隨機(jī)抽樣解析-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

隨機(jī)抽樣

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)一不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣

本(〃WN),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都魂就把這

種抽樣方法叫作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣主要有一抽簽_____法和—隨機(jī)數(shù)表法.

2.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一一定的比例,從各

層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫作

分層抽樣.

(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：

當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.

3.系統(tǒng)抽樣的步驟

假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為〃的樣本.

(1)編號(hào)：先將總體的N個(gè)個(gè)體一編號(hào)—.

(2)分段：確定一分段間隔k,對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.

當(dāng),N(〃樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取左=三N.

nn

⑶確定首個(gè)個(gè)體：在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)

1(1<k).

⑷獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將/加上間隔攵得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)

_l+k,再加上間隔左得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)」+2k,依次進(jìn)行下去，

直到獲取整個(gè)樣本.

1.某學(xué)校為了了解三年級(jí)、六年級(jí)、九年級(jí)這三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，

擬從這三個(gè)年級(jí)中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()

A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法C.分層抽樣法D.隨機(jī)數(shù)法

【答案】C

2.老師在班級(jí)50名學(xué)生中，依次抽取學(xué)號(hào)為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的學(xué)生進(jìn)行作業(yè)

檢查，這種抽樣方法是()

A.隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.系統(tǒng)抽樣D.以上都不是

【答案】c

【解析】因?yàn)槌槿W(xué)號(hào)是以5為公差的等差數(shù)列，

故采用的抽樣方法應(yīng)是系統(tǒng)抽樣.

3.某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二

780人、高三"人中，抽取35人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為13,則〃=()

A.660B.720C.780D.800

【答案】B

【解析】解得“=720.

600+780+;1780

4.從2010名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，若采用下面的方法選取：先用簡(jiǎn)單隨機(jī)

抽樣從2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人，則在2010人

中，每人入選的概率()

A.不全相等B.均不相等C.都相等，且為工D.都相等，且為上

20140

【答案】c

【解析】從2010名學(xué)生中選取50名學(xué)生，不論采用何種抽樣方法，每名學(xué)生被抽到的可

能性均相同，誰(shuí)被剔除或被選中都是機(jī)會(huì)均等的，

二每人入選的概率都相等，且為旦=二.

2010201

考點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【方法技巧】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：

(1)被抽取樣本的總體中的個(gè)體數(shù)N是有限的；

(2)抽取的樣本是從總體中逐個(gè)抽取的；

(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣；

(4)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種等可能的抽樣.

如果四個(gè)特征有一個(gè)不滿足就不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

【變式】為保證質(zhì)量，檢測(cè)局抽測(cè)某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝嬰兒奶粉的肉毒桿菌含量是否達(dá)標(biāo)，

現(xiàn)從500袋中隨機(jī)抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將500袋嬰兒奶粉

按000,001,…，499進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第26列的數(shù)開(kāi)始，按三位數(shù)連續(xù)向

右讀取，最先檢驗(yàn)的5袋奶粉的號(hào)碼是(下面摘取了此隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)()

84421753315724550688770474476721763

35025839212067663016478591695556719

98105071851286735807443952387933211

A.455068047447176B.169105071286443

C.050358074439332D.447176335025212

【答案】B

【解析】第8行第26列的數(shù)是1,依次是三位數(shù)：

169,555,671,998,105,071,851,286,735,807,443,

而555,671,998,851,735,807超過(guò)最大編號(hào)499,故刪掉，

所以最先檢測(cè)的5袋奶粉的號(hào)碼為169,105,071,286,443.

【方法技巧】在利用隨機(jī)數(shù)表法抽樣的過(guò)程中注意：

(1)編號(hào)要求數(shù)位相同.

(2)第一個(gè)數(shù)字的抽取是隨機(jī)的.

(3)讀數(shù)的方向是任意的，且事先定好的.

(4)在讀的過(guò)程中，得到的號(hào)碼若不在編號(hào)中，則跳過(guò)，若在編號(hào)中，則取出,

如果得到的號(hào)碼前面已經(jīng)取出，也跳過(guò)，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止.

考點(diǎn)二分層抽樣

【例2］最新高考改革方案已在上海和浙江實(shí)施，某教育機(jī)構(gòu)為了解我省廣大師生對(duì)新高考

改革方案的看法，對(duì)某市部分學(xué)校500名師生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

贊成改革不贊成改革無(wú)所謂

教師120y40

學(xué)生XZ130

在全體師生中隨機(jī)抽取1名“贊成改革”的人是學(xué)生的概率為0.3,且z=2y.

(1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“不贊

成改革”的教師和學(xué)生人數(shù)各是多少？

(2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行座談，求至少有1名教師

被選出的概率.

【解析】(1)由題意知金=0.3,

:.x=150,；?y+z=60,

■

:z=2y9.*?y=209z—40.

則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師人數(shù)為—x20=2,

500

應(yīng)抽(2)所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a,b,4名學(xué)生記為1,2,3,4,隨機(jī)選出3

人的不同選法有：3,b,l),(a,b,2),(a,43),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),3,2,3),

3,2,4),(a,3,4),3,1,2),(41,3),(ft,1,4),(瓦2,3),3,2,4),3,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),

(2,3,4),共20種，

至少有1名教師的選法有：3,b,l),(a,b,2),(a,43),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3)，3,1,4),

3,2,3),(a,2,4),(a,3,4),3,1,2),3,1,3),3,1,4),3,2,3),3,2,4),(43,4),共16種，

164

故至少有1名教師被選出的概率P=—=~.

205

取“不贊成改革”的學(xué)生人數(shù)為士義40=4.

500

【方法技巧】進(jìn)行分層抽樣時(shí)的注意點(diǎn)

(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要

小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊.

⑵為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同.

【變式】為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，我省某中學(xué)重視學(xué)生社團(tuán)文化建設(shè)，現(xiàn)用分層抽樣的

方法從“海濟(jì)社”，“話劇社”，“動(dòng)漫社”，“彩虹文藝社”四個(gè)社團(tuán)中抽取若干人組

成社團(tuán)管理小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位：人)：

社團(tuán)相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)

海濟(jì)社140a

話劇社b1

動(dòng)漫社1053

彩虹文藝社70C

(1)求a,b,c的值；

(2)若從“海濟(jì)社”，“彩虹文藝社”社團(tuán)已抽取的人中任意抽取2人擔(dān)任管理小組組長(zhǎng)，

求這2人來(lái)自不同社團(tuán)的概率.

【解析】(1)由已知得g=工=二=￡,解得a=4,0=35,c=2.

140b10570

(2)設(shè)“海濟(jì)社”已抽取的4人分別為4，&，4,4；

“彩虹文藝社”已抽取的2人分別為

從中任選2人的所有基本事件為A4，AA9W99A^294A，44，4片，

人與，A3A4f4與，4與944fA4B29B]B29共15個(gè)，

其中2人來(lái)自不同社團(tuán)的基本事件為44,4與，4片，4g2，，44,4不，4片，

Q

A4B2,共8個(gè)，,2人來(lái)自不同社團(tuán)的概率為P=百.

1.從編號(hào)為001,002,…，500的500個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本

中編號(hào)最小的兩個(gè)編號(hào)分別為007,032,則樣本中最大的編號(hào)應(yīng)該為(C)

A.480B.481C.482D.483

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本的編號(hào)成等差數(shù)列，

令q=7,=32,d—25,/.7+25(〃—1)<500,

：.n<20,最大編號(hào)為7+25x19=482.

2.某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，

在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為(B)

A.90B.100C.180D.300

【解析】總體中青年教師與

>160016

老年教師比例為----=一，

9009

設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為X,

則型=電，解得％=180.

x9

類(lèi)別人數(shù)

老年教師900

中年教師1800

青年教師1600

合計(jì)4300

3.某校高一年級(jí)有900名學(xué)生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年

級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為_(kāi)25

【解析】由題意得抽樣比例為4±5=上1，

90020

故應(yīng)抽取的男生人數(shù)為500x工=25.

4.已知高二某班學(xué)生語(yǔ)文與數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表，若抽取學(xué)生n人,

成績(jī)分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)x,y分別表示語(yǔ)文成績(jī)與數(shù)學(xué)成

績(jī).例如：表中語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?等級(jí)的共有20+18+4=42人.已知x與y均為5等級(jí)的概

率是0.18.

\點(diǎn)〃

人數(shù)X語(yǔ)

（1）求抽取的學(xué)生人數(shù)；

加C&

（2）設(shè)該樣本中，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀率

是30%,求。力值；

（3）已知。之108之8,求語(yǔ)文成績(jī)

為A等級(jí)的總?cè)藬?shù)比語(yǔ)文成績(jī)?yōu)镃7d20-52

等級(jí)的總?cè)藬?shù)少的概率.

如9小18P加

【解析】（1）由題意可知、=0.18,白b。

n

故抽取的學(xué)生人數(shù)是100.

(2)由(1)知〃=100,7\9*=03,故。=14,

100

而7+9+a+20+18+4+5+6+A=100,故》=17.

（3）設(shè)“語(yǔ)文成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的總?cè)藬?shù)比語(yǔ)文成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的總?cè)藬?shù)少”為事件A,

由(2)易知a+Z?=31,S.a>10,b>8,

滿足條件的(。/)有

(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),

(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),

(20,11),(21,10),(22,9),(23,8),共有14組,

3

其中〃+112+16的有3組'則所求概率為尸⑷=彳

5.衡水市某縣區(qū)共有甲、乙、丙三所高中的高三文科學(xué)生共有800人，各學(xué)校男、女生人

數(shù)如下表：

已知在三所高中的所有高三文科學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到乙高中女生的概率為0.2.

甲高中乙高中丙高中

女生153Xy

男生9790Z

(1)求表中x的值；

(2)衡水市第一次調(diào)研考試后，該縣區(qū)決定從三所高中的所有高三文科學(xué)生中利用隨機(jī)數(shù)

表法抽取100人進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析，先將800人按001,002,800進(jìn)行編號(hào).

如果從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀