2025版數(shù)學(xué)中考《二輪總復(fù)習(xí)微專題學(xué)案》二輪講義21 全等三角形含答案或解析

微專題21全等三角形考點(diǎn)精講構(gòu)建知識體系考點(diǎn)梳理1.全等三角形的性質(zhì)(6年9考)概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形性質(zhì)1.全等三角形的對應(yīng)邊①，對應(yīng)角②；2.兩個全等三角形的周長③，面積④；3.全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都⑤2.全等三角形的判定(8年11考)(1)方法SSS(邊邊邊)SAS(邊角邊)ASA(角邊角)AAS(角角邊)HL(斜邊、直角邊)三邊分別相等的兩個三角形全等(基本事實(shí))兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(基本事實(shí))兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(基本事實(shí))兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(2)思路①已知兩對等邊找夾角相等→②已知一對等邊和一對等角邊為角的對邊→找任意一對等角→③已知兩對等角找夾邊相等→練考點(diǎn)1.如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上.若BC＝8，CE＝5則CF的長為.第1題圖2.如圖，兩個三角形全等的是()第2題圖A.③④B.②③C.①② D.①④高頻考點(diǎn)考點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)與判定(6年9考)模型一平移型模型分析模型展示：模型特點(diǎn)：沿同一直線(l)平移可得兩三角形重合(BE＝CF)解題思路：證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)加(減)共線部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等例1(人教八上習(xí)題改編)如圖，已知點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在同一條直線上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D，試判斷AC和DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.例1題圖變式1(2024內(nèi)江)如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度數(shù).變式1題圖模型二軸對稱(翻轉(zhuǎn))型[2022.18，2021.23，2020.20，2020.22(2)]模型分析模型展示有公共邊有公共頂點(diǎn)模型特點(diǎn)所給圖形沿公共邊所在直線或者經(jīng)過公共頂點(diǎn)的某條直線折疊，兩個三角形能完全重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)找公共角、垂直、對頂角、等腰等條件得對應(yīng)角相等；(2)找公共邊、中點(diǎn)、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對應(yīng)邊相等例2(2024香洲區(qū)二模)如圖，已知AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分別為A，D，∠ACB＝∠CBD.求證：AB＝CD.例2題圖變式2如圖，AB＝AC，DB＝DC，F(xiàn)是AD延長線上的一點(diǎn).連接BF，CF，求證：∠BFA＝∠CFA.變式2題圖變式3(人教八上習(xí)題改編)如圖，點(diǎn)D在AB邊上(不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合)，E在AC邊上(不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合)，連接BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)O，AB＝AC，∠B＝∠C.求證：BO＝CO.變式3題圖模型三旋轉(zhuǎn)型[2023.22(2)①，2019，10①]模型分析模型展示共頂點(diǎn)不共頂點(diǎn)模型特點(diǎn)(1)共頂點(diǎn)，繞該頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得兩三角形重合；(2)不共頂點(diǎn)，繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，再平移可得兩三角形重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)共頂點(diǎn)：加(減)共頂點(diǎn)的角的共角部分得一組對應(yīng)角相等；(2)不共頂點(diǎn)：①由BF＝CE→BF±CF＝CE±CF→BC＝EF；②利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等例3(2024珠海模擬)如圖，在△ABC和△EDC中，AB＝ED，∠1＝∠2，∠A＝∠E.求證：BC＝DC.例3題圖變式4(2024吉林省卷)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連接CO并延長，交DA的延長線于點(diǎn)E，求證：AE＝BC.變式4題圖模型四一線三垂直型[2023.23(3)，2020.25(3)]模型分析模型展示基本圖形1已知：AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD，AB＝CE基本圖形2已知：AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD，AB＝BC結(jié)論(針對基本圖形)①∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D；②BE＝AB＋DE；③連接AD，△ACD是等腰直角三角形①∠A＝∠DBC，∠ABE＝∠C；②DE＝AE－CD解題思路常用三個垂直作條件進(jìn)行角度等量代換，即同(等)角的余角相等，相等的角就是對應(yīng)角，證三角形全等時必須還有一組對應(yīng)邊相等例4如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC.過點(diǎn)B作BE⊥CA，垂足為點(diǎn)E.若AC＝6，則△ABC的面積是()例4題圖A.6 B.12 C.18 D.36變式5(人教八上習(xí)題改編)如圖，點(diǎn)D，C，E在直線l上，點(diǎn)A，B在l的同側(cè)，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的長.變式5題圖真題及變式命題點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)與判定(6年9考) 1.(2022廣東18題8分)如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：△OPD≌△OPE.第1題圖1.1變圖形——增加線段如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF.求證：BE＝FC.變式1.1題圖1.2變設(shè)問——證角平分線如圖，在△POE和△QOD中，∠E＝∠D，OP＝OQ，PE交QD于點(diǎn)C，CP＝CQ，連接OC.求證：OC平分∠DOE.變式1.2題圖拓展訓(xùn)練2.(2024佛山模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠D＝∠BCD＝90°.(1)如圖①，若E為CD的中點(diǎn)，AB＝BC＋AD，求證：AE平分∠DAB；(2)如圖②，若E為AB的中點(diǎn)，AB＝2AD，CA＝CB，試判斷三角形ABC的形狀，并說明理由.第2題圖新考法3.[真實(shí)問題情境](人教八上習(xí)題改編)小明同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達(dá)B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標(biāo)語.其具體信息匯集如下，如圖，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等.AC，BD相交于點(diǎn)O，BD⊥CD于點(diǎn)D.已知AB＝20m.根據(jù)上述信息，標(biāo)語CD的長度為m.第3題圖4.[條件開放]如圖，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB，AC為邊向外作三角形，使BD＝AE.(1)添加條件，可以判定△ABD≌△CAE，請說明理由；(2)在(1)的條件下，若∠ABC＝65°，∠D＝120°，求∠DAE的度數(shù).第4題圖

考點(diǎn)精講①相等②相等③相等④相等⑤相等教材改編題練考點(diǎn)1.32.C高頻考點(diǎn)例1解：AC＝DF，AC∥DF，理由如下：∵BE＝CF，∴BE－CE＝CF－CE，即BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∠A∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，∴AC∥DF.變式1(1)證明：∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE，∵AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)；(2)解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°，∴∠FDE＝∠A＝55°，∵∠E＝45°，∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝80°.例2證明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°，在△ABC與△DCB中，∠A∴△ABC≌△DCB(AAS)，∴AB＝CD.變式2證明：∵AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAF＝∠CAF，又∵AB＝AC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF(SAS)，∴∠BFA＝∠CFA.變式3證明：在△ABE和△ACD中，∠B∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE，在△BOD和△COE中，∠B∴△BOD≌△COE(AAS)，∴BO＝CO.例3證明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ACD＝∠2＋∠ACD，即∠ACB＝∠ECD.在△ABC和△EDC中，∠A∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴BC＝DC.變式4證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAE＝∠B，∠OCB＝∠E，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB在△AOE和△BOC中，∠OAE∴△AOE≌△BOC(AAS)，∴AE＝BC.例4C【解析】∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE(AAS)，∴AC＝BE＝6，∴S△ABC＝12AC·BE＝12×6×6＝變式5解：如解圖，過點(diǎn)A作AG⊥CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝12CD＝3在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝AC2－CG∵AC⊥BC，∴∠CAG＋∠GCA＝∠GCA＋∠BCH＝90°，∴∠CAG＝∠BCH.在△ACG和△CBH中，∠CAG∴△ACG≌△CBH(AAS)，∴CH＝AG＝4.∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8.變式5題解圖真題及變式1.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°， (3分)在△OPD和△OPE中，∠PDO∴△OPD≌△OPE(AAS). (8分)一題多解法∵∠AOC＝∠BOC，∴OC為∠AOB的平分線，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE， (3分)在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP＝∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL). (8分)變式1.1證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，∠C＝∠DEB＝90°，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DC＝∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴BE＝FC.變式1.2證明：在△POC和△QOC中，OP＝∴△POC≌△QOC(SSS)，∴∠PCO＝∠QCO，∵∠PCD＝∠QCE，∴∠DCO＝∠ECO，∵∠D＝∠E，∴∠DOC＝∠EOC，∴OC平分∠DOE.2.(1)證明：如解圖，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)H，第2題解圖∵E是CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE，且∠D＝∠ECH＝90°，∠AED＝∠HEC，∴△ADE≌△HCE(ASA)，∴AD＝CH，∠DAE＝∠H，∵AB＝BC＋AD，BH＝BC＋CH，∴AB＝BH，∴∠H＝∠BAH，∴∠DAE＝∠BAH，∴AE平分∠DAB；(2)解：△ABC是等邊三角形，理由如下：∵E是AB中點(diǎn)，∴AE＝BE＝12AB又∵AC＝BC，∴CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE，∵AB＝2AD，∴AD＝AE，且AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL)，∴∠ACD＝∠ACE，∴∠ACD＝∠ACE＝∠BCE，且∠ACD＋∠ACE＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠ACE＝∠BCE＝30°，∴∠ACB＝60°，且AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形.3.20【解析】∵AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，∵OB⊥AB，OD⊥DC，∴OB＝OD，∠ABO＝∠CDO＝90