四川省眉山市第一中學(xué)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)試題

2022級高三一診模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的基本運(yùn)算即可得出結(jié)果.詳解】由集合即可得.故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得，進(jìn)而可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由已知，則，即復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C.3.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，成等差數(shù)列，則的公比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)出公比，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，則，由，，為等差數(shù)列，則，即，所以，整理得，解得或（舍去）.故選：C.4.函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，若在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，先由f（x+1）＝﹣f（x）確定函數(shù)的周期為2，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與在[﹣1，0]上單調(diào)遞減，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴函數(shù)的周期是2；又f（x）在定義域R上是偶函數(shù)，在[﹣1，0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)，在[3，4]上是減函數(shù)，在[4，5]上是增函數(shù)，∴f（x）在[3，5]上是先減后增的函數(shù)；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的周期性，關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期．5.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)；且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點(diǎn)，則的值是（）A.2 B.3 C.5 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，以及根據(jù)余弦函數(shù)的零點(diǎn)，列式求的值.【詳解】，為偶函數(shù)，所以，，，，當(dāng)，，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)僅有兩個零點(diǎn)，所以，得，則.故選：A6.放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為，（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】詳解】由題意可得，計算即可得解.【分析】由題意可得，即，即.故選：A.7.若函數(shù)在時取得極小值，則的極大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極小值的定義建立方程求得參數(shù)，還原函數(shù)解析式明確定義域，求導(dǎo)列表，可得答案.【詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由題意可得，則，解得，所以，則，，令，解得或2，可得下表：12正0負(fù)0正單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則函數(shù)的極大值為.故選：D.8.在等邊三角形的三邊上各取一點(diǎn)，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，設(shè)，，在、分別利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，即可求出三角形面積最大值.【詳解】因?yàn)?，，，所以，設(shè)，，則，，，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，所以（其中），所以，則，即三角形的面積的最大值是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是用含的式子表示出、，再利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，進(jìn)而求出三角形面積最大值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，則（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AD【解析】【分析】用二倍角公式化簡，向右平移后得，代入正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心分別對四個選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋蛴移揭苽€單位得，則最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；對于B，當(dāng)時，，由于在不單調(diào)，故在上不單調(diào)，故B選項(xiàng)錯誤；對于C，時，，即的圖象不關(guān)于直線對稱，C選項(xiàng)錯誤；對于D，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，時，即為，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.10.如圖，是邊長為的等邊三角形，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上（含端點(diǎn)），設(shè)，則（）A.的值不可能大于 B.C.的最小值為 D.的最大值為1【答案】BD【解析】【分析】對于A，利用反例，結(jié)合平面向量的基本定理，作平行四邊形，可得答案；對于B，根據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，可得答案；對于C、D，利用平面向量的線性運(yùn)算，整理所求數(shù)量積僅僅只有一個變量，根據(jù)三角函數(shù)的值域，可得答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作交于，作圖如下：在平行四邊形中，，由，則，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，，故B正確；對于C、D選項(xiàng)，取線段中點(diǎn)，連接，，作圖如下：，在等邊三角形中，易知，所以，，則，設(shè)與的夾角為，易知，則，所以，故C選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.已知數(shù)列滿足，，且，則（）A. B.C.當(dāng)時， D.【答案】ACD【解析】【詳解】根據(jù)三角恒等變換計算得，再利用累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為判斷AB；根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性判斷C；由同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性推理D.【分析】對于B，由，得，即，整理得，當(dāng)時，，滿足上式，因此，B錯誤；對于A，，即，又，解得，A正確；對于C，當(dāng)時，，又，因此，即，C正確；對于D，由，得，又，，因此，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，因此，即，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)恒等變換以及累乘法得出數(shù)列滿足，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性以及平方關(guān)系計算可得相應(yīng)結(jié)論.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.求值________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】.故答案為：13.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有2個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性可得的解集中有且僅有2個整數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后可得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】設(shè)，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的奇函數(shù)，又，由不等式可化為，即，故，故的解集中有且僅有2個整數(shù)，故的解集中有且僅有2個整數(shù)，設(shè)，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為不等式的解集中的整數(shù)個數(shù)問題.14.已知函數(shù)，若，且，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【詳解】將條件轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，再轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，可得結(jié)論.【分析】不妨設(shè)，則不等式可化為，所以，設(shè)，由已知可得在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，滿足，即，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將條件轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在上恒成立.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，，且向量與共線.（1）證明：；（2）求與夾角的余弦值；（3）若，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線得，列方程組解出，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示證明即可；（2）利用及向量數(shù)量積和模長的坐標(biāo)表示求解即可；（3）利用向量數(shù)量積運(yùn)算律求解即可【小問1詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，則，解得，所以，，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1）得，所以，即與夾角的余弦值為.【小問3詳解】因?yàn)?，，，所以，解?16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且.（1）求；（2）若的外接圓半徑為，周長為，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)弦切互化以及和差角公式可得，即可結(jié)合正弦定理求解；（2）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可利用三角恒等變換求解.【小問1詳解】因?yàn)?，故，所?因?yàn)?，所以，又，所?【小問2詳解】由正弦定理可知，，，因?yàn)?，所以，所?所以.又，所以，所以，故.17.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義可得出，在等式兩邊同時除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯位相減法可求得.【小問1詳解】因?yàn)槭且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，所以，所以，。則，上述兩個等式作差可得，故.18.已知函數(shù).（1）求過點(diǎn)的圖象的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，均有恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可得解；（2）將問題化為方程有兩個不相等的正數(shù)根，再利用二次函數(shù)根的分布即可得解；（3）利用參變分離法與構(gòu)造函數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)與隱零點(diǎn)求得的最大值的取值范圍，從而得解.【小問1詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程，得，則，，過點(diǎn)的切線方程為.【小問2詳解】，，令，要使存在兩個極值點(diǎn)，，則方程有兩個不相等的正數(shù)根，，所以，解得，所以的取值范圍為.【小問3詳解】由于在上恒成立，在上恒成立，令，則在上恒成立，則，當(dāng)時，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，存在使得，即，，故當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，令，，則，在上單調(diào)遞增，，又為整數(shù)，故，即整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決不等式恒成立問題的常用方法通過分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，即若或恒成立，只需滿足或即可，然后利用導(dǎo)數(shù)方法求出的最小值或的最大值，從而問題得解.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù)；（2）設(shè)，函數(shù).（i）判斷的單調(diào)性；（ii）若，求的最小值.【答案】（1）2個（2）（i）在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；（ii）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得結(jié)論；（2）（i）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（ii）利用得到是關(guān)于的方程的兩個不同的實(shí)根，從而得到，，即，從而表示出，