2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷一、填空題:（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.設(shè)集合則=_________【正確答案】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】集合則.故2.已知關(guān)于的二次不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)____________.（用集合或區(qū)間表示）【正確答案】或【分析】由題意可知的兩根分別為從而可得，代入求解即可.【詳解】解：由題意可知的兩根分別為，由韋達(dá)定理可得，所以不等式即為，即，解得或.所以原不等式的解集為：或.故或3.已知集合，若，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合集合的互異性分析求解.【詳解】因?yàn)?，且，則或，解得.故答案為.4.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是______．【正確答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出的值，再通過(guò)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱來(lái)確定的值.【詳解】由為冪函數(shù)，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于對(duì)稱，因此，故2.5.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸與的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，圖象開(kāi)口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為.6.若，則的值為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】弦化切，代入即可.【詳解】故答案：7.正實(shí)數(shù)a、b，若a與b的幾何平均值為2，那么a與4b的算術(shù)平均值的最小值為_(kāi)_______．【正確答案】4【分析】根據(jù)幾何平均數(shù)求出，再利用基本不等式“積定，和最小”求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故4．8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則______.【正確答案】【分析】由題意可得且，直接計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，所以.故9.寫(xiě)出使得函數(shù)的值域?yàn)榈囊粋€(gè)定義域_________．【正確答案】（答案不唯一）【分析】求出當(dāng)和2時(shí)所對(duì)應(yīng)值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由得，即，得，由得，即或，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可舉例定義域?yàn)?故答案為.10.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是____________.【正確答案】【分析】求定義域，求導(dǎo)，依題得到在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由根的判別式和韋達(dá)定理得到不等式組，求得，化簡(jiǎn)并計(jì)算得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，即可推得所求式的范圍.【詳解】由，可得由題意得方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故Δ=4?8a>0x1又.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍是.故答案為.11.設(shè)，若時(shí)，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)____【正確答案】【分析】可得時(shí)，不等式不恒成立，當(dāng)，必定是方程的一個(gè)正根，由此可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由于的圖象開(kāi)口向上，則不恒成立，當(dāng)時(shí)，由可解得，而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且異號(hào)，所以，必定是方程的一個(gè)正根，則，，則可解得，故實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是先判斷，再得出當(dāng)，必定是方程的一個(gè)正根.12.已知方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足，且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】方法一可以化為．令，易得?x為偶函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．若，則．令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，列出不等式組即可．方法二：由，得．令，易得均為奇函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)得到的單調(diào)性，根據(jù)直線過(guò)特殊點(diǎn)時(shí)的值即可得到的取值范圍．方法三：．令，作圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．【詳解】方法一．令，則．所以?x為偶函數(shù)．所以只需考慮時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)即可．當(dāng)時(shí)，令，得．令，則．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，0，所以上單調(diào)遞減．因?yàn)樵趨^(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，即．所以的取值范圍為．方法二：．令，則，所以為奇函數(shù)．因?yàn)橐彩瞧婧瘮?shù)，所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．易知，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，所以在0,1上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，所以在1,+∞當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，．因?yàn)榕c?x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，所以的取值范圍為．方法三：由，得．令，兩函數(shù)均為偶函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，?x與φx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一整數(shù)．如圖，作的部分圖象，根據(jù)圖象易得，所以解得，所以取值范圍為．故方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．（3）將函數(shù)的化為的形式，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為y=fx與y=gx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.二、選擇題：（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可先得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知.故選：B14.已知，使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.【詳解】對(duì)于A，，A不是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，得，B不是；對(duì)于C，，可能有，如，C不是；對(duì)于D，由，得，則；若，則，D是.故選：D15.已知三次函數(shù)的圖象如圖，則不正確的是（）A.B.C.的解集為D.若，則【正確答案】D【分析】由圖象初步確定三次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式分析函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù)，可設(shè)，.由圖可知：；.所以設(shè)，.所以，由，.所以，，又當(dāng)x∈?1,1時(shí)，f'x對(duì)A:,，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，而，所以成立，故B正確；對(duì)C：，因?yàn)?，所以或，所以：不等式的解集為，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，由，所以，所以，所以，?故D錯(cuò)誤.故選：D.16.已知集合，對(duì)于集合中的任意元素和，記.若集合，，均滿足，則中元素個(gè)數(shù)最多為（）A.10 B.11 C.1023 D.1024【正確答案】B【分析】分析可得當(dāng)和同時(shí)為時(shí)，，當(dāng)和至少有一個(gè)為時(shí)，，要使，則的所有元素的位置至多有個(gè)，討論即可得到集合的元素個(gè)數(shù)的最值．【詳解】依題意，對(duì)于中元素和，當(dāng)和同時(shí)為時(shí)，，當(dāng)和至少有一個(gè)為時(shí)，，要使得的一個(gè)子集中任兩個(gè)不同元素、，均滿足，設(shè)集合中的元素記為，則的所有元素的位置至多有個(gè)，若位置為，其它位置為的元素有個(gè)，若全為的有個(gè)，綜上中元素最多有個(gè)．故選：B．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分析出的所有元素的位置至多有個(gè)，從而確定中元素個(gè)數(shù)的最大值.三、解答題:（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.已知，為第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)結(jié)合已知得出，即可根據(jù)二倍角的正弦公式代入數(shù)值得出答案；（2）根據(jù)兩角和差的余弦公式代入數(shù)值得出答案.【小問(wèn)1詳解】，為第二象限角，，則；【小問(wèn)2詳解】.18.已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在上嚴(yán)格增；（2）若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式的解集.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出值，再求出方程的解，分別利用函數(shù)在和上的單調(diào)性即可求得不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】因，任取，且，由，因，則，，故，即.故函數(shù)在上嚴(yán)格增；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為奇函數(shù)，則，所以．所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集為.19.問(wèn)題：正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即且時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問(wèn)題：（1）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值；（2）若實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，求證：；（3）求代數(shù)式的最小值，并求出使得M最小的m的值.【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）時(shí)，取得最小值．【分析】（1）利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；（2）利用已知，，然后由基本不等式進(jìn)行放縮：，再利用不等式的性質(zhì)得出大?。⒌贸龅忍?hào)成立的條件．（3）令，，構(gòu)造，即以，即，然后利用（2）的結(jié)論可得．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．【小問(wèn)2詳解】，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且同號(hào)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)滿足.【小問(wèn)3詳解】令，，由得，，又，所以，構(gòu)造，由，可得，因此，由（2）知，取等號(hào)時(shí)，且同正，結(jié)合，解得，即，．所以時(shí)，取得最小值．本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關(guān)鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關(guān)系，同時(shí)考查新知識(shí)（新結(jié)論）的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新性思維要求較高，本題屬于難題．20.已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）或，（3）.【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式即可求解，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有且僅有一正根.即可利用二次型函數(shù)的性質(zhì)分類求解，（3）利用單調(diào)性的定義即可求解函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性求解最值，將問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，所以得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】方程，即，即.∴，化為：，方程的解集中有且只有一個(gè)元素，等價(jià)于有且僅有一正根.（1）若，化為，解得，符合題意；（2）若，此時(shí).①令，得，解得，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解，設(shè)為，.則，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有一正、一負(fù)根，符合題意.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程有兩個(gè)正根，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或，【小問(wèn)3詳解】.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，，所?所以，所以，所以.所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，.即：，即：，因?yàn)?，，整理得：，?因時(shí)，存在，故只需.因?yàn)?，?duì)稱軸方程，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.方法點(diǎn)睛：處理多變量函數(shù)最值問(wèn)題的方法有：（1）消元法：把多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化單變量問(wèn)題，消元時(shí)可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時(shí)可以利用基本不等式來(lái)處理，用這個(gè)方法時(shí)要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.21.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，）【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明見(jiàn)解析（3）2【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫(xiě)出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；（3）分別寫(xiě)出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)x∈0,+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，切線的斜率為，則切