。是BC的中點(diǎn)，所以S/..A肘）=S/\ACQ,S/\BG=Saax;,又

由重心定理可4G=2G。，則2s△8G/）=5,58G,進(jìn)而得到3s△BQG=S,MHC,即可求解.

【解答】解：連接AG延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)￡>,

???G是△人BC的重心，

是4c的中點(diǎn)，

:?S&ABD=S&ACD，SABDG=SKDG,

-：AG=2GD,

?*.2s△BDG=S&ABG，

:.3s△BGD=S/、ABD,

.*.35ZXWDG=S/4BC?

：?SABDG：S^ABC=1：3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理.，利用等底、等高三角形面積的特點(diǎn)求解是解題的關(guān)

鍵.

6.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，G是△/WC的重心，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)CG交A8于點(diǎn)E,P、。分

別是△4CE和△8C。的重心，BC長(zhǎng)為6,則為。的長(zhǎng)為1.

【分析】連接。E，由G是△ABC的重心，可證。E是△ABC的中位線，從而可求出。E的長(zhǎng).延長(zhǎng)EP交8c

于F點(diǎn)，連接DF,利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP=2PF,DQ=2QF,再證明△尸PQs△尸f。得到

品嗡《即可?

【解答】解：連接延長(zhǎng)EP交8c于尸點(diǎn)，連接。F,如圖,

?；G是△ABC的重心,

:?D、E分別是AB、4C的中點(diǎn),

???QE是的中位線，

???DE】BC=3?

乙

???0點(diǎn)是的重心，

???”點(diǎn)為8c的中點(diǎn)，EP=2PF,

???Q點(diǎn)是△BC。的重心,

二點(diǎn)。在中線。F上，DQ=2QF,

:ZPQS4FED,

?

??PQ，=FP'=?1-9

EDFE3

：?PQ=4ED=P

O

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì).三角形的重心是三角形三邊中

線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

7.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在RiZVlBC中，Z5=90°,NR4C=30°,BC=1,以AC為邊在△ABC外作等邊4

ACD,設(shè)點(diǎn)￡、尸分別是△A8C和△ACO的重心，則兩重心￡與尸之間的距離是_近_.

3

【分析】取AC中點(diǎn)O,連接。8、OD、BD、EF.根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC=28C=2,利川

勾股定理得出A8=?,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CO=AQ=AC=2,ZCAD=60a,那么NBAO=NBAC+

ZCAD=90°,利用勾股定理求出BOU“？.然后證明△EOf's/^80。，得出后尸=工8D=近.

33

【解答】解：如圖，取AC中點(diǎn)。連接03、0D.BD、EF.

在RtZ\ABC中，N8=90°,ZBXC=30°,BC=\,

2=2=

?'.AC=2BC=2tAB=VAC-BC^^2-1^,

???△AC。是等邊三角形，

：.CD=AD=AC=2,

/.ZCAD=60o,

.??N84O=NBAC+NCAO=90°,

??BD=JAB2+AD2=YS+4=V7?

,1點(diǎn).E、F分別是△A6C和△ACO的重心，

.OE=OF=1

**0BOD3,

又/EOF=/BOD,

：,4EOFs叢BOD,

?EFOEOF1

**BD=OB=OD=

.?.EF=2BQ=近.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形重

心的定義與性質(zhì)，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：I是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?黃?浦區(qū)月考）已知點(diǎn)G是△A3C的重心，那么&ABG：SABC=1：3.

【分析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1,由

此即可計(jì)算.

【解答】解：延長(zhǎng)AG交8C于。，

:,BD=CD,AG：DG=2：1,

???AG：40=2：3,

:.S&ABG：S^ABD=2：3,

S^ABDzSL.ABC=\：2,

S^ABG:S^ABC=1:3.

故答案為：1：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).

9.（2023?金山區(qū)一模）如圖，AABC為等腰直角三角形，/A=90：4B=6,Gi為的重心，E為線段

上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰口△（7/%（點(diǎn)。在直線BC的上方），S為RtZXCOE的重心，設(shè)Gi、S兩

點(diǎn)的距離為d,那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中d的取值范圍是OWdwVIU.

【分析】分別求出〃的最小值和最大值，即可得到d的取值范圍.

【解答】解：當(dāng)E與B重合時(shí)，G與G2重合，此時(shí)"最小為0,

當(dāng)E與人重合時(shí)，G1G2最大，連接并延長(zhǎng)AG1交于，，連接并延長(zhǎng)。G2交AC于K,連接“K,過(guò)G2作

VGi為等腰直角三角形ABC的重心,

???”為8c中點(diǎn)，

???NA/78=NA”C=90°,

:.4ABH和△AC"是等腰直角三角形,

???BH=CH=AH=^=3^2,

,：AG\=2G\Hf

：.AG\=2^2,G\H=近,

VG2是為等腰RtACDE的重心，

???K為AC中點(diǎn)，

；?4AKD=NCKD=90°,NAKH=NCKH=90°,

???NAKO+/AK〃=I80°,

???￡>,K,一共線,

'：AK=CK=DK=^AC=—AB=3=HK,

22

:.G?K=LDK=1,G1D=DK-G2K=2,

3

:?G2H=G2K+HK=4,

*：TG2//ED,

?TG2_TH_HG2_4-2即TG2_TH_2

ADAHHD4+233723723

:.TGi=2?,TH=2限,

:.TG\=TH-GiH=近,

***GQ=JTG12+TG22=，

:.G\G2最大值為,

AGIG2的范圍是OWG1G2W413,

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).

SAAG.G,

10.（2D23?松江區(qū)一模）己知△A8C,戶是邊8。上一點(diǎn)，△秒13、△以C的重心分別為Gi、Gi,那么一^——

SAABC

的值為2.

-9-

【分析】由重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1,得到△AGIQS/XA。&推出

△4G1G2的面積：△4OE的面積=4：9,而的面積=2義ZVIBC的面積，即可解決問(wèn)題.

2

【解答】解：延長(zhǎng)4G1交P8于。，延長(zhǎng)AG2交PC于E,

’:叢PAB、△E4C的重心分別為Gi、G2,

：.AG\：AD=AG2：AE=2：3,。是PB中點(diǎn)，E是尸C中點(diǎn),

VZGiAG2=ZDAt,

，zMGiG2sZUOE,

???△4G1G2的面積：△4OE的面積=4：9,

???。是PB中點(diǎn)，E是尸C中點(diǎn)，

A^ADE的面積的面積，

2

S

AAGtG.o

A——」的值為3.

'△ABC9

故答案為：1.

9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).

11.（2。22秋?徐匯區(qū)期中）已知點(diǎn)G是等腰直角三角形A8C的重心，AC=BC=6,那么AG的長(zhǎng)為」函

【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍解答即可.

【解答】解：:G是等腰直角AA6c的重心，AC=6C=6,

.?.8=28c=3,

2

由公股定理得：4。=而奇=3遙,

：.AG=—X375=275,

3

故答案為：275.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的矩離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)

鍵.

12.（2。18?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）G為重心，OE過(guò)重心，SMBC=1,求的最值，并證明結(jié)論.

【分析】設(shè)AQ=〃M8,AE=nAC,由G為△A8C重心得工十工=3,再由當(dāng)2=工=3時(shí)，工??！有最大值9,

mnmn2mn4

則〃以有最小值且，而無(wú)論。、E任何移動(dòng)，加〃《工，即可求出S”城的最值.

9

【解答】解：*楨￡的最大值為工，最小值為3.

29

證明：假設(shè)△4BC面積為Si,△4DE面積為S2,

^AD=mAB,AE=nAC,

1G為△ART重心.

?"」=3,

mn

.\S2=-AD^AE^sinA=^^-nlAB?llAC^sh\A=mnS\,

22

當(dāng)［=2=3時(shí)，工有最大值2,則〃甘?有最小值七，

mn2mn49

而無(wú)論。、E任何移動(dòng)，〃加《工，

2

??.&IWS2W4,

92

???5以"的最大值為《，最小值為2.

29

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)G為△48C重心得到工」

mn

13.（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作E尸〃8C,分別交A3、4c于點(diǎn)E、凡且

EF+BC=72cm,求BC的長(zhǎng).

【分析】如果連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)P,由三角形的重心的性質(zhì)可知AG=2G尸，則AG：AP=2：3.又EF

//BC,根據(jù)相似三角形的判定可知△AG”sZMPC,得出AF：AC=2：3,最后由EF//BC,得出

從而求出BC=AF：AC=2t3,結(jié)合E"+8C=7.2cm來(lái)求BC的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖，連接4G并延長(zhǎng)，交8c于點(diǎn)P.

?.?。為4人以：的重心，

：.AG=2GP,

：.AGzAP=2：3,

???￡/過(guò)點(diǎn)6且￡“〃8。，

???△AG尸s/\APC,

?MF：AC=AG：AP=2：3.

又

:.XkEfsXkBC,

.EF=AF=_2

**BCAC~3'

又EF+BC=1.2cm,

8c=4.32c〃?.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì).三角形三邊的中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)

叫做三角形的重心.重心到頂點(diǎn)的電離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍.平行于一:角形一邊的直線截其它兩邊，所

得三角形與原三角形相似.相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

二.平行線分線段成比例（共19小題）

14.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊48和BC上，40=2,。8=3,8c=10,要使。E〃

AC,那么BE必須等于6.

【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使。七〃AC,必須型M即可得

CEAD

出BE的長(zhǎng).

【解答】解：???在△"（?中，點(diǎn)0、E分別在邊協(xié)和8C上，4）=2,DB=3,8c=10,

???要使。E〃AC,

?BEDB

??,

CEAD

,BE_3

??lO-BEW

解得：BE=6.

故答案為：6.

B

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使。E〃AC,必須些M是解決

CEAD

問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知它們依次交直線“、力于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)8、D、F,如果

【分析】由可得出巫=雪，代入AC=3C￡,BF=\O,即可求出力”的長(zhǎng).

BFAE

【解答】解：???4B〃C￡）〃ER

.DF=CE

??麗AE*

即竺=—更—

103CE+CE

工。尸二苴.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)

鍵.

16.（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC±.,如果A。：80=1：3,那么下列條件中能判

斷Z）E〃BC的是（）

AAE1RAE1rAD1nDE1

AC4EC4AB4BC4

【分析】如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形

的第三邊，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：?.泡。：BD=\：3,

,AD1

??二一

AB4

蘭理時(shí),AD^AE

AC4

J.DE//BC,故4選項(xiàng)能夠判斷DE//BC；

而C,B,。選項(xiàng)不能判斷。石〃BC.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由平行線分線段成比例來(lái)判定兩條直線是平行線的問(wèn)題，能夠熟練掌握并運(yùn)用.

17.（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果點(diǎn)〃、G分別在中的邊。E和。尸上，那么不能判定〃環(huán)的比例式

是（）

A.DH：EH=DG：GFB.HG：EF=DH：DE

C.E