四川省內(nèi)江市資中縣球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試（火箭班）數(shù)學(xué)試題

球溪高級(jí)中學(xué)學(xué)年（上）高一期末考試（火箭班）數(shù)學(xué)考生注意：．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上．．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上．寫在本試卷上無效．．考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，解不等式求出集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所?故選：B.2.已知函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】由題可得函數(shù)為奇函數(shù)，在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，然后利用零點(diǎn)存在定理可得不合題意，當(dāng)時(shí)利用數(shù)形結(jié)合可得適合題意，進(jìn)而即得答案.【詳解】因?yàn)榈?頁/共17頁所以，故為奇函數(shù)，且為的零點(diǎn)，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，又，，，故零點(diǎn)均位于區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，，故存在使得，又，故存在使得，所以在上至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象，由圖形可知函數(shù)與函數(shù)的有3有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，適合題意，所以的最大值為4.故選：C．3.已知，且，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】第2頁/共17頁【分析】先由在R上單調(diào)遞增求得的取值范圍，再利用充分條件，必要條件的定義即得.【詳解】由在上單調(diào)遞增，得，解得，故“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.4.數(shù)學(xué)上用“”表示連乘運(yùn)算，例如：.設(shè)函數(shù)，記，，則使成立的m的最小值為（）A.8B.9C.10D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的表達(dá)式，然后根據(jù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)求得正確答案.【詳解】，，，，即，解得或，又，所以使成立的m的最小值為9.故選：B.5.函數(shù)的大致圖象是（）第3頁/共17頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷B、D，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性排除C.【詳解】函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋逝懦鼴、D；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故排除C.故選：A6.設(shè)的外心為最大時(shí)，的外接圓半徑為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)外接圓半徑為，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合重心的性質(zhì)與二倍角的余弦公式得，再利用導(dǎo)數(shù)求出極大值點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，第4頁/共17頁則根據(jù)重心向量公式有，則，令，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；故當(dāng)最大時(shí)，的外接圓半徑為.故選；D7.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出的解析式，進(jìn)而解方程即可.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，第5頁/共17頁綜上，當(dāng)時(shí)，令無解；當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令無解；當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令，解得，綜上實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C8.函數(shù)的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再證明當(dāng)時(shí)，，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，?頁/共17頁，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，，故，選項(xiàng)ABD都不同時(shí)符合以上所有特征，選項(xiàng)C符合以上特征，故函數(shù)的部分圖象大致為選項(xiàng)C的圖象.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)B.函數(shù)與表示同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)的最小值為3D.若關(guān)于x的不等式的解集為或，則【答案】AB【解析】AB斷C，根據(jù)二次不等式的解集及韋達(dá)定理求解即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因（且）恒過定點(diǎn)，故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)與的定義域?yàn)椋?，，故它們?yōu)橥粋€(gè)函數(shù)，故B正確；第7頁/共17頁對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但方程無解，等號(hào)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意關(guān)于x的方程有兩根為和2，故必有解得所以，故D錯(cuò)誤．故選：AB10.下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，利用作差法即可判斷；對(duì)于B，利用指數(shù)運(yùn)算即可判斷；對(duì)于C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，并借助中間量1，即可判斷；對(duì)于D，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，又，所以，即，所以，即，故D正確.故選：BCD.第8頁/共17頁在天文觀測中，某恒星的亮度隨時(shí)間，單位：百年）的變化曲線可以用函數(shù)來描述．觀測發(fā)現(xiàn)在和時(shí)，該恒星的亮度均為，而在時(shí)，恒星處于最亮狀態(tài)，則下列說法正確的有（）A.在區(qū)間內(nèi)，恒星亮度變化曲線的對(duì)稱軸一定是奇數(shù)條B.在區(qū)間內(nèi)，恒星的亮度為的次數(shù)一定是偶數(shù)次C.在區(qū)間內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次D.在區(qū)間內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是偶數(shù)次【答案】BC【解析】【分析】對(duì)取特殊即可排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)；由三角函數(shù)的對(duì)稱性及最值判斷B選項(xiàng)和C選項(xiàng)；【詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒星亮度變化曲線有2條對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；由于時(shí)，恒星處于最亮狀態(tài)，即函數(shù)取最大值，可解得，故，則是函數(shù)的對(duì)稱軸，區(qū)間關(guān)于對(duì)稱，故恒星的亮度為的次數(shù)一定是偶數(shù)次，B正確；因?yàn)楫?dāng)和時(shí)，該恒星的亮度均為，且時(shí)恒星處于最亮狀態(tài)，，故，則，即時(shí)取最小值，在內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是偶數(shù)次，在內(nèi)，由于區(qū)間關(guān)于對(duì)稱，且時(shí)取最小值，故恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次，故在區(qū)間內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次，故C正確；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)恒星達(dá)到最暗的次數(shù)只有1次，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題重點(diǎn)考查的內(nèi)容是三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，通過三角函數(shù)的最值及對(duì)稱性來解決本題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．第9頁/共17頁12.已知某個(gè)扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為__________.【答案】2【解析】【分析】將圓心角轉(zhuǎn)化為弧度制后借助弧長公式計(jì)算即可得.【詳解】rad，故.故答案為：2.13.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的一個(gè)取值為______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)概念對(duì)兩段進(jìn)行計(jì)算，分析，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，由0，得，即為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，有一解，即有一解，得.則.故答案為：（答案不唯一,都可以）.14.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)，，則_______．【答案】89【解析】【分析】由題設(shè)可得且函數(shù)的值.【詳解】由，則，所以，則，即，且，第10頁/共17頁則．故答案為：89四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合.（2）已知，求的值;（3）已知，且，求的值.【答案】（1）①，②；（2）；（3）.【解析】1）根據(jù)任意角的概念和陰影部分表示的角，數(shù)形結(jié)合求出答案；（2）利用齊次化求出，再利用齊次化化簡，代入求值即可；（3）兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出，平方求出，并根據(jù)，得到，，求出.1第11頁/共17頁，②；（2），故，解得，；（3）兩邊平方得，故，所以，，因，所以，由于，故，所以，故.16.已知集合.（1）若A中有且僅有1個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】1）分類討論當(dāng)、時(shí)方程根的個(gè)數(shù)，即可求解；（2、結(jié)合m的取值范圍.【小問1詳解】若，方程化為，此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；第12頁/共17頁若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)集合中有且僅有一個(gè)元素，所以實(shí)數(shù)m的值為或；【小問2詳解】，因?yàn)?，所以，由?）知時(shí)，，不符合，當(dāng)時(shí)，若，解得，此時(shí)，符合，若，解得，此時(shí)方程的根為，集合，符合，若，由，則可得，此時(shí)有且，無解，綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為.17.已知函數(shù)．（1）求的最小值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）2（2）【解析】1）利用基本不等式的性質(zhì)，利用取等條件，得到答案.（2）利用函數(shù)單調(diào)性，得到不等式進(jìn)行計(jì)算，得到答案.【小問1詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為2，第13頁/共17頁【小問2詳解】易知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故，整理得，即，解得，故所求?8.漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為，為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量小于，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）的乘積成正比，比例系數(shù)為．（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求魚群年增長量y的最大值；（2）當(dāng)魚群年增長量y達(dá)到最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】1y關(guān)于x值；（2）由題意得，即，結(jié)合，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意，空閑率為，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，．第14頁/共17頁【小問2詳解】由（1）知,當(dāng)魚群年增長量y達(dá)到最大值時(shí)，，由題意有，即，，又，的取值范圍為．19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）記，若與在有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，且，求證：.【答案】（1）時(shí)，為偶函數(shù)；時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；（2）證明見解析.【解析】1時(shí)，（2）求得在上解析式，并分析其單調(diào)性，結(jié)合題意，求得的范圍以及之間的關(guān)系；證明.【小問1詳解】易知定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又，故，故當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，且，故此時(shí)為非奇非偶函數(shù).小問2詳解】第15頁/共1