教育學高等代數2期末復習參考

第六章線性空間6.1

集合映射3、集合間的運算

交：；

并：

顯然有，1、證明等式:．證：顯然，．又，

∴，從而,．練習：

故等式成立．.6.1

集合映射2、已知，

證明：又因，

∴．

又因

，∴．

證：1）此即，因此無論哪一種情況，都有.此即，

但是.6.1

集合映射例7判斷下列映射的性質1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

（既不單射，也不是滿射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M′＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是滿射，但不是單射）

3）M＝，M′＝P，（P為數域）

σ：σ(A)＝|A|，（是滿射，但不是單射）

（雙射）.6.1

集合映射4）M＝P，M′＝

P為數域,E為n級單位矩陣τ：τ(a)＝aE，（是單射，但不是滿射）

σ：σ(a)＝a0，（既不單射，也不是滿射）

6）M＝M′＝P[x]，P為數域σ：σ(f(x))＝f′(x)，（是滿射，但不是單射）

7）M是一個集合，定義I：I(a)＝a，

8）M=Z，M′＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（雙射）

（雙射）

5）M、M′為任意非空集合，為固定元素

.6.1

集合映射練習：找一個R到R＋的1—1對應．，規(guī)定解：則是R到R＋的一個映射.∵若，則，

∴是單射．

，存在，使故是1—1對應．

∴是滿射．

.6.1

集合映射2、令，問：1）g是不是R＋到R＋的雙射？g是不是f的逆映射？

2）g是不是可逆映射？若是的話，求其逆．

解：1）g是R＋到自身的雙射．

∵，若，則，g是單射．

并且，即g是滿射．

又∵，

∴，

g不是f的逆映射．事實上，．

2）g是可逆映射．.6.1

集合映射3、設映射，證明：1）如果h是單射，那么f也是單射；2）如果h是滿射，那么g也是滿射；3）如果f、g都是雙射，那么h也是雙射，并且這與h是單射矛盾，∴f是單射．證：1）若f不是單射，則存在于是有.6.1

集合映射2）∵

h是滿射，，即，∴g是滿射．又∵3），因為g是滿射，存在,使又因為f

是滿射，存在，使h是滿射．∴.6.1

集合映射∵若，由于f是單射，有又因為g是單射，有即,∴因而h是雙射．h是單射..6.1

集合映射①n

維線性空間

V

的基不是唯一的，V中任意

n個②任意兩組基向量是等價的．

例3（1）證明：線性空間P[x]n是n

維的，且注意：線性無關的向量都是V的一組基．

（2）證明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1

為

P[x]n

的一組基．

也為P[x]n的一組基．.6.1

集合映射證:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是線性無關的．

∴1，x，x2，…，xn－1為P[x]n的一組基，從而，P[x]n是n維的.其次，

可經1，x，x2，…，xn－1線性表出．

注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐標就是此時，.6.1

集合映射（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是線性無關的．

又對

，按泰勒展開公式有

即,f(x)可經1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1線性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1為P[x]n的一組基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐標是

注：此時，.6.1

集合映射若把C看成是實數域R上的線性空間呢？

而實數域R上的線性空間C為2維的，數1，i就為例4求全體復數的集合C看成復數域C上的線性空間的維數與一組基；解：復數域C上的線性空間C是1維的，數1就是它的一組基；它的一組基．注：任意數域P看成是它自身上的線性空間是一維的，數1就是它的一組基..6.1

集合映射解：令

則

是線性無關的．事實上，由

，即

有

又對

，有

例5求數域P上的線性空間的維數和一組基．

是的一組基，是4維的．

∴

.6.1

集合映射矩陣在基下的

坐標就是

一般地，數域P上的全體矩陣構成的線性空間為維的，

注：

就是的一組基．

矩陣單位.6.1

集合映射下的坐標，其中

解：設

，則有線性方程組解之得，

．

∴ξ在基

下的坐標為

．

例6在線性空間中求向量在基

.6.1

集合映射

解:數1是R＋的零元素.即x可由a線性表出.任取R＋中的一個數a,且，則a是線性無關的.故R＋是一維的，任一正實數就是R＋的一組基.練習1.已知全體正實數R＋對于加法與數量乘法：構成實數域R上的線性空間，求R＋的維數與一組基.

.6.1

集合映射例1在Pn中，求由基

到基

過渡矩陣．其中

解：∵

的過渡矩陣及由基

到基

的并求向量在基下的坐標.

.6.1

集合映射而，∴

.6.1

集合映射到基

由基的過渡矩陣為

故，由基

到基

的過渡矩陣為.6.1

集合映射在基下的坐標就是設在基下的坐標為，則所以在基下的坐標為.6.1

集合映射例2在P4中，求由基

到基

的過渡矩陣，其中

.6.1

集合映射解：設

則有

或

，

.6.1

集合映射從而有

.6.1

集合映射∴由基

到基

的過渡矩陣為.6.1

集合映射練習：已知的兩組基：求由基的過渡矩陣，并求矩陣在基下的坐標..6.1

集合映射解：設A在基下的坐標為.6.1

集合映射則即A在基下的坐標為.6.1

集合映射例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：

解：W1、W3是Pn的子空間，

W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數與一組基.事實上，W1是n元齊次線性方程組的解空間.所以，維W1＝n－1，①的一個基礎解系①.6.1

集合映射就是W1的一組基.而在

W2中任取兩個向量，設則故W2不是Pn的子空間..6.1

集合映射故，W3為V的一個子空間，且維W3＝n－1，則有

其次，

設下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基..6.1

集合映射2、線性子空間的判定

，若W對于V中兩種運算封閉，即

則W是V的一個子空間．

定理：設V為數域P上的線性空間，集合

推論：V為數域P上的線性空間,

則W是V的子空間.6.1

集合映射稱為V的由生成的子空間，二、一類重要的子空間

——生成子空間

定義：V為數域P上的線性空間，

則子空間

，記作．稱為的一組生成元..6.1

集合映射它擴充為P4的一組基，其中例8

求的維數與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換.6.1

集合映射由B知，為的一個極大故，維＝3，就是的一組基.無關組..6.1

集合映射則線性無關，從而為P4的一組基..6.1

集合映射練習設V為數域P上的線性空間，為V的一組基，且求的一組基，并把它擴充為V的一組基..6.1

集合映射令對A作初等行變換解：.6.1

集合映射則線性無關，從而為V的一組基.又由B知，A的列向量線性無關，從而線性無關.故為的一組基..6.1

集合映射例2、在中，設1）求

的維數的與一組基；

2）求

的維數的與一組基.

.6.1

集合映射解：1)任取

設

則有

(＊)解

得

（t

為任意數）(＊)即.6.1

集合映射令

t=1，則得

的一組基

為一維的.

2)

對以為列向量的矩陣A作初等行變換

.6.1

集合映射為3維的，

由B知，為的一個極大無關組.為其一組基..6.1

集合映射2、和是直和則有即是直和.“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故.6.1

集合映射證：由維數公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）.6.1

集合映射總之，設為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)設U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個余子空間.則必存在一個子空間W，使.6.1

集合映射證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則余子空間一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設則但.6.1

集合映射5、設分別是線性子空間的一組基，則是直和線性無關.證：由題設，若線性無關，則它是的一組基.從而有.6.1

集合映射反之,若直和，則從而的秩為r＋s.所以線性無關.是直和..6.1

集合映射例1、每一個n

維線性空間都可以表示成

n

個一維子空間的直和.證：設是

n

維線性空間V的一組基,則

而

故得證..6.1

集合映射例2、已知，設2）當時，證：1）任取有是的子空間.證明：1）是的子空間..6.1

集合映射又對有從而有

故是的子空間.下證是的子空間..6.1

集合映射又2）先證任取其中再證又是的子空間，.6.1

集合映射任取從而所以.6.1

集合映射練習1設V1、V2分別是齊次線性方程組①與②的證：解齊次線性方程組①，得其一個基礎解系

①②解空間：證明:.6.1

集合映射再解齊次線性方程組②.由即得②的一個基礎解系考慮向量組

.6.1

集合映射由于

線性無關，即它為Pn的一組基.又.6.1

集合映射為V的一組基，則前面V到Pn的一一對應例1、V為數域P上的n維線性空間，

這里為在基下的坐標，就是一個V到Pn的同構映射，所以.6.1

集合映射證：設為線性空間的同構3、兩個同構映射的乘積還是同構映射.任取有映射，則乘積是的1－1對應.

所以，乘積是的同構映射.

.6.1

集合映射例2、把復數域看成實數域R上的線性空間，

證法一：證維數相等證明：首先，可表成

其次，若則

所以，1，i

為C的一組基，又，所以，故，.6.1

集合映射證法二：構造同構映射則為C到R2的一個同構映射.作對應6.1

集合映射第七章線性變換練習：下列變換中，哪些是線性變換？3．在線性空間V中，非零固定.4．在中，固定.2．在中，1．在中，5．復數域C看成是自身上的線性空間，6．C看成是實數域R上的線性空間，√

√

√

.例1.線性空間中，線性變換

而，即.例2.設A、B為兩個取定的矩陣，定義變換則皆為的線性變換，且對有.6.1

集合映射四、線性變換的逆

則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作1．定義設為線性空間V的變換，若有V的變換使2．基本性質(1)

可逆變換的逆變換也是V的線性變換..證：對

是V的線性變換..(4)

可逆線性變換把線性無關的向量組變成線性無關的向量組.線性無關.若證：設為線性空間V的可逆變換，則有，又可逆，于是是一一對應，且故線性無關.由線性無關，有.6.1

集合映射證明：練習：設為線性變換，若證：對k作數學歸納法.

當k=2時，若①對①兩端左乘，得對①兩端右乘，得上兩式相加，即得.②對②兩端左乘，得對①兩端右乘得③④③＋④，得假設命題對時成立，即由歸納原理，命題成立...6.1

集合映射例1.設線性空間的線性變換為

求在標準基下的矩陣.

解：

.6.1

集合映射例3.設為線性空間V一組基，線性變換在這組基下的矩陣為

為V的另一組基，且

（1）求在下的矩陣B.（2）求.6.1

集合映射解：（1）由定理4，在基下的矩陣（2）由有于是.6.1

集合映射例4.在線性空間中，線性變換定義如下：（1）求在標準基下的矩陣.（2）求在下的矩陣..6.1

集合映射解：（1）由已知，有設在標準基下的矩陣為A，即.6.1

集合映射因而，.6.1

集合映射（2）設在下的矩陣為B，則A與B相似，且.6.1

集合映射

i)在V中任取一組基寫出在這組基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多項式在P上的全部根它們2.求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.iii)把所求得的特征值逐個代入方程組的全部線性無關的特征向量在基下的坐標.)并求出它的一組基礎解系.(它們就是屬于這個特征值.6.1

集合映射

則就是屬于這個特征值的全部線性無關的特征向量.

而（其中，不全為零）

就是的屬于的全部特征向量.如果特征值對應方程組的基礎解系為：.6.1

集合映射對皆有所以，V中任一非零向量皆為數乘變換K的特征向量.例1.在線性空間V中，數乘變換K在任意一組基下的矩陣都是數量矩陣kE，它的特征多項式是故數乘法變換K的特征值只有數k，且.6.1

集合映射解：A的特征多項式

例2.設線性變換

在基下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重）

.6.1

集合映射

把代入齊次方程組得

即

它的一個基礎解系為：

因此，屬于的兩個線性無關的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零

.6.1

集合映射因此，屬于5的一個線性無關的特征向量為

把代入齊次方程組得

解得它的一個基礎解系為：

而屬于5的全部特征向量為.6.1

集合映射特征多項式的有關性質1.設則A的特征多項式由多項式根與系數的關系還可得

②A的全體特征值的積＝①A的全體特征值的和＝稱之為A的跡,記作trA..6.1

集合映射證:設則存在可逆矩陣X，使得2.(定理6)

相似矩陣具有相同的特征多項式.于是，.6.1

集合映射三、對角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°

對每一個特征值，求出齊次線性方程組

設為n維線性空間V的一個線性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個基礎解系（此即的屬于的全部線性無關的特征向量在基下的坐標）.

.6.1

集合映射3°若全部基礎解系所含向量個數之和等于n

，則（或矩陣A）可對角化.以這些解向量為列，作一個n階方陣T，則T可逆，是對角矩陣.而且有n個線性無關的特征向量從而

T就是基到基的過渡矩陣..6.1

集合映射下的矩陣為

基變換的過渡矩陣.問是否可對角化.在可對角化的情況下，寫出例1.

設復數域上線性空間V的線性變換在某組基.6.1

集合映射解：A的特征多項式為

得A的特征值是1、1、－1.解齊次線性方程組得故其基礎解系為：

所以，是的屬于特征值1的兩個線性無關的特征向量..6.1

集合映射再解齊次線性方程組得

故其基礎解系為：

所以，是的屬于特征值－1的線性無關的特征向量.線性無關，故可對角化，且在基下的矩陣為對角矩陣

.6.1

集合映射即基到的過渡矩陣為.6.1

集合映射例2.

問A是否可對角化？若可，求可逆矩陣T，使為以角矩陣.這里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多項式為

.6.1

集合映射對于特征值2，求出齊次線性方程組

對于特征值－4，求出齊次方程組

的一個基礎解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一個基礎解系:

.6.1

集合映射令

則

所以A可對角化..6.1

集合映射是對角矩陣（即D不可對角化）.

項式.并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能練習：在中,求微分變換D的特征多解：在中取一組基：則D在這組基下的矩陣為.6.1

集合映射于是∴D的特征值為0（n重）.的系數矩陣的秩為n－1，從而方程組的基礎解系故D不可對角化.又由于對應特征值0的齊次線性方程組只含有一個向量，它小于的維數n（＞1）..6.1

集合映射定義1：設是維線性空間V的一個線性變換，如果存在V的一個基，使在這組基下的矩陣為對角矩陣，則稱線性變換可對角化.矩陣，則稱矩陣A可對角化.定義2：矩陣A是數域上的一個級方陣.如果存在一個上的級可逆矩陣，使為對角

復習一、可對角化的概念

.6.1

集合映射1.(定理7)設為維線性空間V的一個線性變換，則可對角化有個線性無關的特征向量.二、可對角化的條件

為的特征子空間.

2.

設為n維線性空間V的一個線性變換，為全部不同的特征值，則可對角化.6.1

集合映射三、對角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°

對每一個特征值，求出齊次線性方程組

設為維線性空間V的一個線性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個基礎解系（此即的屬于的全部線性無關的特征向量在基下的坐標）.

..6.1

集合映射3°若全部基礎解系所含向量個數之和等于n

，則（或矩陣A）可對角化.以這些解向量為列，作一個n階方陣T，則T可逆，是對角矩陣.而且有n個線性無關的特征向量從而

T就是基到基的過渡矩陣..6.1

集合映射ⅰ)是滿射證明：ⅰ)顯然.ⅱ)因為

若為單射，則

3.

設為n

維線性空間V的線性變換，則ⅱ)是單射

反之，若任取若

則即故是單射.從而

.6.1

集合映射是單射是滿射.

證明：是單射

4.

設為n維線性空間V的線性變換，則是滿射.

.線性變換在此基下的矩陣為

求及

例3、設是線性空間V的一組基，已知解：先求設它在下的坐標為故由于有在下的坐標為

.解此齊次線性方程組，得它的一個基礎解系：

從而

是的一組基.

由于的零度為2，所以的秩為2，又由矩陣A，有即為2維的.再求.從而有所以，線性無關，就是的一組基.

.三、對角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°

對每一個特征值，求出齊次線性方程組

設為維線性空間V的一個線性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個基礎解系（此即的屬于的全部線性無關的特征向量在基下的坐標）.

.6.1

集合映射3°若全部基礎解系所合向量個數之和等于n

，則（或矩陣A）可對角化.以這些解向量為列，作一個n階方陣T，則T可逆，是對角矩陣.而且有n個線性無關的特征向量從而

T就是基到基的過渡矩陣..6.1

集合映射1）兩個－子空間的交與和仍是－子空間.2）設則W是－子空間證：顯然成立.任取設

則

故W為的不變子空間.2、不變子空間的簡單性質由于

.6.1

集合映射1）線性變換的值域與核都是的不變子空間.證：

有

故為的不變子空間.又任取有3、一些重要不變子空間也為的不變子空間.

.6.1

集合映射2）若則與都是－子空間.

證：

對存在

使于是有，

為的不變子空間.

其次，由

對有

.6.1

集合映射于是

故為的不變子空間.

6.1

集合映射4）線性變換的特征子空間是的不變子空間.

有

5）由的特征向量生成的子空間是的不變子空間.

證：設是的分別屬于特征值

的特征向量.

3）任何子空間都是數乘變換的不變子空間.

任取設則

為的不變子空間.

.6.1

集合映射第八章歐氏空間例1．在中，對于向量

當時，1）即為幾何空間中內積在直角坐標系下的表達式.即這樣對于內積就成為一個歐氏空間.易證滿足定義中的性質～.1）定義

（1）

所以,為內積..6.1

集合映射2）定義

從而對于內積也構成一個歐氏空間.由于對未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內積.從而對于這兩種內積就構成了不同的歐氏空間.易證滿足定義中的性質～.所以也為內積..6.1

集合映射例2．為閉區(qū)間上的所有實連續(xù)函數所成線性空間，對于函數，定義（2）

則對于（2）作成一個歐氏空間.證：

.6.1

集合映射且若則故因此，為內積，為歐氏空間..6.1

集合映射（7）

證：

兩邊開方，即得（7）成立.對歐氏空間中的任意兩個向量有3）三角不等式.6.1

集合映射5.勾股定理設V為歐氏空間，證：.6.1

集合映射例3、已知在通常的內積定義下，求解：又通常稱為與的距離，記作.6.1

集合映射②Schmidt正交化過程:化成正交向量組先把線性無關的向量組再單位化得標準正交向量組.6.1

集合映射例1.

把

變成單位正交的向量組.解：令正交化.6.1

集合映射再單位化即為所求．.6.1

集合映射2.歐氏空間中的正交變換下述命題是等價的：（定理4）設是歐氏空間V的一個線性變換.3）保持向量間的距離不變，即2）保持向量長度不變，即1）是正交變換；.6.1

集合映射證明：首先證明1)與2)等價．即，兩邊開方得，若是正交變換，則有，(1)(2)若保持向量長度不變，則對.6.1

集合映射把(3)展開得，再由(1)(2)即得，(3)是正交變換．.6.1

集合映射再證明2)與3)等價