2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明單元質(zhì)量評(píng)估習(xí)題含解析北師大版選修1-2

第三章單元質(zhì)量評(píng)估本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)答題表題號(hào)123456789101112答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．歸納推理與類比推理的相像之處是()A．都是從一般到一般B．都是從一般到特別函數(shù)C．都是從特別到特別D．都不肯定正確2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<33．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根B．方程x2＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根4．視察按下列依次排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)個(gè)等式應(yīng)為()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－10D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－105．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論()①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行；②垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行．A．①② B．②③C．③④ D．①④6．視察下圖的規(guī)律，在其下面一行的空格內(nèi)畫上合適的圖形，應(yīng)是()A．△★○◆ B．○◆△★C．○★△◆ D．

●☆▲7．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃耀所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃耀，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()8.如圖，圓周上按順時(shí)針?lè)较驑?biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)點(diǎn)．一只青蛙從1點(diǎn)起先按順時(shí)針?lè)较蚶@圓從一個(gè)點(diǎn)跳到另一點(diǎn)．若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次只能跳一個(gè)點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上，則下一次跳兩個(gè)點(diǎn)．該青蛙從5這點(diǎn)跳起，經(jīng)2015次跳后它將停在的點(diǎn)是()A．1 B．2C．3 D．4答案1．D歸納推理和類比推理都是合情推理，但是不肯定正確．2．B由n∈N＋，n>1知n的第一個(gè)值為2，此時(shí)不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)<2，故選B.3．B“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根”，故選B.4．B由所給的等式可以依據(jù)規(guī)律猜想得9(n－1)＋n＝10(n－1)＋1＝10n－9.5．D明顯①④正確．②中空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線可能平行，可能相交，也可能異面；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故D正確．6．B每行每列元素不同，且白黑相間．7．A該五角星對(duì)角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針?lè)较蛄烈槐K，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A.8．B記an表示青蛙第n次跳后所在的點(diǎn)數(shù)，則a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，明顯{an}是一個(gè)周期為3的數(shù)列，故a2015＝a2＝2.————————————————————————————

9.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿意：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是()A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立10．將正偶數(shù)按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224……則2014在()A．第251行，第2列B．第251行，第3列C．第252行，第2列D．第252行，第3列11．如圖甲，在平行四邊形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝()A．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))C．2(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))D．4(AB2＋AD2)12．(2024·北京卷)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)競(jìng)賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段．下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成果，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a－1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則()A．2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B．5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C．8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D．9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)13．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為________．14．(2024·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是15．視察以下不等式：1>eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)；…由此揣測(cè)第n個(gè)不等式為________．16．一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿意如下校驗(yàn)方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，))其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于________．答案9．D題設(shè)中“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．事實(shí)上是給出了一個(gè)遞推關(guān)系，從數(shù)學(xué)歸納法來(lái)考慮，因?yàn)閒(4)≥25成立，所以f(4)≥16成立，即k的基礎(chǔ)值為4，所以選項(xiàng)A、B、C都錯(cuò)誤，故選D.10．D由2014為偶數(shù)中從2數(shù)第1007個(gè)數(shù)，又?jǐn)?shù)表中每行4個(gè)，4×251＝1004，則2014為第252行第3個(gè)數(shù)．故選D.11．A已知平面上平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于從同一頂點(diǎn)動(dòng)身的兩條邊的平方和的2倍，利用類比推理可知，空間中，平行六面體的體對(duì)角線的平方和等于從同一頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱的平方和的4倍．12．B由數(shù)據(jù)可知，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的8人為1～8號(hào)，所以進(jìn)入30秒跳繩決賽的6人從1～8號(hào)里產(chǎn)生．?dāng)?shù)據(jù)排序后可知3號(hào)，6號(hào)，7號(hào)必定進(jìn)入30秒跳繩決賽，則得分為63，a,60,63，a－1的5人中有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽．若1號(hào)，5號(hào)學(xué)生未進(jìn)入30秒跳繩決賽，則4號(hào)學(xué)生就會(huì)進(jìn)入決賽，與事實(shí)沖突，所以1號(hào)，5號(hào)學(xué)生必進(jìn)入30秒跳繩決賽．故選B.13．1∶8解析：由類比思想，面積比是邊長(zhǎng)比的平方，體積比是棱長(zhǎng)比的立方．14．1和3解析：為便利說(shuō)明，不妨將分別寫有1和2,1和3,2和3的卡片記為A，B，C.從丙動(dòng)身，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無(wú)論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C，最終由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時(shí)丙所拿的卡片為A.15．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)解析：由所給的不等式可以歸納得到1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).16．5解析：若1≤k≤3，則x4＝1，x5＝1，x6＝0，x7＝1，不滿意x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0；若k＝4，則二元碼為1100101，不滿意x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0；若k＝5，則二元碼為1101001，滿意方程組，故k＝5.————————————————————————————三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)證明：eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)<2.18．(12分)已知a≠0，證明：關(guān)于x的方程ax＝b有且只有一個(gè)根．19．(12分)如圖，已知平面α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，且cα，c∥a，求證：b，c為異面直線．20．(12分)(2024·浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋eq\f(1,1＋x)，x∈[0,1]．證明：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).答案17．證明：方法1：(分析法)要證eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)<2，只需證log1930<log19192，即證30<192，又30<192恒成立，∴原不等式成立．方法2：(綜合法)eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)＝log195＋log193＋log192＝log1930<log19192＝2.18．證明：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x＝eq\f(b,a).假如方程不是只有一個(gè)根，不妨設(shè)x1，x2是它的兩個(gè)不同根，即ax1＝b，ax2＝b，∴a(x1－x2)＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴應(yīng)有a＝0，這與已知相沖突，故假設(shè)不成立．∴當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax＝b有且只有一個(gè)根．19．證明：假設(shè)b、c不是異面直線，即b、c為共面直線，則b、c為相交直線或平行直線．(1)若b∩c＝P，已知bβ，cα，又α∩β＝a，則P∈b(bβ)，且P∈c(cα)，從而，交點(diǎn)P肯定在平面α、β的交線上，即P∈a，于是a∩c＝P，這與已知條件a∥c沖突．因此b、c相交不成立．(2)若b∥c，已知a∥c，則a∥b，這與已知條件a∩b＝A沖突，因此b、c平行也不能成立．綜合(1)(2)可知b、c為異面直線．20．證明：(1)因?yàn)?－x＋x2－x3＝eq\f(1－－x4,1－－x)＝eq\f(1－x4,1＋x)，由于x∈[0,1]，有eq\f(1－x4,1＋x)≤eq\f(1,x＋1)，即1－x＋x2－x3≤eq\f(1,x＋1)，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋eq\f(1,x＋1)≤x＋eq\f(1,x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(x－12x＋1,2x＋1)＋eq\f(3,2)≤eq\f(3,2)，所以f(x)≤eq\f(3,2).由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，又因?yàn)閒(eq\f(1,2))＝eq\f(19,24)>eq\f(3,4)，所以f(x)>eq\f(3,4).綜上，eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).————————————————————————————

21.(12分)閱讀下列材料：依據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③，得sinA＋sinB＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A－B,2).(1)類比上述推證方法，依據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2)；(2)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿意cos2A－cos2B＝2sin2C，試推斷△22．(12分)(2024·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.

答案21.解：(1)證明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②，得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③，得cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2).(2)解法1：cos2A－cos2B＝2sin2C，可化為1－2sin2A－1＋2sin2B即sin2A＋sin2C＝sin2設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.依據(jù)勾股定理的逆定理