2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1排列第2課時排列的應(yīng)用講義新人教A版選修2-3

PAGE1-第2課時排列的應(yīng)用學(xué)問點(diǎn)排列應(yīng)用題的最基本的解法1．干脆法：以元素為考察對象，先滿意eq\o(□,\s\up4(01))特殊元素的要求，再考慮一般元素(又稱為元素分析法)；或以eq\o(□,\s\up4(02))位置為考察對象，先滿意eq\o(□,\s\up4(03))特殊位置的要求，再考慮一般位置(又稱位置分析法)．2．間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出eq\o(□,\s\up4(04))總數(shù)目，再減去eq\o(□,\s\up4(05))不符合要求的數(shù)目．3．從位置動身的“eq\o(□,\s\up4(06))特殊元素優(yōu)先考慮法”和對不相鄰問題采納的“eq\o(□,\s\up4(07))插空法”以及對相鄰問題采納的“eq\o(□,\s\up4(08))捆綁法”，是解答排列問題常用的有效方法．間接法是利用了“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，適合正面考慮狀況較困難時的題型．在解題時特殊留意不符合條件的情形，不要遺漏．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)從3,5,7,9中任取兩個數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個冪是排列問題．()(2)把12名學(xué)生分成三組參與植樹活動，共有多少分組方法是排列問題．()(3)從1,2,3中任選2個數(shù)相除可以得到不同的結(jié)果數(shù)為6.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法的種數(shù)是________．(2)沿途有四個車站，這四個車站之間須要打算不同車票________種．(3)一次演出，因臨時有改變，擬在已支配好的4個節(jié)目的基礎(chǔ)上再添加2個小品，且2個小品節(jié)目不相鄰，則不同的添加方法共有________種．答案(1)720(2)12(3)20解析(1)相當(dāng)于3個元素排在10個位置，則有Aeq\o\al(3,10)＝720種不同的分法．(2)四個車站中的任一站均可為起點(diǎn)站，也可為終點(diǎn)站，所以共有Aeq\o\al(2,4)＝12種．(3)從原來的4個節(jié)目形成的5個空中，選2個空排列，共有Aeq\o\al(2,5)＝20種添加方法．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(1))排隊(duì)問題例1有5名男生，4名女生排成一排．(1)從中選出3人排成一排，有多少種排法？(2)若甲男生不站排頭也不站排尾，則有多少種不同的排法？(3)要求女生必需站在一起，有多少種不同的排法？(4)若4名女生互不相鄰，則有多少種不同的排法？[解](1)只要從5名男生，4名女生中任選3人排列即可．所以共有Aeq\o\al(3,9)＝9×8×7＝504種排法．(2)解法一：(元素分析法)甲是特殊元素，第一步甲站在中間7個位置中的隨意一個上，有Aeq\o\al(1,7)種排法；其次步其余8人站在剩余8個位置上，有Aeq\o\al(8,8)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(8,8)＝282240種排法．解法二：(位置分析法)第一步從甲以外的8人中任選2人站在首、尾位置，有Aeq\o\al(2,8)種排法；其次步排其余7人，有Aeq\o\al(7,7)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(7,7)·Aeq\o\al(2,8)＝282240種排法．解法三：(間接法)5名男生，4名女生排成一排，共有Aeq\o\al(9,9)種排法，其中甲站排頭的排法有Aeq\o\al(8,8)種，甲站排尾的排法有Aeq\o\al(8,8)種．所以符合條件的排法有Aeq\o\al(9,9)－2Aeq\o\al(8,8)＝282240(種)．(3)女生先站在一起，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體女生視為一個元素與其他男生全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(6,6)＝17280種排法．(4)分兩步．第一步：5名男生全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次步：男生排好后，男生之間有4個空，加上男生排列的兩端共6個空，4名女生在這6個空的位置進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(4,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200種排法．拓展提升排隊(duì)問題的解答策略(1)“排隊(duì)”問題與“排數(shù)”問題有些類似，主要是從特殊位置或特殊元素兩個方面考慮，當(dāng)正面考慮狀況困難時，可考慮用間接法；(2)干脆法解題一般采納元素分析法和位置分析法，要留意分類時不重不漏，分步要連續(xù)、獨(dú)立；間接法要留意不符合條件的情形，做到不重不漏；(3)某些元素要求必需相鄰時，可以先將這些元素看成一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”，即“相鄰元素捆綁法”；(4)某些元素要求不相鄰時，可以先支配其他元素，再將這些不相鄰元素插入空位中，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])3名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊(duì)拍照，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．(1)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(2)全體站成一排，其中甲、乙必需在兩端；(3)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全體站成一排，男、女生各站在一起；(5)全體站成一排，男生必需站在一起；(6)全體站成一排，男生不能站在一起；(7)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(8)全體站成一排，甲、乙中間必需有2人；(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人．解(1)(特殊元素優(yōu)先法)先考慮甲的位置，有Aeq\o\al(1,3)種方法，再考慮其余6人的位置，有Aeq\o\al(6,6)種方法．故有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(6,6)＝2160種方法．(2)(特殊元素優(yōu)先法)先支配甲、乙的位置，有Aeq\o\al(2,2)種方法，再支配其余5人的位置，有Aeq\o\al(5,5)種方法．故有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240種方法．(3)解法一：(特殊元素優(yōu)先法)按甲是否在最右端分兩類：第一類，甲在最右端，有Aeq\o\al(6,6)種方法；其次類，甲不在最右端，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，其余5人有Aeq\o\al(5,5)種排法，即Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種方法．故有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．解法二：(間接法)無限制條件的排列方法共有Aeq\o\al(7,7)種，而甲在最左端，乙在最右端的排法分別有Aeq\o\al(6,6)種，甲在最左端且乙在最右端的排法有Aeq\o\al(5,5)種．故有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．解法三：(特殊元素優(yōu)先法)按最左端先支配分步．對于最左端、除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個位置全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種．故有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．(4)(相鄰問題捆綁法)男生必需站在一起，即把3名男生進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必需站在一起，即把4名女生進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體男生、女生各看成一個元素全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288種排法．(5)(捆綁法)把全部男生看成一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720種不同的排法．(6)(不相鄰問題插空法)先排女生有Aeq\o\al(4,4)種排法，把3名男生支配在4名女生隔成的五個空中，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440種不同的排法．(7)對比(6)，讓女生插空，有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144種不同的排法．(8)(捆綁法)除甲、乙外，從其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之間，與甲、乙組成一個整體，再與余下的3個人進(jìn)行全排列，故有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝960種不同的排法．(9)干脆分步完成，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040種不同的排法．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(2))數(shù)字問題例2用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復(fù)數(shù)字的數(shù)？(1)六位數(shù)且是奇數(shù)；(2)個位上的數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位數(shù)且是偶數(shù)．[解](1)解法一：從特殊位置入手(干脆法)第一步：排個位，從1,3,5三個數(shù)字中選1個，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步：排十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步：排其他位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．故可以組成無重復(fù)的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(個)．解法二：從特殊元素入手(干脆法)0不在兩端有Aeq\o\al(1,4)種排法；從1,3,5中任選一個排在個位上，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其他數(shù)字全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法．故可以組成無重復(fù)的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(個)．解法三：(解除法)6個數(shù)字全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法，0,2,4在個位上的排列數(shù)有3Aeq\o\al(5,5)個，1,3,5在個位上且0在十萬位上的排列數(shù)有3Aeq\o\al(4,4)個，故可以組成無重復(fù)的六位數(shù)且是奇數(shù)的有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(個)．(2)解法一：(解除法)0在十萬位上的排列，5在個位上的排列都是不符合題意的六位數(shù)，故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(個)．解法二：(干脆法)十萬位上的數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此分兩類．第一類：當(dāng)個位上排0，有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次類：當(dāng)個位上不排0，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種排法．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(個)．(3)當(dāng)千位上排1,3時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)種排法；當(dāng)千位上排2時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)種排法；當(dāng)千位上排4時，形如40××，42××的偶數(shù)各有Aeq\o\al(1,3)個，形如41××的偶數(shù)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)個，形如43××的偶數(shù)只有4310和4302這兩個數(shù)滿意題意．故不大于4310的四位數(shù)且是偶數(shù)的共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110(個)．拓展提升不同數(shù)字的無重復(fù)排列是排列問題中的一類典型問題．其常見的附加條件有：奇偶數(shù)、倍數(shù)、大小關(guān)系等，也可以有相鄰、插空問題，也可以與數(shù)列等學(xué)問相聯(lián)系等．解決這類問題的關(guān)鍵是搞清事務(wù)是什么，元素是什么，位置是什么，給出了什么樣的附加條件；然后按特殊元素(位置)的性質(zhì)分類(每一類的各種方法都能保證事務(wù)的完成)，按事務(wù)發(fā)生的連續(xù)過程合理分步來解決．這類問題的隱含條件“0不能在首位”尤其不能疏忽．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)可組成多少個不同的四位數(shù)？(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)？(3)在全部的四位數(shù)中按從小到大的依次排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)為多少？解(1)(干脆法)Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)＝300(個)．(間接法)Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(3,5)＝300(個)．(2)(干脆法)因?yàn)?為特殊元素，故先考慮0.若0在個位有Aeq\o\al(3,5)個；0不在個位時，從2,4中選一個放在個位，再從余下的四個數(shù)中選一個放在首位，有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)個，故有Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝156個不同的四位偶數(shù)．(間接法)從這六個數(shù)字中任取四個數(shù)字組成最終一位是偶數(shù)的排法，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,5)個，其中第一位是0的有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)個．故適合題意的有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,5)－Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝156個不同的四位偶數(shù)．(3)1在首位的數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(3,5)＝60.2在首位且0在其次位的數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12.2在首位且1在其次位的數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12.以上四位數(shù)共有84個，故第85個數(shù)是2301.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(3))定序問題例37人站成一排．(1)甲必需在乙的前面(不肯定相鄰)，則有多少種不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的依次不變(不肯定相鄰)，則有多少不同的排列方法．[解](1)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的依次保持不變，即甲、乙、丙自左向右依次的排法種數(shù)占全排列種數(shù)的eq\f(1,A\o\al(3,3)).故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840種不同的排法．拓展提升這類問題的解法是采納分類法．n個不同元素的全排列有Aeq\o\al(n,n)種排法，m個元素的全排列有Aeq\o\al(m,m)種排法．因此Aeq\o\al(n,n)種排法中，關(guān)于m個元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m)類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的．當(dāng)這m個元素依次確定時，共有eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))種排法．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])某校高二學(xué)生進(jìn)行演講競賽，原有5名同學(xué)參與，后又增加兩名同學(xué)，假如保持原來5名同學(xué)依次不變，那么不同的競賽依次有()A．12種B．30種C．36種D．42種答案D解析解法一：由于原來5名同學(xué)依次不變，這5位同學(xué)共有6個空位，再增加兩名同學(xué)時，可分為兩步進(jìn)行，第一步支配第一個同學(xué)，有6種不同的方法，此時變成7個空位，再把最終一名同學(xué)放進(jìn)去，共有7種不同的方法，故共有6×7＝42種不同的排列數(shù)．解法二：先將全部同學(xué)重排，共有Aeq\o\al(7,7)種方法，而原來5名同學(xué)共有Aeq\o\al(5,5)種不同依次，因此共有Aeq\o\al(7,7)÷Aeq\o\al(5,5)＝42種依次．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(4))排列的綜合應(yīng)用例4從數(shù)字0,1,3,5,7中取出不同的三個數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有實(shí)根的方程有多少個？[解]先考慮組成一元二次方程的問題．首先確定a，只能從1,3,5,7中選一個，有Aeq\o\al(1,4)種，然后從余下的4個數(shù)中任選兩個作b，c，有Aeq\o\al(2,4)種．∴由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共組成一元二次方程：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48(個)方程要有實(shí)根，必需滿意Δ＝b2－4ac≥0.分類探討如下：當(dāng)c＝0時，a，b可在1,3,5,7中任取兩個排列，有Aeq\o\al(2,4)個；當(dāng)c≠0時，分析判別式知b只能取5,7.當(dāng)b取5時，a，c只能取1,3這兩個數(shù)，有Aeq\o\al(2,2)種；當(dāng)b取7時，a，c可取1,3或1,5這兩組數(shù)，有2Aeq\o\al(2,2)種．此時共有Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)個．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有實(shí)根的一元二次方程共有：Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(個)．拓展提升該例的限制條件較隱藏，需細(xì)致分析，一元二次方程中a≠0須要考慮到，而對有實(shí)根的一元二次方程需有Δ≥0.這里有兩層意思：一是a不能為0；二是要保證b2－4ac≥0，所以需先對c能否取0進(jìn)行分類探討．實(shí)際問題中，既要能視察出是排列問題，又要能搞清哪些是特殊元素，還要依據(jù)問題進(jìn)行合理分類、分步，選擇合適的解法．因此需做肯定量的排列應(yīng)用題，漸漸駕馭解決問題的基本思想．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練4])從集合{1,2,3，…，20}的元素中任選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？解設(shè)a，b，c∈N，且a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c應(yīng)是偶數(shù)．因此，若從1到20這20個數(shù)字中任選出3個不同的數(shù)成等差數(shù)列，則第一個數(shù)與第三個數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù)．而1到20這20個數(shù)字中有10個偶數(shù)和10個奇數(shù)，當(dāng)?shù)谝缓偷谌齻€數(shù)選定后，中間數(shù)唯一確定，因此，選法只有兩類：①第一、三個數(shù)都是偶數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種選法；②第一、三個數(shù)都是奇數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，這樣的等差數(shù)列共有Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180