高二數(shù)學講義（人教A版2019）311橢圓及其標準方程（六大題型）

3.1.1橢圓及其標準方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：橢圓的定義與標準方程 4題型二：橢圓方程的充要條件 7題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題 9題型四：橢圓上兩點距離的最值問題 12題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題 15題型六：利用第一定義求解軌跡 19

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（），這個動點的軌跡叫橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距．知識點詮釋：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形．知識點二：橢圓的標準方程標準方程的推導：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模詢啥c、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系（如圖）．設（），為橢圓上任意一點，則有．（2）點的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡方程由可得，則得方程關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標準方程．它表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是．這里．橢圓的標準方程：（1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；（2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；知識點詮釋：（1）這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；（2）在橢圓的兩種標準方程中，都有和；（3）橢圓的焦點總在長軸上．當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；（4）在兩種標準方程中，因為，所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題．【典型例題】題型一：橢圓的定義與標準方程【典例11】已知橢圓經(jīng)過點，，則的標準方程為．【答案】【解析】設，則，解得，所以的標準方程為，故答案為：.【典例12】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點，則它的標準方程為．【答案】【解析】因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為，由橢圓的定義知，所以．又因為，所以，所以橢圓的標準方程為.故答案為：.【方法技巧與總結】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.②與橢圓共焦點的橢圓可設為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.【變式11】（2024·高二·重慶·階段練習）已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經(jīng)過點，則它的標準方程是.【答案】【解析】設橢圓方程為，則，解得，故橢圓方程為.故答案為：【變式12】（2024·高二·安徽黃山·期中）已知橢圓的焦距為6，且短軸的一個頂點為，則橢圓的標準方程為．【答案】【解析】由焦距為6可知，即可得，又短軸的一個頂點為，即可得，所以可得，且焦點在軸上；因此可得橢圓的標準方程為.故答案為：【變式13】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習）求出適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：(1)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經(jīng)過點；(2)兩個焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程(3)過點，且與橢圓有相同焦點橢圓方程.；【解析】（1）由題意可得，設橢圓方程為，由點在橢圓上可得，又，由以上兩式消去并整理可得，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為，（2）設橢圓方程為，由題意可得，解得，所以橢圓方程為，（3）由題意可設橢圓方程為，代入，可得，整理可得，解得或（舍去）所以橢圓方程為，題型二：橢圓方程的充要條件【典例21】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習）若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．【答案】D【解析】，即，因為方程表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得.故選：.【典例22】（2024·高二·福建三明·階段練習）已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得.故選：B.【方法技巧與總結】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.【變式21】（2024·高二·江西·階段練習）若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為方程表示橢圓，所以，解得，故選：D.【變式22】（2024·高二·云南昆明·階段練習）方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】若表示橢圓，則有，解得或.故選：D.【變式23】（2024·高二·江蘇南京·期末）已知方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，解得或故選：D【變式24】（2024·高二·河南·階段練習）若曲線表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為曲線表示橢圓，即表示橢圓則應滿足即．故選：D．題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題【典例31】（2024·高二·廣西桂林·期中）已知橢圓的兩個焦點為上有一點，則的周長為（

）A． B．20 C． D．16【答案】B【解析】因為，，所以，故的周長為．故選：B．【典例32】（2024·高二·貴州六盤水·期中）設，分別為橢圓：的兩個焦點，過且不與坐標軸重合的直線橢圓C于A，B兩點，則的周長為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】根據(jù)題意，橢圓中，根據(jù)橢圓定義，的周長為.故選：C【方法技巧與總結】焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.【變式31】（2024·高二·河南南陽·階段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上.若，則的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】D【解析】由橢圓定義可得，又因為，所以由勾股定理可得，即，解得，則的面積為.故選：D.【變式32】（2024·高二·云南保山·階段練習）設為橢圓的兩個焦點，點在此橢圓上，且，則的面積為（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【解析】設Px,y，則滿足，取，因為，所以，即，聯(lián)立，解得，則的面積，故選：C【變式33】（2024·高二·吉林延邊·期中）點P是橢圓上一點，，是橢圓的兩個焦點，且的內(nèi)切圓半徑為1，當點P在第一象限時，P點的縱坐標為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，所以，設的內(nèi)切圓半徑為，因為所以，得.故選：B【變式34】（2024·高二·天津·階段練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由可得：，則橢圓得長軸長為，，可設，，由題意可知，，，，，△是直角三角形，其面積．故選：B．【變式35】（2024·高二·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點分別為、．若橢圓上有一點P，使，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，不妨設，由點在橢圓上可得：①，由余弦定理可得：，化簡得：②，由①式兩邊平方再減去②式，得：，于是的面積為.故選：D.【變式36】（2024·高二·山西大同·期末）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是坐標原點，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】橢圓的半焦距，則，設點，于是，消去得，所以的面積.故選：C題型四：橢圓上兩點距離的最值問題【典例41】（2024·高二·全國·隨堂練習）設為橢圓上的任意一點，，為其上、下焦點，則的最大值是（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】橢圓，故，故，當且僅當時，等號成立.故選：C【典例42】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左焦點為為上任意一點，則的最大值為（

）A．5 B．9 C．10 D．18【答案】B【解析】易知，設，則，可得，所以；由二次函數(shù)性質(zhì)可得當時，取得最大值為9.故選：B【方法技巧與總結】利用幾何意義進行轉化【變式41】（2024·高二·安徽·期中）已知橢圓的左焦點為，若點P在橢圓C上，則的最大值為（

）A．1 B．5 C．7 D．【答案】C【解析】依題意，，，則，，設，所以：，又因為：，所以：，因為：，所以當時，有最大值：，故C項正確.故選：C．【變式42】（2024·湖南·二模）已知分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】，因為橢圓上的點滿足，當點為的延長線與的交點時，取得最大值，最大值為．所以的最大值為16．故選：B．【變式43】（2024·高二·浙江·期中）已知點為橢圓:的右焦點，點是橢圓上的動點，點是圓上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是.故選：C.【變式44】（2024·高二·江蘇南通·階段練習）為橢圓：上一點，，則最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】設，則，由于，故當時，取最小值，故選：D【變式45】（2024·陜西西安·一模）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】設圓的圓心為，則，設，則，所以，當且僅當時取得最大值，所以．故選：B．.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題【典例51】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知為橢圓的右焦點，是橢圓上一動點，點為圓上一動點，則的最大值是.【答案】10【解析】設點為橢圓的左焦點，點為圓的圓心，點為圓外的點，的最大值為,,即，的最大值為，如圖，當四點共線時,“=”成立，，,,所以的最大值為.故答案為：10【典例52】（2024·高二·遼寧沈陽·期末）已知，，動點滿足，若，則的范圍為．【答案】【解析】由橢圓的定義可知動點的軌跡為橢圓，且，，所以，又由三角形的性質(zhì)可知，當且僅當共線時等號成立，所以，所以，故答案為：【方法技巧與總結】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．【變式51】（2024·高二·全國·專題練習）已知P是橢圓上一點，點P在直線l：上的射影為Q，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則的最小值為.【答案】【解析】由橢圓，可得左焦點為，則，于是，當且僅當三點共線，且P在線段上時，取得最小值，又由的最小值為點到直線的距離，所以的最小值為.故答案為：.【變式52】（2024·高二·安徽·階段練習）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，M是橢圓上的動點，點A(1，1)，則的最大值是.【答案】5【解析】設橢圓的半焦距為cc>0，則，，所以F1-1,0，F(xiàn)2所以MA+如圖，因為MA-MF2≤AF所以MA+所以MA+MF故答案為：5【變式53】（2024·高二·全國·期末）已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.【答案】/【解析】由為橢圓上任意一點，則MF1又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），∴，當且僅當M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為．故答案為：．【變式54】（2024·高二·四川綿陽·期中）已知是橢圓的左焦點，是橢圓上的動點，點，則的最小值為.【答案】/【解析】不妨設橢圓的右焦點，因為點是橢圓上的動點，所以，則，當且僅當，，三點共線時，等號成立，又，則的最小值為．故答案為：．【變式55】（2024·高二·陜西咸陽·期中）已知點，，分別是橢圓：的左，右焦點，P是橢圓C上的一動點，則的最小值是.【答案】【解析】由橢圓方程可知，橢圓長軸長，則，當且僅當P是線段與橢圓的交點時取得最小值.故答案為：.題型六：利用第一定義求解軌跡【典例61】（2024·高二·吉林長春·階段練習）已知點和點，是動點，且直線與的斜率之積等于，則動點的軌跡方程為．【答案】【解析】設動點的坐標為，又，，所以的斜率，的斜率，由題意可得，化簡，得點的軌跡方程為.故答案為：【典例62】（2024·高二·山東青島·期中）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】設動圓的圓心，半徑為，又由圓得，圓心，半徑，由圓得，圓心，半徑，由已知得，兩式相加消去可得，根據(jù)橢圓定義可得動圓圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，設為其中，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【方法技巧與總結】常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當看到滿足以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.【變式61】（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】設圓的半徑為，則，則，所以點的軌跡為以A，B為焦點，長軸長為6的橢圓．則，所以，所以動圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.【變式62】（2024·高二·天津紅橋·階段練習）如圖：已知圓內(nèi)有一點，Q是圓C上的任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ相交點M，當點Q在圓C上運動時，點M的軌跡方程為【答案】【解析】連接，由線段的垂直平分線與相交點M，可得，則有，所以點M的軌跡是以為焦點，以5為長軸長的橢圓，則，即，所以點M的軌跡方程為：，即，故答案為：.【變式63】（2024·高二·寧夏石嘴山·階段練習）已知圓E：，點，P是圓E上的任意一點，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點Q，則動點Q的軌跡方程為．【答案】【解析】連結QF，根據(jù)題意，，則，故Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，設橢圓方程為，則有所以，則，所以點Q的軌跡方程為．故答案為：．【變式64】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知，過點且斜率不為零的直線交于，兩點，過點作交于，則；點的軌跡方程為．【答案】【解析】如圖所示，由的方程得圓心，半徑為，因為，所以，又，所以，則，所以，又，所以，又斜率不為，所以點不在軸上，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且點不在軸上，則，，所以，即點的軌跡方程為，故答案為：，.【變式65】（2024·高二·上?！て谀┮阎獧E圓上有一點，是軸上的定點，若有一點滿足，則的軌跡方程為．【答案】【解析】設是所求軌跡上的一點，且，因為，且，可得，即，可得，代入橢圓，可得，整理得，所以點的軌跡方程為.故答案為：.【變式66】（2024·高二·福建