二項(xiàng)式定理（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)11類(lèi)熱點(diǎn)題型講練習(xí)題鞏固）（原卷版）

7．4二項(xiàng)式定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能利用多項(xiàng)式運(yùn)算法則，建立二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與組合數(shù)公式之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理，并能用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解釋?zhuān)?）能通過(guò)分析二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征發(fā)現(xiàn)通項(xiàng)公式，并能用于解決相關(guān)問(wèn)題．（3）能通過(guò)分析二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，能列出“楊輝三角形”，聯(lián)系函數(shù)知識(shí)發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的一些規(guī)律，并能用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．（1）理解二項(xiàng)式定理的相關(guān)概念.（2）掌握二項(xiàng)式定理的特征及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.（3）會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

知識(shí)點(diǎn)01二項(xiàng)式定理1、定義一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式．式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)2、二項(xiàng)式的展開(kāi)式的特點(diǎn)：（1）項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；（2）二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；（3）次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為；【即學(xué)即練1】寫(xiě)出的展開(kāi)式．知識(shí)點(diǎn)02二項(xiàng)展開(kāi)式的通頂公式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：（1）它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；（2）字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；【即學(xué)即練2】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.知識(shí)點(diǎn)03二頂式系數(shù)及其性質(zhì)1、的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對(duì)稱(chēng)性：二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離"的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且最大．（3）各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；（4）二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)憾?xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開(kāi)式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等．2、展開(kāi)式中的系數(shù)求法的整數(shù)且知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)喝?xiàng)或三項(xiàng)以上的展開(kāi)式問(wèn)題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決．【即學(xué)即練3】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是.題型一：二項(xiàng)式定理的正用、逆用【典例11】（1）求的展開(kāi)式；（2）化簡(jiǎn)．【典例12】用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：(1)；(2)．【方法技巧與總結(jié)】（1）的二項(xiàng)展開(kāi)式有項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n．（2）逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏．【變式11】求的展開(kāi)式．【變式12】求的展開(kāi)式．題型二：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)【典例21】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．20 D．60【典例22】設(shè)為正整數(shù)，的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【方法技巧與總結(jié)】（1）二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)，它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念．（2）第項(xiàng)的親數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．【變式21】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C．10 D．5【變式22】已知的展開(kāi)式中，第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．60 B． C．448 D．【變式23】在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A． B．5 C．10 D．40題型三：展開(kāi)式中的特定項(xiàng)【典例31】在的展開(kāi)式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（

）A．8 B．5 C．3 D．2【典例32】在的展開(kāi)式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（

）A．9 B．4 C．3 D．2【方法技巧與總結(jié)】求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法（1）對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0（即0次項(xiàng)）．（2）對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類(lèi)問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解．（3）對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．【變式31】已知展開(kāi)式中的有理項(xiàng)不少于3項(xiàng)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式32】已知在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)共有（

）A．5項(xiàng) B．4項(xiàng) C．3項(xiàng) D．2項(xiàng)【變式33】在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為75，則（

）A．1 B． C． D．題型四：求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)【典例41】的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．【典例42】的展開(kāi)式中，的系數(shù)是.【方法技巧與總結(jié)】求多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)的方法：“雙通法”所謂的“雙通法”是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則得到的展開(kāi)式中一般項(xiàng)為：，再依據(jù)題目中對(duì)指數(shù)的特殊要求，確定與所滿(mǎn)足的條件，進(jìn)而求出，的取值情況．【變式41】若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則a的值為．【變式42】的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是．【變式43】的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為.題型五：系數(shù)的最值問(wèn)題【典例51】在的展開(kāi)式中，僅第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是.【典例52】展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的系數(shù)最大，則.【方法技巧與總結(jié)】求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式(組)、解不等式(組)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)最大，則與之相鄰兩項(xiàng)第k項(xiàng)，第(k＋2)項(xiàng)的系數(shù)均不大于第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)，由此列不等式組可確定k的范圍，再依據(jù)k∈N來(lái)確定k的值，即可求出最大項(xiàng)．【變式51】的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．【變式52】已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【變式53】在的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)．題型六：余數(shù)和整除的問(wèn)題【典例61】設(shè)，且能被6整除，則的值可以為.(寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的的值即可)【典例62】若，則除以7的余數(shù)是．【方法技巧與總結(jié)】利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．【變式61】被10除的余數(shù)為.【變式62】已知，則a被10除所得的余數(shù)為.題型七：證明不等式或求近似值【典例71】求下列各數(shù)的近似值（精確到0.001）：(1)；(2)．【典例72】（1）證明：能被整除；（2）求的近似值（精確到0.001）.【方法技巧與總結(jié)】的近似計(jì)算的處理方法當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式，因?yàn)檫@時(shí)展開(kāi)式的后面部分很小，所以可以忽略不計(jì)，但是使用這個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對(duì)精確度的要求．若精確度要求較高，則可使用更精確的近似公式等．【變式71】題型八：二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題【典例81】（多選題）已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【典例82】（多選題）若，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和的求法（1）對(duì)形如，的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可，對(duì)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可．（2）一般地，若，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為．【變式81】（多選題）已知，則（

）A．的值為2B．的值為80C．的值為D．【變式82】設(shè)，求：(1)；(2)；(3).題型九：二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【典例91】在的展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，則下列敘述中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）①二項(xiàng)式系數(shù)之和為32；②各項(xiàng)系數(shù)之和為0；③二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第四項(xiàng)；④的系數(shù)為15A．4 B．3 C．2 D．1【典例92】在的展開(kāi)式中，若二項(xiàng)式系數(shù)最大值為n，則（

）A．180 B．165 C．120 D．55【方法技巧與總結(jié)】（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)中的進(jìn)行討論．①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．（2）展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析．如求的展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，且第項(xiàng)最大，應(yīng)用，解出，即得出系數(shù)的最大項(xiàng)．【變式91】的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式的第三項(xiàng)為（

）A．180 B．180C．180 D．180【變式92】已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．【變式93】若二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第項(xiàng)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的值為（

）A． B． C． D．題型十：三項(xiàng)式及多項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題【典例101】的展開(kāi)式中的系數(shù)為．【典例102】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．【方法技巧與總結(jié)】通項(xiàng)法【變式101】的展開(kāi)式中，的系數(shù)是.【變式102】展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是．【變式103】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為．【變式104】展開(kāi)式中的系數(shù)為.題型十一：楊輝三角問(wèn)題【典例111】如圖所示的“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和．記“楊輝三角”第行的第個(gè)數(shù)為，則．【典例112】如圖是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》給出的一個(gè)用數(shù)排列起來(lái)的三角形陣，請(qǐng)通過(guò)觀(guān)察圖象發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律，并計(jì)算從第三行到第十五行中，每行的第三位數(shù)字的總和為.【方法技巧與總結(jié)】解決與楊輝三角有關(guān)問(wèn)題的一般思路(1)觀(guān)察：對(duì)題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀(guān)察．(2)找規(guī)律：通過(guò)觀(guān)察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來(lái)，使問(wèn)題得解．【變式111】楊輝是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，在他所著的《詳解九章算法》中把二項(xiàng)式系數(shù)寫(xiě)成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，解決了很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖所示，由楊輝三角左腰上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線(xiàn)，第條線(xiàn)上的數(shù)字是；第2條線(xiàn)上的數(shù)字是；第3條線(xiàn)上的數(shù)字是；第4條線(xiàn)上的數(shù)字是，那么第21條線(xiàn)上的數(shù)共有個(gè)，其中最大的數(shù)是.（用數(shù)字表示）【變式112】將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在x使得，則x的值是.【變式113】“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式展開(kāi)式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則在第10行中最大數(shù)為．【變式114】求證：

1．的值是（

）A． B．1 C．0 D．220242．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A．90 B．100 C．40 D．3．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（

）A．690 B． C．710 D．4．已知展開(kāi)式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．252 C． D．285．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．16．若的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．7．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．8．如圖所示，楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)的一種幾何排列，第行是的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，觀(guān)察圖中數(shù)字的排列規(guī)律，可知下列結(jié)論正確的是（

）A．B．第10行所有數(shù)字之和為C．第12行從左到右第4個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)之比為4：9D．第2025行從左到右第1013個(gè)數(shù)比該行其他數(shù)都大9．（多選題）已知二項(xiàng)展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的有（為虛數(shù)單位）（

）A．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 B．的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為C． D．10．（多選題）關(guān)于的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C．常數(shù)項(xiàng)為 D．系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)11．（多選題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若