專題05 一次方程（組）及其應(yīng)用（講義）

第05講一次方程（組）及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì) 3題型01利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤 3題型02利用等式的性質(zhì)求解 3考點(diǎn)二一元一次方程 5題型01判斷一元一次方程 5題型02解一元一次方程 6題型03一元一次方程的特殊解題技巧 7題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問題 10考點(diǎn)三二元一次方程（組） 12題型01二元一次方程（組）的概念 12題型02解二元一次方程組 13題型03二元一次方程組特殊解法 13題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解二元一次方程組問題 17題型05構(gòu)造二元一次方程組求解 19題型06解三元一次方程組 19考點(diǎn)四一次方程（組）的應(yīng)用 21題型01利用一元一次方程解決實(shí)際問題 22題型02利用二元一次方程解決實(shí)際問題 29

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)等式的基本性質(zhì)理解等式的基本性質(zhì)一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數(shù)學(xué)中因?yàn)槲粗獢?shù)的最高次數(shù)都是一次，且都是整式方程,所以統(tǒng)稱為“一次方程”.中考中，對(duì)于這兩個(gè)方程的解法及其應(yīng)用一直都有考察，其中對(duì)于兩個(gè)方程的解法以及注意事項(xiàng)是必須掌握的，而在其應(yīng)用上也是中考代數(shù)部分結(jié)合型較強(qiáng)的一類考點(diǎn).預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．一元一次方程能解一元一次方程二元一次方程（組）掌握消元法，能解二元一次方程組能解簡單的三元一次方程組[選學(xué)]一次方程（組）的應(yīng)用利用一次方程求解實(shí)際問題

考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)易混易錯(cuò)：1.利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，等式兩邊都要參加運(yùn)算，而且是同一種運(yùn)算.2.運(yùn)用等式的性質(zhì)2時(shí)，等式兩邊不能同時(shí)除以0，因?yàn)?不能作除數(shù)或分母.題型01利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【變式1-1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列等式變形正確的是（

）A．若x=y，則xz=yz C．若x2=4x，則x=4 D．若a【變式1-2】（2023滄州市二模）如果x＝y(tǒng)，那么根據(jù)等式的性質(zhì)下列變形正確的是（

）x＋y＝0 B．x5=5y方法技巧：利用等式的性質(zhì)對(duì)等式變形時(shí),應(yīng)分析變形前后式子發(fā)生了哪些變化,發(fā)生加減變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)1,發(fā)生乘除變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2.題型02利用等式的性質(zhì)求解【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質(zhì)量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質(zhì)量都相等．下列四個(gè)天平中只有一個(gè)天平?jīng)]有處于平衡狀態(tài)，則該天平是（

）A． B．C． D．【變式2-1】（2023·河北承德·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）能運(yùn)用等式的性質(zhì)說明如圖事實(shí)的是（）A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不為0）C．如果a?c=b?c，那么a=b（a，b，c均不為0）D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不為0）【變式2-2】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【變式2-3】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知20212022?20222021+x=0A．20222021+2021C．20222021?2021【變式2-4】（2023衡水市中考模擬）若等式m+a=n-b根據(jù)等式的性質(zhì)變形得到m=n，則a、b滿足的條件是（A．相等 B．互為倒數(shù) C．互為相反數(shù) D．無法確定

考點(diǎn)二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（x為未知數(shù)，a、b是常數(shù)且a≠0）解一元一次方程的基本步驟：易混易錯(cuò)：1.一元一次方程中未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).2.一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)都為1.3.解方程的五個(gè)步驟有些可能用不到，有些可能重復(fù)使用，也不一定有固定的順序，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用．4.對(duì)于分母中含有小數(shù)的一元一次方程．當(dāng)分母中含有一位小數(shù)時(shí)，含分母項(xiàng)的分子、分母都乘10，化分母中的小數(shù)為整數(shù)；當(dāng)分母中含有兩位小數(shù)時(shí)，含分母項(xiàng)的分子、分母都乘100，化分母中的小數(shù)為整數(shù)．題型01判斷一元一次方程【例1】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列各式：①?2+5=3；②3x?5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2021·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【變式1-2】（2023九江市一模）已知k?1xk+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則k【變式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是關(guān)于x的一元一次方程，則題型02解一元一次方程【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？家荒＃┤?x+12的值與x?7互為相反數(shù)，則xA．1 B．1310 C．3 D．【變式2-2】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項(xiàng)式?xyb與12xay3A．x=13 B．x=?13 C．【變式2-3】（2019·山東濟(jì)南·中考真題）代數(shù)式2x?13與代數(shù)式3?2x的和為4，則x=_____【變式2-4】（2023揚(yáng)州市三模）規(guī)定一種新的運(yùn)算：a?b=2?a?b，求2x?13?1+x【變式2-5】（2023·四川成都·二模）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2=b3=c【變式2-6】（2021·山東煙臺(tái)·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為____________．題型03一元一次方程的特殊解題技巧【類型一】分母含小數(shù)的一元一次方程技巧1巧化分母為1【例3】解方程：0.6x+0.5【變式3-1】解方程：0.3x技巧2巧化同分母【例4】解方程：x0.6技巧3巧約分去分母【例5】解方程：x?4【變式5-1】解方程：0.3x?1【類型二】分子、分母為整數(shù)的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：3x?1【變式6-1】解方程：x?12【變式6-2】解方程：x2【變式6-3】解方程：x2技巧2巧用對(duì)消法【例7】解方程：x3技巧3巧通分【例8】解方程：x+37【類型三】含括號(hào)的一元一次方程技巧1利用倒數(shù)關(guān)系去括號(hào)【例9】解方程：6【變式9-1】解方程：解方程3技巧2整體合并去括號(hào)【例10】解方程：x?1【變式10-1】解方程：x?1技巧3整體合并去分母【例11】解方程：13【變式11-1】解方程：14技巧4由外向內(nèi)去括號(hào)【例12】解方程：解方程：13技巧5由內(nèi)向外去括號(hào)【例13】解方程：24【變式13-1】解方程：41題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問題【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號(hào)，得3x+3?1=2x?2②移項(xiàng)，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項(xiàng)，得x=?4④以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程x?x?3解：兩邊同乘以3，得3x?x?3=3，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得2x=6，兩邊同除以2，得x=3，圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程．【變式14-2】（2023·湖南長沙·?？级＃┫旅媸切》f同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答問題．解方程：2x+1解：去分母，得22x+1去括號(hào)，得4x+2?5x+1=1……第二步移項(xiàng)，得4x?5x=1?1?2……第三步合并同類項(xiàng)，得?x=?2，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=2．……第五步(1)以上求解過程中，第三步的依據(jù)是_________．A．等式的基本性質(zhì)

B．不等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)

D．乘法分配律(2)從第_________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(3)該方程正確的解為____________【變式14-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：?6×(1)如果被污染的數(shù)字是12，請(qǐng)計(jì)算?6(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．【變式14-4】在做解方程練習(xí)時(shí)，有一個(gè)方程“y?15=2y+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個(gè)有理數(shù)，該方程的解與當(dāng)x＝2時(shí)整式5（x

考點(diǎn)三二元一次方程（組）易混易錯(cuò)1.二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個(gè)方程的解，但并不是說任意一對(duì)數(shù)值就是它的解.2.在二元一次方程中，給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個(gè)未知數(shù)的值.3.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對(duì)整個(gè)方程組而言的，組成方程組的各個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，這兩個(gè)一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個(gè)一次方程必須只含有兩個(gè)未知數(shù).4.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．題型01二元一次方程（組）的概念【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【變式1-1】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）若二元一次方程組x+y=23x?5y=4的解為x=ay=b，則a?b=【變式1-2】（2023蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是關(guān)于x，y題型02解二元一次方程組【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組3x+y=8【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3方法技巧：解二元一次方程組的方法選擇：1)當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或者-1時(shí)，選用代入消元法；2)當(dāng)方程組中某一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，選用代入消元法；3)當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，選用加減消元法；4)當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，選用加減消元法．題型03二元一次方程組特殊解法類型一引入?yún)?shù)法解題技巧：當(dāng)方程組中出現(xiàn)x/a=y/b的形式時(shí)，常考慮先用參數(shù)分別表示出x，y的值，然后將x，y的值代入另一個(gè)方程求出參數(shù)的值，最后將參數(shù)的值回代就能求出方程組的解.【例3】用代入法解方程組：x【變式3-1】用代入法解方程組：x類型二特殊消元法-方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對(duì)值相等解題技巧：觀察方程組1和2的系數(shù)特點(diǎn)，數(shù)值都比較大.如果用常規(guī)的代入法或加減法來解，不僅計(jì)算量大，而且容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.根據(jù)方程組中的兩個(gè)未知數(shù)的對(duì)應(yīng)系數(shù)之差的絕對(duì)值相等，先化簡，再用代入法或加減法求解，更為簡便.【例4】解方程組：2015x+2016y=2017①【變式4-1】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程：19x+18y=17解：①-②，2x+2y=2即x+y=1③③×16，得16x?16y=16④②-④，得x=把x=?1，代入③，得?1+y=1所以原方程組的解為：x=?1(1)請(qǐng)仿照上面的方法解方程組：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018(2)請(qǐng)猜想關(guān)于x，y的方程組(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b類型三特殊消元法-方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對(duì)值相等解題技巧：當(dāng)兩式相加時(shí)，x和y的系數(shù)相等，化簡即可得到x+y=a;當(dāng)兩式相減時(shí)，x和y的系數(shù)互為相反數(shù)，化簡即可得到-x+y=b.由此達(dá)到化簡方程組的目的.【例5】解方程組：13x+14y=40①【變式5-1】感悟思想：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x?y=5①，2x+3y=7②，求x?4y和7x+5y的值．思考：本題常規(guī)思路是將①②聯(lián)立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，有的問題用常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值．如①-②可得x?4y=?2①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．體會(huì)思想：(1)已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x?y=______，x+y=(2)解方程組：x+y=5(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？類型四換元法【例6】解方程組：1x【變式6-1】閱讀材料：善于思考的李同學(xué)在解方程組3m解：把m+5，n+3成一個(gè)整體，設(shè)m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程組2x?3y=45(2)仿照李同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組3x【變式6-2】數(shù)學(xué)方法：解方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13，若設(shè)2x+y=m，x?2y=n(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組am+n+b(2)知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組x+y2(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b求關(guān)于x，y的方程組2a類型五同解交換法解題技巧：先將兩個(gè)方程組中不含字母a、b的兩個(gè)方程聯(lián)立,求得方程組的解,然后由“方程組的解適合每一個(gè)方程”得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,進(jìn)而確定a、b的值.【例7】（2020·廣東·中考真題）已知關(guān)于x，y的方程組ax+23y=?103（1）求a，b的值；（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x【變式7-1】若關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+5y=?26ax?by=?4，和3x?5y=36(1)求這兩個(gè)方程組的解；(2)求代數(shù)式2a+b2022類型六主元法解題技巧：本題不能直接求出x，y，z的值，這時(shí)可以把其中一個(gè)未知數(shù)當(dāng)成一個(gè)常數(shù)，然后用含這個(gè)未知數(shù)的式子去表示另外兩個(gè)未知數(shù).【例8】已知4x?3y?3z=0x?3y?z=0（x，y，z均不為0），求xy+2yz【變式8-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)x,y,z滿足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．則x+3y2017x+2017y+2017z=題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解二元一次方程組問題【例9】在解方程組ax+5y=104x?by=?4時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，得到的解為x=?3y=?1，乙看錯(cuò)了方程組中的b，得到的解為x=?2y=8 B．x=15y=8 C．x=?2y=6方法技巧：解“看錯(cuò)系數(shù)”問題的方法看錯(cuò)方程組中某個(gè)方程的系數(shù),所得的解既是方程組中看錯(cuò)系數(shù)的方程的解，也是方程組中沒有看錯(cuò)系數(shù)的方程的解，把解代入沒有看錯(cuò)系數(shù)的方程中，構(gòu)建新的方程組,然后解方程組.【變式9-1】（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：x?2y=1第一步：由①得，x=2y+1③；第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5第三步：解得y=第四步：將y=1代入③，解得x=7第五步：所以原方程組的解為x=任務(wù)一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；任務(wù)二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是________．任務(wù)三：請(qǐng)寫出方程組正確的解答過程．【變式9-2】（2021·浙江嘉興·二模）解方程組：3x?2y=6①小海同學(xué)的解題過程如下：解：由②，得y=5+x③……（1）把③代入①，得：3x?2x+5=6……（2）解得：x=?1……（3）把x=?1代入③，得y=4……（4）∴此方程組的解為x=?1y=4判斷小海同學(xué)的解題過程是否正確，若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并給出正確的解題過程．題型05構(gòu)造二元一次方程組求解【例10】（2022·貴州黔東南·中考真題）若2x+y?52+x+2y+4=0，則【變式10-1】（2019·江蘇宿遷·中考真題）下面3個(gè)天平左盤中“△”“□”分別表示兩種質(zhì)量不同的物體，則第三個(gè)天平右盤中砝碼的質(zhì)量為_____．【變式10-2】（2022·湖南長沙·?？家荒＃┤绻麊雾?xiàng)式?3ax?2yb2與14【變式10-3】請(qǐng)你根據(jù)下圖中所給的內(nèi)容，完成下列各小題．我們定義一個(gè)關(guān)于非零常數(shù)a，b的新運(yùn)算，規(guī)定：a◎b=ax+by．例如：(1)如果x=?5，2◎4=?18，求(2)1◎1=8，4◎2=20，求題型06解三元一次方程組【例11】（2023·上海長寧·二模）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經(jīng)過點(diǎn)A（A．2 B．3 C．4 D．t【變式11-1】已知方程組x+2y=k2x+y=1A．10 B．8 C．2 D．－8【變式11-2】（2022·四川眉山·?？家荒＃┮阎篴ba+b=23，cac+a=34，

考點(diǎn)四一次方程（組）的應(yīng)用用方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問題的答案.與一次方程（組）有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：題型01利用一元一次方程解決實(shí)際問題類型一配套問題【例1】（2022濱州市二模）某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個(gè)螺釘或1000個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套．設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x【變式1-1】（2023哈爾濱市三模）某車間有27名工人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母組成的產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺母64個(gè)或螺栓22個(gè)．若分配x名工人生產(chǎn)螺栓，其它工人生產(chǎn)螺母，恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（

）A．22x=64(27?x) B．64x=22(27?x)C．2×22x=64(27?x) D．2×64x=22(27?x)【變式1-2】（2023西安尊德中學(xué)二模）制作一張方桌要用1個(gè)桌面和4條桌腿，若1m3木材可制作20個(gè)桌面或400條桌腿，現(xiàn)有12m3木材，要使生產(chǎn)出來的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求應(yīng)安排多少木材用來制作桌面．類型二工程問題【例2】（2022·遼寧阜新·一模）某工程甲單獨(dú)完成要25天，乙單獨(dú)完成要20天．若乙先單獨(dú)干10天，剩下的由甲單獨(dú)完成，設(shè)甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（

）A．x+1020+1025=1 B．1025【變式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某工人在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)做完一批零件，若每小時(shí)做10個(gè)就可以超額完成3個(gè)，若每小時(shí)做11個(gè)就可以提前1h完成，則這批零件一共有多少個(gè)？設(shè)這批零件一共有x個(gè)，則根據(jù)題意得到的正確方程是（

）A．x10?3=xC．x10+3【變式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批圖書，如果由一個(gè)人單獨(dú)做要用30h，現(xiàn)先安排一部分人用2h整理，隨后又增加5人和他們一起又做了類型三增長率問題【例3】（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）一種商品，先提價(jià)20%，再降價(jià)10%，這時(shí)的價(jià)格是2160元．則該商品原來的價(jià)格是（

）A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元【變式3-1】（2023蚌埠高新區(qū)模擬）受季節(jié)影響，某商品每件售價(jià)按原價(jià)降低a%再降價(jià)8元后的售價(jià)是100元，那么該商品每件的原售價(jià)可表示為（

）A．921?a% B．1081?a% C．類型四銷售利潤問題【例4】（2023寧波市一模）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺(tái)上一件商品標(biāo)價(jià)為200元，按標(biāo)價(jià)的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進(jìn)價(jià)為（

）A．120元 B．100元 C．80元 D．60元【變式4-1】（2023巴東縣模擬）一商店在某一時(shí)間以每件120元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買賣中，這家商店（）A．不盈不虧 B．盈利20元 C．虧損10元 D．虧損30元【變式4-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）某種商品進(jìn)價(jià)為200元，標(biāo)價(jià)為300元．現(xiàn)打折銷售，要使利潤率為5%類型五比賽積分問題【例5】（2023·湖南長沙·長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）全國青少年校園足球聯(lián)賽，是國內(nèi)歷史最久遠(yuǎn)、覆蓋范圍最廣的中學(xué)足球賽事，在小組賽中，每小組有4個(gè)隊(duì)，小組內(nèi)進(jìn)行單循環(huán)賽（兩支球隊(duì)間只比賽一場），已知?jiǎng)僖粓龇e3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分，小組賽結(jié)束后，積分前兩名（相同積分比較凈勝球）可以進(jìn)入下一輪比賽．如表是某次小組賽的積分表：排名球隊(duì)積分1甲62乙43丙44丁如果本小組比賽中只有一場戰(zhàn)平，根據(jù)此表，可以推斷丁隊(duì)的積分是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-1】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）在全國足球甲級(jí)A組的前11輪比賽中，某隊(duì)保持不敗，共積累23分．按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，那么該隊(duì)勝的場數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式5-2】（2022·陜西西安·西安市西光中學(xué)?？级＃橛行鋵?shí)雙減工作，切實(shí)做到減負(fù)提質(zhì)，很多學(xué)校高度重視學(xué)生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某隊(duì)在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊(duì)獲勝的場數(shù)。類型六方案選擇問題【例6】（2023·陜西西安·高新一中?？既＃〢、B兩家旅行社推出家庭旅游優(yōu)惠活動(dòng)，兩家旅行社的票價(jià)均為每人90元，但優(yōu)惠的辦法不同，A旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價(jià)優(yōu)惠；B旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家每人均按6折票價(jià)優(yōu)惠．請(qǐng)問當(dāng)家庭的人數(shù)是多少時(shí)，兩家旅行社的費(fèi)用相同？【變式6-1】（2023懷遠(yuǎn)縣二模）現(xiàn)需運(yùn)送一批貨物，有甲、乙兩種型號(hào)貨車可供選擇．兩種型號(hào)貨車出租價(jià)格如表：起步價(jià)/元限定里程/km超限定里程（元/km）甲108803乙1801002租用甲種型號(hào)貨車在限定里程80km內(nèi)，只需付起步價(jià)108元，超過限定里程的部分按3元/km收費(fèi)，租用乙種型號(hào)貨車在限定里程100km內(nèi)，只需支付起步價(jià)180元，超過限定里程的部分按2元/km收費(fèi)，設(shè)里程為x千米．（1）當(dāng)x＞100時(shí)，用x分別表示租用甲、乙兩種型號(hào)貨車的費(fèi)用；（2）當(dāng)里程為多少千米時(shí)，租用兩種型號(hào)的貨車費(fèi)用相等？類型七數(shù)字問題【例7】（2023·山東濱州·一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方（如圖1），將9個(gè)數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等，就得到一個(gè)廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數(shù)字和字母，若能構(gòu)成一個(gè)廣義的三階幻方，則mn=（A．1 B．2 C．3 D．0【變式7-1】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都是x，如果將個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字分別加2和1，所得的新數(shù)比原數(shù)大12，則可列的方程是（

）A．2x+3=12B．10x+2+3=12C．(10x+x)?10(x+1)?(x+2)=12D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12類型八日歷問題【例8】（2023增城區(qū)一模）在一張掛歷上，任意圈出同一列上的三個(gè)數(shù)的和不可能是()A．4 B．33 C．51 D．27【變式8-1】將連續(xù)的偶數(shù)2，4，6，8，…排成下圖所示，若將十字框上下左右移動(dòng)，可框住五個(gè)數(shù)，這五個(gè)數(shù)的和可能等于（

）A．123 B．115 C．240 D．400【變式8-2】（2023·河北廊坊·?？既＃?023年4月的日歷上圈出了相鄰的三個(gè)數(shù)a、b、c，并求出了它們的和為36，這三個(gè)數(shù)在日歷中的排布不可能是（

）A．

B．

C．

D．

類型九幾何問題【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示數(shù)a、b，且a、b互為相反數(shù)，若AB=8，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（

）

A．8 B．4 C．0 D．?4【變式9-1】（2023·廣西南寧·一模）學(xué)習(xí)《設(shè)計(jì)制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個(gè)矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個(gè)無蓋的長方體紙盒．紙片長為30cm，寬為18cm，AD=A．960cm3 B．800cm3 C．【變式9-2】如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個(gè)邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋長方體紙盒，若紙盒的體積是類型十和差倍分問題【例10】（2020·湖南張家界·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x人，可列方程（

）A．x+23=x2?9C．x3?2=x+92【變式10-1】（2022·江蘇蘇州·一模）我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齊足．”其大意是：牧童們?cè)跇湎履弥窀透吲d地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若設(shè)牧童有x人，根據(jù)題意可列方程為（

）A．6x+14=8x B．6x+14C．8x+14=6x D．8【變式10-2】（2022·江蘇宿遷·二模）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設(shè)銀子共有x兩，則可列方程為（

）A．7x+4=9x?8 B．7x?4=9x+8C．x+47=x?89【變式10-3】（2022·廣東·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學(xué)生人數(shù)和該書單價(jià)各是多少？類型十一行程問題【例11】（2023·湖北荊州·一模）野鴨從南海起飛，7天飛到北海；大雁從北海起飛，9天飛到南海．現(xiàn)野鴨與大雁分別從南海和北海同時(shí)起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)野鴨與大雁經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A．x7+x9=1 B．x7【變式11-1】（2023天水市一模）船在靜水中的速度為36千米/時(shí)，水流速度為4千米/時(shí)，從甲碼頭到乙碼頭再返回甲碼頭，共用了9小時(shí)（中途不停留），設(shè)甲、乙兩碼頭的距離為x千米，則下面所列方程正確的是（

）A．36+4x+36?49?xC．x36+x【變式11-2】（20223延邊州一模）我國元朝數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中記載了一道問題，大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？如果設(shè)快馬x天可以追上慢馬，那么根據(jù)題意可列方程為（

）A．240x=150x+12 B．C．240x?12=150x 【變式11-3】（2022·湖南常德·中考真題）小強(qiáng)的爸爸平常開車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了12【變式11-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）A、B兩地相距300千米，甲車從A地開往B地，乙車從B地開往A地．已知兩車同時(shí)出發(fā)，乙車的速度是甲車的1.5倍．(1)若2小時(shí)后兩車還未相遇，此時(shí)兩車相距100千米，求甲車的速度；(2)若乙車中途因故停留了75分鐘，從而與甲車同時(shí)到達(dá)目的地，求甲車的速度．題型02利用二元一次方程解決實(shí)際問題類型一配套問題【例12】（2023衢州市一模）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（

）A．5x+2y=1503x+6y=100 B．C．5x+3y=1502y+6x=100 D．【變式12-1】工廠需要用鐵皮制作包裝盒，每張鐵皮可制作盒身15個(gè)，或制作盒底20個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套包裝盒．現(xiàn)有40張鐵皮，設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成包裝盒，則下列方程組中符合題意的是（

）A．x+y=40y=2x B．C．x+y=402×15x=20y D．類型二方案選擇問題【例13】（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式13-1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，B種食品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【變式13-2】（2021·四川瀘州·中考真題）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸．（1）請(qǐng)問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸？（2）目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運(yùn)完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)400元．請(qǐng)你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少．類型三年齡問題【例14】（2021淮濱縣一模）甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么（

）A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲【變式14-1】（2021·江蘇無錫·一模）一天，小民去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，125歲了，哈哈！”請(qǐng)你寫出小民爺爺?shù)降资莀____歲．【變式14-2】（2022·安徽蕪湖·?？家荒＃┮阎资且椰F(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，求甲、乙現(xiàn)在的年齡的差．類型四幾何問題【例15】（2023·河北保定·二模）張師傅要制作一個(gè)無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）

A．60dm3 B．72dm3 C．【變式15-1】（2021·廣東深圳·校考一模）利用兩塊完全一樣的長方體木塊測(cè)量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度等于（

）A．60cm B．65cm C．70cm【變式15-2】（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

.369(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．類型五行程問題【例16】（2020·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙二人同時(shí)同地出發(fā)，都以不變的速度在300米環(huán)形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設(shè)甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（

）A．{x+y=300x?y=20 C．{20x+20y=300300x?300y=300 【變式16-1】（2023·浙江臺(tái)州·一模）作業(yè)本中有這樣一道題：“小明去郊游上午9時(shí)從家中出發(fā)，先走平路，然后登山，中午12時(shí)到達(dá)山頂，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3時(shí)到家．若他平路每小時(shí)走4km，登山每小時(shí)走3km，下山每小時(shí)走6km，求小明家到山頂?shù)穆烦蹋毙±畈榭唇獯饡r(shí)發(fā)現(xiàn)答案中的方程組中有污損，3a=6bA．3a+2b=12 B．a(chǎn)4+b3=3 【變式16-2】設(shè)甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當(dāng)乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉(zhuǎn)給甲車，然后甲車?yán)^續(xù)前行，乙車向原地返回．設(shè)x秒后兩車間的距離為y米，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則甲車的速度為

（

）A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒【變式16-3】（2023·黑龍江哈爾濱·一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時(shí)，乙車行駛3小時(shí)，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時(shí)，乙車行駛1小時(shí)，兩車也恰好相遇．(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時(shí)）是多少．(2)若甲乙兩車同時(shí)按原速度行駛了1小時(shí)，甲車發(fā)生故障不動(dòng)了，為了保證乙車再經(jīng)過不超過2小時(shí)與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時(shí)多少千米？類型六古代問題【例17】（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個(gè)，小容器1個(gè)，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容是單位）；大容器1個(gè)，小容器5個(gè)，總?cè)荼?斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（

）A．x+5y=35x+y=2 B．5x+y=3x+5y=2 C．5x=y+3x=5y+2【變式17-1】（2023·青海西寧·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設(shè)木長x尺，繩長y尺，根據(jù)題意列方程組得（

）A．y?x=4.512y=x?1 B．x?y=4.512y=x?1【變式17-2】（2023龍崗區(qū)一模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（）A．11x=9yB．10y+x=8x+yC．9x=11yD．9x=11y【變式17-3】（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個(gè)頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設(shè)獸有x個(gè)，鳥有y只，可列方程組為_______________；(2)求獸、鳥各有多少．類型七圖表問題【例18】（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識(shí)競答活動(dòng)，并計(jì)劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購員劉老師在某文體用品購買了作為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．請(qǐng)根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對(duì)應(yīng)的金額．【變式18-1】（2022宜昌市中考診斷）一批貨物要運(yùn)往某地，貨主準(zhǔn)備租用汽車運(yùn)輸公司的甲、乙兩種貨車．已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：第一次第二次甲種貨車輛數(shù)（輛）25乙種貨車輛數(shù)（輛）36累計(jì)運(yùn)貨噸數(shù)（噸）15.535現(xiàn)租用該公司3輛甲種貨車及5輛乙種貨車一次剛好運(yùn)完這批貨，如果按每噸付運(yùn)費(fèi)30元計(jì)算，問貨主應(yīng)付運(yùn)費(fèi)多少元？【變式18-2】（2021·貴州貴陽·中考真題）為慶?！爸袊伯a(chǎn)黨的百年華誕”，某校請(qǐng)廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動(dòng)的展板、宣傳冊(cè)和橫幅，其中制作宣傳冊(cè)的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時(shí)間和利潤如下表：產(chǎn)品展板宣傳冊(cè)橫幅制作一件產(chǎn)品所需時(shí)間（小時(shí)）111制作一件產(chǎn)品所獲利潤（元）20310（1）若制作三種產(chǎn)品共計(jì)需要25小時(shí)，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊(cè)和橫幅的數(shù)量；（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產(chǎn)品均有制作．求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．類型八工程問題【例19】（2022定安縣一模）為了打造環(huán)湖風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為88米的河道清淤任務(wù)，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成．甲工程隊(duì)每天清理10米，乙工程隊(duì)每天清理8米，共用時(shí)10天，則甲乙工程隊(duì)各清理了幾天？【變式19-1】（2021昭通市一模）計(jì)劃對(duì)河道進(jìn)行改造，現(xiàn)有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)參加改造施工，受條件限制，每天只能由一個(gè)工程隊(duì)施工．若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工3天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工5天，則可以完成550米施工任務(wù)：若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工2天，再由乙工程對(duì)單獨(dú)施工4天，則可以完成420米的施工任務(wù)．（1）求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)平均每天分別能完成多少米施工任務(wù)？（2）該河道全長6000米，若兩隊(duì)合作工期不能超過90天，乙工程隊(duì)至少施工多少天？

第05講一次方程（組）及其應(yīng)用答案解析考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【答案】C【提示】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)提示得出答案．【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若a2=bC、若ac=bD、若?13x=6故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列等式變形正確的是（

）A．若x=y，則xz=yz C．若x2=4x，則x=4 D．若a【答案】D【提示】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)z=0時(shí)，由x=y不能得到xzB、當(dāng)c=0時(shí)，由ac=bc不一定能得到a=b，變形錯(cuò)誤，不符合題意；C、若x2=4x，則x=4或D、由ac=b故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)或式子等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或式子等式兩邊仍然成立，等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為0的數(shù)或式子等式仍然成立．【變式1-2】（2023滄州市二模）如果x＝y(tǒng)，那么根據(jù)等式的性質(zhì)下列變形正確的是（

）A．x＋y＝0 B．x5=5y【答案】C【提示】利用等式的基本性質(zhì)逐一判斷各選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：∵x=y，∴x?y=y?y=0,故A錯(cuò)誤；∵x=y，∴x5=∵x=y，∴x?2=y?2,故C正確；∵x=y，∴x+7=y+7,故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是等式的基本性質(zhì)，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02利用等式的性質(zhì)求解【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質(zhì)量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質(zhì)量都相等．下列四個(gè)天平中只有一個(gè)天平?jīng)]有處于平衡狀態(tài)，則該天平是（

）A． B．C． D．【答案】B【提示】設(shè)“■”的質(zhì)量為x，“▲”的質(zhì)量為y“●”的質(zhì)量為m，列出等式，根據(jù)等式的性質(zhì)計(jì)算判斷即可．【詳解】設(shè)“■”的質(zhì)量為x，“▲”的質(zhì)量為y“●”的質(zhì)量為m，根據(jù)題意，得2x=4y即x=2y，故A正確，不符合題意；∴x+m=m+2y，故C正確，不符合題意；故B不正確，符合題意；∴x+2m=2m+2y，故D正確，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，正確理解等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·河北承德·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）能運(yùn)用等式的性質(zhì)說明如圖事實(shí)的是（）A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不為0）C．如果a?c=b?c，那么a=b（a，b，c均不為0）D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不為0）【答案】A【提示】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：觀察圖形，是等式a+c=b+c的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），利用等式性質(zhì)1，得到a=b，即如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式兩邊加或減去同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【答案】B【提示】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．【詳解】解：I=UR去分母得故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍然成立．【變式2-3】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知20212022?20222021+x=0A．20222021+2021C．20222021?2021【答案】C【提示】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：將原式兩邊同時(shí)減去20212022?2022即x=2022故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式2-4】（2023衡水市中考模擬）若等式m+a=n-b根據(jù)等式的性質(zhì)變形得到m=n，則a、b滿足的條件是（A．相等 B．互為倒數(shù) C．互為相反數(shù) D．無法確定【答案】C【提示】根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊都加上b，然后判斷即可得解．【詳解】解：m+a=n-b兩邊都加上b得，m+a+b=n，∵等式可變形為m=n，∴a+b=0，∴a=-b．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立．考點(diǎn)二一元一次方程題型01判斷一元一次方程【例1】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列各式：①?2+5=3；②3x?5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可【詳解】解：①不含未知數(shù)，故錯(cuò)②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，故錯(cuò)③含一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對(duì)④左邊不是整式，故錯(cuò)⑤不是等式，故錯(cuò)⑥含一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對(duì)故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握并理解一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵【變式1-1】（2021·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進(jìn)而求出k的值即可．【詳解】解：∵方程k2?4x∴k2解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，解得：x=-1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023九江市一模）已知k?1xk+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則k【答案】?1【分析】由一元一次方程的定義可直接進(jìn)行列式求解．【詳解】解：∵方程k?1xk+2=3∴k=1,k?1≠0解得：k=?1；故答案為?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是關(guān)于x的一元一次方程，則【答案】2023【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a，b是常數(shù)且【詳解】解：∵(k+2)x|k+1|+6=0∴k+2≠0，k+1=1解得：k=0．∴k+2023=2023，故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．題型02解一元一次方程【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】x=3．【分析】先把方程化移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1法即可．【詳解】解：4x﹣1＝2x+5，移項(xiàng)得：4x﹣2x＝5+1合并同類項(xiàng)得：2x=6，∴系數(shù)化1得：x=3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解法移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？家荒＃┤?x+12的值與x?7互為相反數(shù)，則xA．1 B．1310 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：4x+解得：x=1；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項(xiàng)式?xyb與12xay3A．x=13 B．x=?13 C．【答案】B【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義得出，a=1，b=3，代入方程bx+a=0，解得即可．【詳解】∵單項(xiàng)式?xyb與∴a=1，b=3，∴方程為3x+1=0，解得x=?1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同類項(xiàng)和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟知同類項(xiàng)的定義．【變式2-3】（2019·山東濟(jì)南·中考真題）代數(shù)式2x?13與代數(shù)式3?2x的和為4，則x=_____【答案】﹣1.【分析】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【詳解】根據(jù)題意得：2x?13去分母得：2x?1+9?6x=12，移項(xiàng)合并得：?4x=4，解得：x=?1，故答案為﹣1.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2023揚(yáng)州市三模）規(guī)定一種新的運(yùn)算：a?b=2?a?b，求2x?13?1+x【答案】x=【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出解．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：2?2x?1去分母得：12?22x?1去括號(hào)得：12?4x+2?3?3x=6，移項(xiàng)合并得：?7x=?5，解得：x=5故答案為：x=5【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2023·四川成都·二模）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2=b3=c【答案】2【分析】先根據(jù)等式的性質(zhì)得：a=2k，b=3k，c=4k，再代入到等式a+2b+3c=40中，得到關(guān)于k的一元一次方程，解這個(gè)方程即可．【詳解】解：由a2=b3=c4代入到等式a+2b+3c=40中，得：2k+6k+12k=40，解得：k=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)、代入消元法及一元一次方程的解法，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2021·山東煙臺(tái)·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為____________．【答案】2【分析】設(shè)處第一行第一列、第三列第三行、對(duì)角線上的未知量，用三數(shù)之和為15就可以求出a．【詳解】解：如圖，把部分未知的格子設(shè)上相應(yīng)的量第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4∵f=4∵對(duì)角線上6+c+f=15∴6+4+c=15，得到c=5∵c=5另外一條對(duì)角線上8+c+a=15∴8+5+a=15，得到a=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法和一元一次方程的綜合題，找出式子之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型03一元一次方程的特殊解題技巧【類型一】分母含小數(shù)的一元一次方程技巧1巧化分母為1【例3】解方程：0.6x+0.5【詳解】解：0.6x+0.56x+536x+518x+15?3x?20=2x?1818x?3x?2x=?18?15+2013x=?13x=?1．【變式3-1】解方程：0.3x【詳解】解：原方程可化為3x去分母，得3(3x去括號(hào)，得9x移項(xiàng)，得9x合并同類項(xiàng)，得13x系數(shù)化為1，得x=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵．技巧2巧化同分母【例4】解方程：x0.6【詳解】解：x化為同分母，得，0.1x去分母，得0.1x?0.16+0.5x=0.06．解得x=11技巧3巧約分去分母【例5】解方程：x?4【詳解】解：解：x?410x?40550x?200?100=200x?60050x?200x=?600+200+100?150x=?300x=2．【變式5-1】解方程：0.3x?1【詳解】解：0.3x?10.02整理，得(15x?50)?(0.8x?16)=1，去括號(hào)，得15x?50?0.8x+16=1，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得14.2x=35，系數(shù)化為1，得x=175【類型二】分子、分母為整數(shù)的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：3x?1【詳解】解：3x?1將原式拆分為：3x4-14解得x=11．【變式6-1】解方程：x?12【答案】x=4【詳解】解：x?1將原式拆分為：x2-12-x3解得x=4．【變式6-2】解方程：x2【詳解】解：拆項(xiàng)，得x?x整理得：x?x解得：x=5【變式6-3】解方程：x2解：x2x1×2(1?1x?1x?120082009x=2009．技巧2巧用對(duì)消法【例7】解方程：x3技巧3巧通分【例8】解方程：x+37【詳解】解：方程兩邊分別通分后相加，得5(x+3)?7(x+2)35化簡，得?2x+135解得x=?362【類型三】含括號(hào)的一元一次方程技巧1利用倒數(shù)關(guān)系去括號(hào)【例9】解方程：6解：62x+1+6?1=4x2x?4x=?6?2x=?6x=3．【變式9-1】解方程：解方程3【詳解】解：3去括號(hào)得：14x﹣1﹣3﹣x移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：﹣34x系數(shù)化為1得：x＝﹣8．技巧2整體合并去括號(hào)【例10】解方程：x?1【詳解】解：x?x?移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：23解得：x=0；【變式10-1】解方程：x?1【詳解】解：去括號(hào)，得：x?1移項(xiàng)，得：x?合并同類項(xiàng)，得：12系數(shù)化為1，得：x=2．技巧3整體合并去分母【例11】解方程：13【詳解】解：移項(xiàng)，得1合并同類項(xiàng)，得x?5=3系數(shù)化為1，得：x=8．【變式11-1】解方程：14【詳解】解：移項(xiàng)，得1合并同類項(xiàng)，得x?2=8系數(shù)化為1，得：x=10．技巧4由外向內(nèi)去括號(hào)【例12】解方程：解方程：13【詳解】解：1去中括號(hào)，得，1去小括號(hào)，得，1移項(xiàng)，得，1系數(shù)化為1，得x=3．技巧5由內(nèi)向外去括號(hào)【例13】解方程：24【詳解】解：2去小括號(hào)，得2去中括號(hào)，得4移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得7系數(shù)化為1，得x=?12【變式13-1】解方程：41【詳解】解：去括號(hào)得：4去括號(hào)得：2x?3x+3=移項(xiàng)得：2x?3x?合并同類項(xiàng)得：?4解得：x=1．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟記解一元一次方程的步驟，能正確的去括號(hào)，移項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問題【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號(hào)，得3x+3?1=2x?2②移項(xiàng)，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項(xiàng)，得x=?4④以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行檢查，即可得出答案．【詳解】解：方程兩邊同乘6，得3x+1∴開始出錯(cuò)的一步是①，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是解決問題的關(guān)鍵．【變式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程x?x?33解：兩邊同乘以3，得3x?x?3=3，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得2x=6，兩邊同除以2，得x=3，圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程．【答案】圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，方程的解為x=0．【分析】由去分母后沒有及時(shí)添加括號(hào)；可得圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，再去分母正確的解方程即可．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，去分母后沒有及時(shí)添加括號(hào)；正解：x?兩邊同乘以3，得3x?x?3∴3x?x+3=3，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得2x=0，兩邊同除以2，得x=0．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的解法，熟練的掌握一元一次方程的解法與步驟是解本題的關(guān)鍵．【變式14-2】（2023·湖南長沙·?？级＃┫旅媸切》f同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答問題．解方程：2x+1解：去分母，得22x+1去括號(hào)，得4x+2?5x+1=1……第二步移項(xiàng)，得4x?5x=1?1?2……第三步合并同類項(xiàng)，得?x=?2，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=2．……第五步(1)以上求解過程中，第三步的依據(jù)是_________．A．等式的基本性質(zhì)

B．不等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)

D．乘法分配律(2)從第_________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(3)該方程正確的解為____________【答案】(1)A(2)一(3)x=?3【分析】（1）根據(jù)移項(xiàng)的變形依據(jù)回答即可；（2）根據(jù)去分母漏乘沒有分母的項(xiàng)回答即可；（3）寫出正確的解題過程，即可得到答案．【詳解】（1）解：移項(xiàng)的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故選：A（2）從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，方程右邊的1沒有乘以6，故答案為：一（3）2x+1解：去分母，得22x+1去括號(hào)，得4x+2?5x+1=6……第二步移項(xiàng)，得4x?5x=6?1?2……第三步合并同類項(xiàng)，得?x=3，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=?3．……第五步故答案為：x=?3【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式14-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：?6×(1)如果被污染的數(shù)字是12，請(qǐng)計(jì)算?6(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．【答案】(1)-9(2)3【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得?6×【詳解】（1）解：?6×23（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得?6×23所以被污染的數(shù)字是3．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和步驟是接替的關(guān)鍵．【變式14-4】在做解方程練習(xí)時(shí)，有一個(gè)方程“y?15=2y+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個(gè)有理數(shù)，該方程的解與當(dāng)x＝2時(shí)整式5（x【答案】“■”這個(gè)有理數(shù)為?65，方程的解為：【分析】利用“該方程的解與當(dāng)x＝2時(shí)整式5（x?1）?2（x?2）?4的值相同”求出方程的解；再將方程的解代入y?15【詳解】解：當(dāng)x＝2時(shí)，整式5（x?1）?2（x?2）?4＝5×（2?1）?2×（2?2）?4＝1．∵方程的解與當(dāng)x＝2時(shí)整式5（x?1）?2（x?2）?4的值相同，∴方程的解為：y＝1．當(dāng)y＝1時(shí)，y?15∴1?1解得：■＝?6答：“■”這個(gè)有理數(shù)為?65，方程的解為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值．利用方程的解的意義，將方程的解去替換未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三二元一次方程（組）題型01二元一次方程（組）的概念【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【答案】D【提示】將選項(xiàng)中的x,y的值分別代入方程的左邊，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：A、當(dāng)x=1y=2時(shí)，2x+y=4，則x=1y=2是二元一次方程2x+y=4B、當(dāng)x=2y=0時(shí)，2x+y=4，則x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解C、當(dāng)x=0.5y=3時(shí)，2x+y=4，則x=0.5y=3是二元一次方程D、當(dāng)x=?2y=4時(shí)，2x+y=0，則x=?2y=4不是二元一次方程故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）若二元一次方程組x+y=23x?5y=4的解為x=ay=b，則a?b=【答案】3【提示】把x、y的值代入方程組，再將兩式相加即可求出a?b的值．【詳解】解：將x=ay=b代入方程組x+y=2得：a+b=2????①①+②得：∴a?b=6故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是觀察兩方程的系數(shù)，從而求出a?b的值．【變式1-2】（2023蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是關(guān)于x，y【答案】1【提示】根據(jù)二元一次方程的定義求解，只需要令x，y的次數(shù)為1，并且系數(shù)不為零，即可求出m的值．【詳解】∵7xm+m+1y=6∴可列式得m=1解得m=1．故答案為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)其定義列式求解．題型02解二元一次方程組【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組3x+y=8【答案】x=3【提示】方程組運(yùn)用加減消元法求解即可．【詳解】解：3x+y=8①①+②得5x=15，解得x=3，將x=3代入①得3×3+y=8，解得y=?1．∴原方程組的解為x=3,【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，方法主要有：代入消元法和加減消元法．【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3【答案】x=5【提示】整理方程組得x?2y=3①【詳解】解：整理方程組得x?2y=3①2x+3y=13①×2?②得?7y=?7，把y=1代入①得x?2=3，解得x=5，∴方程組的解為x=5y=1【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型03二元一次方程組特殊解法類型一引入?yún)?shù)法【例3】用代入法解方程組：x【答案】x=5【提示】采用先換元，再代入即可作答．【詳解】解：由①，得x5設(shè)x5=?y6=k將x=5k，y=?6k代入方程②，得35k+6k解這個(gè)方程得k=1，即x=5，y=?6，所以原方程組的解是x=5【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法和代入法解二元一次方程組的知識(shí)，掌握換元法，準(zhǔn)確換元，是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】用代入法解方程組：x【詳解】解：由①，得x3設(shè)x3=?y4=k將x=3k，y=?4k代入方程②，得23k?4k解這個(gè)方程得k=2，即x=6，y=?8，所以原方程組的解是x=6類型二特殊消元法-方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對(duì)值相等【例4】解方程組：2015x+2016y=2017①【答案】x=?1【提示】根據(jù)方程組中的兩個(gè)未知數(shù)的對(duì)應(yīng)系數(shù)之差的絕對(duì)值相等，先化簡，再用代入法或加減法即可求解.【詳解】解：②?①，得x+y=1③，由③，得x=1?y④，把④代入方程①，得2015(1?y)+2016y=2017，解這個(gè)方程，得y=2，把y=2代入方程③，得x=?1，所以原方程組的解為x=?1y=2【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)值較大的二元一次方程組的解法，找出方程組中對(duì)應(yīng)數(shù)值的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程：19x+18y=17解：①-②，2x+2y=2即x+y=1③③×16，得16x?16y=16④②-④，得x=把x=?1，代入③，得?1+y=1所以原方程組的解為：x=?1(1)請(qǐng)仿照上面的方法解方程組：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018(2)請(qǐng)猜想關(guān)于x，y的方程組(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b【答案】(1)x=?1(2)x=?1y=2【提示】（1）仿照題干的方法求解即可；（2）根據(jù)題干和（1）中的結(jié)果直接猜測(cè)即可．【詳解】（1）2022x+2021y=2020①由①?②，得2x+2y=2，即x+y=1③，③×2019，得2019x+2019y=2019④，②?④得x=把代入③，得?1+y=1，∴y=2，∴原方程組的解是x=?1y=2（2）根據(jù)題干和（1）的結(jié)果，猜測(cè)方程組a+2x+a+1y=a驗(yàn)證：將x=?1y=2代入方程(a+2)x+(a+1)y=a左邊=a+(?2)+2a+2=a，所以左邊=右邊．將x=?1y=2代入方程(b+2)x+(b+1)y=b同理可得左邊=右邊，∴此方程組的解是x=?1y=2【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組：利用代入法或加減消元法把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，理解題干的方法是解題的關(guān)鍵．類型三特殊消元法-方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對(duì)值相等【例5】解方程組：13x+14y=40①【詳解】解：②+①，化簡得x+y=3③，由③，得x=3?y④，把④代入方程①，得13(3?y)+14y=40，解這個(gè)方程，得y=1，把y=1代入方程③，得x=2，所以原方程組的解為x=2y=1【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)值較大的二元一次方程組的解法，找出方程組中對(duì)應(yīng)數(shù)值的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】感悟思想：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x?y=5①，2x+3y=7②，求x?4y和7x+5y的值．思考：本題常規(guī)思路是將①②聯(lián)立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，有的問題用常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值．如①-②可得x?4y=?2①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．體會(huì)思想：(1)已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x?y=______，x+y=(2)解方程組：x+y=5(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？【答案】(1)-1，5(2)x=2(3)30元【提示】（1）把兩個(gè)方程相加可求x+y=5，相減可求x?y=?1；（2）把3個(gè)方程相加得x+y+z=6，分別減三個(gè)方程可求解；（3）設(shè)未知數(shù)列出方程組，用整體思想求解即可．【詳解】（1）解：2x+y=7①+②得3x+3y=15，解得x+y=5，①-②得x?y=?1，故答案為：-1，5．（2）解：x+y=5①x+z=3②①+②+③得，2x+2y+2z=12，即x+y+z=6④，④-①得，z=1，④-②得，y=3，④-③得，x=2，方程組的解為x=2z=1（3）解：設(shè)購買1支鉛筆a元，1塊橡皮b元，1本日記本c元,根據(jù)題意列方程組得，20a+3b+2c=32①①×2-②得，a+b+c=6，則5a+5b+5c=30；答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．【點(diǎn)睛】本題考查了利用整體思想解方程組，解題關(guān)鍵是熟練利用整體思想，通過整體運(yùn)算求解．類型四換元法【例6】解方程組：1x【答案】x=1y=?0.5【提示】設(shè)1x=a，【詳解】解：設(shè)1x=a，則原方程組化為：a+b=3①3a?b=1②①+②得：4a=4，解得：a=1，把a(bǔ)=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，即1x=11經(jīng)檢驗(yàn)x=1y=?0.5所以原方程組的解是x=1y=?0.5【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程組，解題關(guān)鍵是抓住方程組的特征，巧妙換元，熟練的解二元一次方程組和分式方程，注意：分式方程要檢驗(yàn)．【變式6-1】閱讀材料：善于思考的李同學(xué)在解方程組3m解：把m+5，n+3成一個(gè)整體，設(shè)m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程組2x?3y=45(2)仿照李同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組3x【答案】(1)a(2)x【提示】（1）根據(jù)題意所給材料可得出a+（2）根據(jù)題意所給材料可令m=x+y，n=x-y，則原方程組可化為3m?解得：m=2815【詳解】（1）∵方程組2x?3y∴a+解得：a=（2）對(duì)于3x+y則原方程組可化為3m?解得：m=∴x+解得：x=【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．讀懂題干，理解題意，掌握“整體換元法”的步驟是解題關(guān)鍵．【變式6