上海新川中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

上海新川中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知月，工分別為雙曲線c：￡—?=/〉o）的左、右焦點，過E的直線/與雙曲線。的左、右兩支分別

交于A8兩點，若4瓜3工=0,禺==,則雙曲線C的離心率為（）

|隹|5

A.V13B.4C.2D.V3

2.己知函數(shù)〃x）=cosxsin2x,下列結(jié)論不正確的是（）

A.y=/（x）的圖像關(guān)于點（再0）中心對稱B.），=/（"既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

C.y=f（x）的圖像關(guān)于直線X對稱D.y=/（x）的最大值是正

3.函數(shù)/。）=/一一+無的圖象在點0J⑴）處的切線為/,貝I"在）,軸上的截距為（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知命題p：若b>c>\,則log/,log,。；命題《：3X（1（0,-HX）,使得2"<logs/”，則以下命題為真

命題的是（）

A.〃八qB.c.八qD.（力）八（r）

rrjr

5.已知函數(shù)/（x）=sin（2x—：）的圖象向左平移0（。>0）個單位后得到函數(shù)g（x）=sin（2x+—）的圖象，則夕的最小

44

值為（）

713兀兀5萬

A.-B.—C.-D.—

4828

22

6.設(shè)毋，K是雙曲線C：*-/=1（〃>0力>0）的左，右焦點，。是坐標(biāo)原點，過點用作。的一條漸近線的垂

線，垂足為尸.若則C的離心率為（）

A.V2B.6C.2D.3

7.在AABC中，內(nèi)角A,6,C所對的邊分別為a/,c,若一^,一^,一1^依次成等差數(shù)列，則（）

tanAtanBtanC

A.依次成等差數(shù)列B.JZ,〃，及依次成等差數(shù)列

C.依次成等差數(shù)列D.依次成等差數(shù)列

8.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑支，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭

各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它?/p>

向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自

水下的概率為（）

9.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X。>'中，尸是橢圓’■+今=1（〃>〃>0）的右焦點，直線），=與與橢圓交于6,。兩

點，且NBFC=90。,則該橢圓的離心率是（）

IF

3

4

10.已知a,b￡R,3+ai=b-(2a-1)i,則()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=\2a

11.甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀(jì)最大，乙說：我年紀(jì)最大，丙說：乙年紀(jì)最大，丁說：我不是年紀(jì)最大的，若這

四人中只有一個人說的是真話，則年紀(jì)最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

12.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

丫2A+1

13.若雙曲線C：與一4=1（。>0,h>0）的頂點到漸近線的距離為不，則一尸一的最小值_______，

a2b22&

14.如圖所示，平面BCGB」平面ABC,ZABC=120°,四邊形BCGBi為正方形，且AB=BC=2,則異面直線BG

與AC所成角的余弦值為

15.如圖所示，直角坐標(biāo)系中網(wǎng)格小正方形的邊長為1,若向量〃、/?、c滿足（2。+方）=0,則實數(shù)，的值為

16.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝中，S”為其前〃項和，若名=1，且S，=S2+2,則公比9的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=cos0x'=2x

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。)中，將曲線G：1.八(。為參數(shù))通過伸縮變換J,,得到曲線G，

Ij=sinc/y=)

x=2+tcosa

r-(/為參數(shù))與曲線。2相交于不同兩點A，B.

{y=，3+/sina

TT

(1)若戊=求線段4笈的中點M的坐標(biāo)；

3

(2)設(shè)點P(2,@,若|尸4■尸耳=|。葉,求直線/的斜率.

18.(12分)己知奇函數(shù)/(x)的定義域為R,且當(dāng)xw(O,”)時，/("=/一1+1.

(1)求函數(shù)/(大)的解析式；

(2)記函數(shù)g(x)=/(x)-〃吠+1,若函數(shù)g(x)有3個零點，求實數(shù)機的取值范圍.

19.(12分)如圖，三棱柱ABC-ABC的所有棱長均相等，B1在底面ABC上的投影。在棱BC上，且4出〃平面

ADC}

(I)證明：平面AOG_L平面BCCM；

(II)求直線A3與平面AOG所成角的余弦值.

20.(12分)已知a,b,cwR*,a+b+c=\,求證：

⑴\[a+\/b-i-y/c<>/3;

,、111、3

(2)-----1------1-----N-.

3。+13/?+l3c+\2

21.(12分)已知拋物線G:)?=2px,焦懸為F,直線/交拋物線G于AB兩點，交拋物線G的準(zhǔn)線于點C,如圖

Q

所示，當(dāng)直線/經(jīng)過焦點”時，點/恰好是AC的中點，且忸。=*

（1）求拋物線G的方程；

（2）點。是原點，設(shè)直線0403的斜率分別是K，區(qū),當(dāng)直線/的縱截距為1時，有數(shù)列｛4｝滿足

a.=Vk=-\6%T￡=4（%+2）2,設(shè)數(shù)列，念-，的前〃項和為S”，己知存在正整數(shù)加使得/〃<邑020<“7+1，

求m的值.

22.（10分）aA6c的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為“，b,ct已知（a+2c）cos8+hcosA=O.

（1）求B；

（2）若8=4,求A4C的面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由已知得A8J.8%,四周二4］，由已知比值得|A周=5x,|A叫=3x,再利用雙曲線的定義可用。表示出|A用，

|A^|,用勾股定理得出4。的等式，從而得離心率.

【詳解】

——...8居4

.,.可令忸圖二4x,則|A用=5x,|A同=3x.設(shè)

ABBF2=0,AB"BF?工0,ZABF2=90°.又?:,

|人婿=7,得|八用人耳|=忸阡］—忸周=2a,即5xT=（3x+，）_4x=2々，解得f=3a,x=a,

???忸周=4%忸耳|=|AB|+|A耳|=6a,

由忸制?+忸圖2=舊周2得(6〃)2+(4Q)2=(2C)2,C2=13A2,C=而〃，.,.該雙曲線的離心率C=.

故選：A.

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為。得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點A8到

焦點的距離都用。表示出來，從而再由勾股定理建立a，c的關(guān)系.

2、D

【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性，函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：A:f(2TT-x)=COS(2-T-x)sin2(2^-x)=-cos.rsin2x=-f(x),正確；

B:/(-x)=cos(-x)sin2(-x)=-cosxsinlx=-/(x),為奇函數(shù)，周期函數(shù)，正確;

C:f[7r-x)=COS(TT-x)sin2(萬-Jt)=cosxsinlx-f(x),正確；

D：y=2sinxcos2x=2sinx-2sin3x,令/=sinx,fw|-1,1]則g(。=2，-2/,g,(t)=2-6r,re[-l,1],則

立或1>/>立時/(/)<1),即g(/)在39

上單調(diào)遞增，在

333'3

苧〈孝，故D錯誤.

=g

【點睛】

本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值，屬于中檔題.

3、A

【解析】

求出函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在(1,/(1))處的切線方程，從而可求切線的縱截距.

【詳解】

2

f\x)=3x-2x+\f故/⑴=2,

所以曲線y=/(x)在處的切線方程為：y=2(x-l)+/(l)=2x-l.

令x=0,則)，二-1,故切線的縱截距為一1.

故選：A.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與>軸交點的縱坐標(biāo)，因此截距有正有負(fù)，本題

屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

先判斷命題〃M的真假，進而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【詳解】

.1,111

Ioa

---->g<-=-,因為。>1,b>c>\f所以。<108/<108)，所以?;------->--------,即命題p

log*----------log“c------------------------------------------------log/logrtb

為真命題；畫出函數(shù))，=2、和y=log，x圖象，知命題q為假命題，所以〃八(1q)為真.

故選:B.

【點睛】

本題考杳真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題〃國的真假，難度較易.

5、A

【解析】

首先求得平移后的函數(shù)g(x)=sin2x+2e-?,再根據(jù)sin(2x+2°-?)=sin2x+7求°的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，/(x)的圖象向左平移*個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)

7乃1717T

g(x)=sin2(x+(p)——=sin(2x+2?！?=sin(2x+—),

4444

所以功-表2時+》出所以右k兀吟,k".又叱。，所以。的最小值為；

故選：A

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式，意在考查平移變換，屬于基礎(chǔ)題型.

6、B

【解析】

設(shè)過點鳥(c,o)作＞=的垂線，其方程為)，二—￡(x—c),聯(lián)立方程，求得“二土，y=?,即由

\PF]=46\OP\f列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過點鳥(c,0)作y=，x的垂線，其方程為y=-](_r—c),

b

y=-x./2.\

由a42a~abpaab

由/解得x=—,y=一,即/一,一,

a(\cc[cc)

y=--[x-c)v7

22

.IDI7I_注lea在I、I七C/6,fa,ab

由|P同二。6|。h|,所以有--;--F---FC—6—H...-,

C\C/\CC)

化簡得3力=。2,所以離心率e=_￡=G.

a

故選：B.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得2cos8=」^—,由正弦定理可得

sinAsinC

2acos6=從，再由余弦定理可得/—C2=2〃，從而可得結(jié)果.

【詳解】

—,—^；,二；依次成等差數(shù)列，

tanAtanBtanC

I1_2cosAsinC-sinAcosC_sin(A+C)_sinB2cos8

??十—,———9

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

2cos八sin”正弦定理得2a8s3=從，

sinAsinC

由余弦定理得〃+c2=e，/+C.2=2〃，即/,從42依次成等差數(shù)列，故選C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦

定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的

式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

8、C

【解析】

由題意知：BC=2,9。=5,設(shè)4C=x,貝iJA3=A3'=x+2,在RtqAC?中，列勾股方程可解得心然后由

X

P=—;得出答案.

x+2

【詳解】

解：由題意知：BC=2,B'C=5,設(shè)AC=x,貝==

921

在Rt,ACB'中，列勾股方程得：52+X2=(X+2)\解得X=]

21

Y~~721

所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為P=--=不=—

x+2I229

4-

故選C.

【點睛】

本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得8和C的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得3c2=24,由離心率定義可得結(jié)

果.

【詳解】

二+￡

由。得2，所以B

)rDb

fGbh

由題意知尸(c,0),所以BF=c+——a,——CF=\c--a

2222

因為N3W=90。,所以BF±C尸，所以

（Ji\2

從23cr-c3，12八

BFCF=c+—ac---6---a1c，--a2+---------=-c———Q-=0.

2244442

所以3c2=2/，所以6=￡二^^，

a3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實部與虛部對應(yīng)相等.

【詳解】

由3+由=b-（勿-1）/,

3=b

得i

a=\-2a

：,b=9a.

故選：C.

【點睛】

本題考有復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話，結(jié)合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀(jì)最大者，即可求得答

案.

【詳解】

①假設(shè)甲說的是真話，則年紀(jì)最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而」說的是真話，而已知只有一個人說的是真話,

故甲說的不是真話，年紀(jì)最大的不是甲；

②假設(shè)乙說的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故

乙說謊，年紀(jì)最大的也不是乙；

③假設(shè)丙說的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而己知只有一個人說的是真話，

故丙在說謊，年紀(jì)最大的也不是乙；

④假設(shè)丁說的是真話，則年紀(jì)最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀(jì)最大

的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀(jì)最大的，年紀(jì)最大的只有一人，所以只有閃才是年紀(jì)最大的，故假設(shè)成立，年

紀(jì)最大的是丙.

綜上所述，年紀(jì)最大的是丙

故選：C.

【點睛】

本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說明這種情形不會發(fā)生，考查了分析能力和推理

能力，屬于中檔題.

12、A

【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計算體積.

【詳解】

由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2,

flQ

直觀圖如圖所示，V=-x2x2x2=-.

33

故選：A.

【點睛】

本題考杳三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線y=頂點（氏0）,再利用點到直線的距離公式可得c=2a,由

b2+1c2-a2+\

利用基本不等式即可求解.

Ga\[3a\l3a

【詳解】

由雙曲線c：與一與=1(a>0,b>0,

a'b2

可得一條漸近線y=一個頂點（〃,0）,

\ab\\ab\b

所以1,=—=解得c=2〃，

>Ja-+b2c2

b2+\c2-a2+\3/+1

則=y/3Cl4—f=—22,

y/3aGay/3a

當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時，取等號,

3

所以罕1的最小值為2.

y/3a

故答案為：2

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點到直線的距離公式、基本不等式求最值，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.

14'V

【解析】

將AC平移到和BQ相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.

【詳解】

過5作8O//AC,過。作CQ//A3,畫出圖像如下圖所示，由于四邊形A3C。是平行四邊形，故.BDHAC,所

以NC/。是所求線線角或其補角.在三角形AC；。中，忸G|=|CQ|=2&,8O=2JL故

ssNC\BD=8+卜8迎.

2x2V2x2V34

【點睛】

本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

3

15、——

2

【解析】

根據(jù)圖示分析出〃、8、C的坐標(biāo)表示，然后根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積為零計算出/的取值.

【詳解】

由圖可知：?=（l,2）,/?=（3,l）,c=（4,4）,所以2a+法=（2+3f,4+z）,

又因為（2。+仍）十二。，所以8+12f+16+4/=0,

3

所以￡=——?

2

故答案為：—5?

【點睛】

本題考查向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運算，難度較易.已知。=（%,），1）/=（%，%），若a上人則有

西/+,%二0?

>/5-1

2

【解析】

將已知由前〃項和定義整理為/+%+%=2,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列｛可｝各項均為正數(shù)，舍根得

解.

【詳解】

因為=S2+2nq+a2+見+/+%=4+/+2=4+4+%=2

即由+q+。3?寸=2=+4—1=0=q=—'；

又等比數(shù)列｛q｝各項均為正數(shù)，故夕=告1

故答案為：避二1

2

【點睛】

本題考查在等比數(shù)列中由前〃項和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）（j|,_當(dāng)）;（2）手.

【解析】

（1）由，參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、8兩點參數(shù)和，再利用M點的參數(shù)為4、8兩點參數(shù)和的一半即可求M

的坐標(biāo)；

（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到|94卜|即，再利用|必卜|尸耳=|0葉=7計算即可，但要注意判別式還要大

于0.

【詳解】

x=2cosr2、

（1）由已知，曲線C的參數(shù)方程為.八（6為參數(shù)），其普通方程為工+9=1,

y=sm〃，4

C1

x=2+-t,

當(dāng)。二\71時，將，2（，為參數(shù)）代入工+丁=1得］3/+5a+48=0,設(shè)

y=6+爭,4-

4+(228

直線/上A、8兩點所對應(yīng)的參數(shù)為乙,%,中點M所對應(yīng)的參數(shù)為“,則

213

所以M的坐標(biāo)為（j1,-坐）;

x=2+tcosar2

(2)將'代入一+^2=1^(cos2cif+4sin2or)/2+(8>/3sin6Z+4cos?)/+12=0,

y=>r/3+fsina4'

io

則儼41仔網(wǎng)=也|=------------—,因為二7即129052。+$行。)=7(85%+45m%),

coscr+4sin~tz11

所以5cos2a=16sin2a?titan2a=—,由△=(86sina+4cos儀尸一48(cos2a+4sin2a)

16

=32(25/3sinacos(7-cos2a)>0Wlana>—，所以lana=-^.

64

【點睛】

本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，考查學(xué)生的計算能力，是一道

中檔題.

X2-X4-l,X>0

18、(1)/(v)=<0,.r=0；(2)(20-l,+oo)

~x^x—1,x<0

【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義，可知/(0)=0；令工￡(-8,0)則一X￡(0,+8),結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得X￡(-OO,0)時的解

析式，進而得函數(shù)/(力的解析式；

(2)根據(jù)零點定義，可得/3=如-1,由函數(shù)圖像分析可知曲線y=/(x)與直線>=g-1在第三象限必1個交

點，因而需在第一象限有2個交點，將y=根1-1與y=f—x+i聯(lián)立，由判別式/>0及兩根之和大于0,即可求得

用的取值范圍.

【詳解】

(1)因為函數(shù)/(.()為奇函數(shù)，且xeR,故/(0)=0；

當(dāng)了￡(—,0)時，一X￡(0,y),

/(-^)=(r『-(-x)+i=x2+x+l=-/(x),

貝1」/(%)=一工2一五一1；

x2-x+l,x>0

故/(x)=<0,x=0.

一廠_x—1,x<0

(2)令g(x)=/(x)-mr+l=0,

解得/(1)="a一1，畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,

要使曲線y=/(x)與直線y=〃a-1有3個交點,

y=X2-X+l

則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立

y=tnx-\

化簡可得V-(14-/n)x+2=0,

A>()(/??+1)2-8>0

令),即

+x2=1+m>0m>-I

解得〃02及一1，

所以實數(shù)〃?的取值范圍為(2夜-1,叼).

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,

屬于中檔題.

5s

19、(I)見解析(II)

IT

【解析】

(I)連接AC交AG于點。，連接OD，由于平面4OG，得出A0II。。，根據(jù)線線位置關(guān)系得出AO_L8C,

利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出修。，結(jié)合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面AOG_L平面8CCQ：

(II)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出84=(1,6,0)和平面A/)G的法向量

〃二(-6,0,2),利用空間向量線面角公式，即可求出直線A5與平面所成角的余弦值.

【詳解】

解：(I)證明：連接AC交AG于點。，連接OD,

則平面ABCn平面ADC}=OD,

AB//平面AOC1,AB//OD,

.?0為AC的中點，二。為8。的中點，「.AOJIBC

片。_L平面ABC,

???3Cc4O=。，平面BCCM，

QA。u平面ADC.,平面ADC11平面BCC,B、

(II)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Q-x)，z,設(shè)43=2

則3（-1,0,0）,A（0,6,0）,四（0,0,C,（2,0,73）

=&（）），DA=（0,V3,0）,DCi=（2,0,5/3）

島=0

設(shè)平面AQG的法向量為〃=(x,y,z),貝卜

2x+V3z=0

取戶一石得〃=(-"(),2),

設(shè)直線AB與平面ADC,所成角為0

sin〃=cos（BAyn

「.cos”前

14

直線A3與平面Aoq所成角的余弦值為迎.

14

z

G

【點睛】

本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.

20、(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

(1)結(jié)合基本不等式向2,癡《止,而《四可證明；

222

4I~44

(2)利用基本不等式得，一十(3。十1)22，=一?(3a+1)=4,即----->3-3?,同理得其他兩個式子，三式相

367+1V367+136/4-1

加可證結(jié)論.

【詳解】

(1)?Vcib《-----,ybe?----,\Jcu?----,

222

2

A(\fa+4b+y/c)=Q+Z?+c+2\[ab+2\fbc+2\[ca

wm+b+c)+(〃+Z?)+S+c)+(c+a)=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號成立，

?**>[a+\[b+4c<\/3;

(2)由基本不等式」—+(3。+1)N2J」一?(3。+1)=4,

3a+\V3t/+i

444

>3-3w,同理------N