2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

.4平面對量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標(biāo)練1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC中點,則cos∠BDC=()A.- B. C.0 D.解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC為的夾角,∴cos∠BDC=.答案B2.兩個大小相等的共點力F1,F2,當(dāng)它們的夾角為90°時,合力的大小為20N,則當(dāng)它們的夾角為120°時,合力的大小為()A.40N B.10NC.20N D.N解析對于兩個大小相等的共點力F1,F2,當(dāng)它們的夾角為90°,合力的大小為20N時,由三角形法則可知,這兩個力的大小都是10N;當(dāng)它們的夾角為120°時,由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形,因此合力的大小為10N.答案B3.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?則小船在靜水中的速度大小為()A.10m/s B.2m/sC.4m/s D.12m/s解析由題意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意圖如圖.∴|v|==2(m/s).答案B4.(多選題)已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點,若=0,則下列結(jié)論錯誤的是()A.四邊形ABCD為正方形,點O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的對角線交點C.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的外接圓的圓心D.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點解析由=0知,=-().設(shè)AB,CD的中點分別為E,F,由向量加法的平行四邊形法則,知=0,O是EF的中點;同理,設(shè)AD,BC的中點分別為M,N,則O是MN的中點,所以O(shè)是EF,MN的交點.答案ABC5.已知A(3,2),B(-1,-1),若點P在線段AB的中垂線上,則x=.

解析設(shè)AB的中點為M,則M=(x-1,-1),由題意可知=(-4,-3),,則=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.答案6.一個物體在大小為10N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50m,且力F所做的功W=250J,則F與s的夾角等于.

解析設(shè)F與s的夾角為θ,由W=F·s,得250=10×50×cosθ,∴cosθ=.又θ∈[0,π],∴θ=.答案7.如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.證明=()·()====-|2+|2.因為CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.8.某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛,感覺到風(fēng)從正南方向吹來,而當(dāng)其速度變?yōu)?0km/h時,他又感覺到風(fēng)從西南方向吹來,求實際風(fēng)速的大小和方向.解設(shè)v1表示20km/h的速度,在無風(fēng)時,此人感覺到的風(fēng)速為-v1,實際的風(fēng)速為v,那么此人所感覺到的風(fēng)速為v+(-v1)=v-v1.如圖,令=-v1,=-2v1,實際風(fēng)速為v.∵,∴=v-v1.這就是騎車人感覺到的從正南方向吹來的風(fēng)的速度.∵,∴=v-2v1.這就是當(dāng)車的速度為40km/h時,騎車人感覺到的風(fēng)速.由題意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA為等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=BC.∴|v|=20km/h.∴實際風(fēng)速的大小是20km/h,為東南風(fēng).實力提升練1.已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3+4+5=0,則的值為()A.- B. C.- D.解析因為3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因為A,B,C在圓上,所以||=||=||=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.答案A2.(2024武漢檢測)O是平面ABC內(nèi)的肯定點,P是平面ABC內(nèi)的一動點,若()·()=()·()=0,則O為△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心解析因為()·()=0,則()·()=0,所以=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O(shè)為△ABC的外心.答案B3.(多選題)如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列四個選項中,其中正確的是()A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變解析設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,繩AB與水平方向夾角為θ0<θ<,則|F|cosθ=|f|,∴|F|=.∵θ增大,cosθ減小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力減小.答案AC4.一條漁船距對岸4km,以2km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達對岸時,船的實際行程為8km,則河水的流速是km/h.

解析如圖,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,則v=v1+v2為船的實際航行速度.由圖知,||=4,||=8,則∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=2.即河水的流速是2km/h.答案25.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明如圖,以B為原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,2),C(2,0),則D(1,0),=(2,-2).設(shè)=λ,則=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由題設(shè),所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.所以.又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.6.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有動點P從P0(-1,2)起先,沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|e1+e2|;另一動點Q從Q0(-2,-1)起先,沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|3e1+2e2|.設(shè)P,Q在t=0s時分別在P0,Q0處,當(dāng)時所需的時間t為多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其單位向量為;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其單位向量為.依題意知,||=t,||=t,∴=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即當(dāng)時所需的時間為2s.素養(yǎng)培優(yōu)練如圖所示,若D是△ABC內(nèi)的一點,且AB2-AC2=DB2-DC2,求證:AD⊥BC