廣東省汕頭市金山中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理）試卷 含解析

1、2019屆廣東省汕頭市金山中學(xué)高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理）試題此卷只裝訂不密封班級 姓名 準(zhǔn)考證號 考場號 座位號 數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題1若集合M=x|x2-x0,a1)，R表示實(shí)數(shù)集，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是AMN=M

2、 BMN=R CMCRN= DRMN=R2設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，若z1=1+3i1-i，則z1+z2等于A4i B-4i C2 D-23已知P、M、N是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn),且滿足|PM|=|PN|，則PMPN的最小值是A-14 B-12 C-34 D-14如圖所示，某地一天614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為（）A,B,C,D,5函數(shù)f(x)=x2-2e|x|的圖象大致是A BC D6命題：p：x0R，x4-x2+10)的最大值為18，則a的值為A3 B5 C7 D98已知函數(shù)（）的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍為A B C

3、 D9如圖1所示，是一個(gè)棱長為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體的直觀圖，其中， ，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是A B C D10已知棱長為的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為A B C D11已知函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn),其中為自然對數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為A B C D或12記為中的最小值，若為任意正實(shí)數(shù)，則的最大值是A B2 C D二、填空題13如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)M則點(diǎn)M恰好取自陰影部分的概率是 14向量a,b,c滿足：|a|=4，|b|=42，b在a上的投影為4，(a-c)(b-c)=0，

4、則bc的最大值是_15數(shù)列an且an=1n2+2n,n為奇數(shù)sinn4,n為偶數(shù)，若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S2018=_16已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)+f(-x)=6，函數(shù)g(x)=2x-3x-1+xx+1，若曲線y=f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，(xm,ym).則i=1m(xi+yi)=_三、解答題17已知等差數(shù)列an的公差為d，且關(guān)于x的不等式a1x2-dx-30,b0,a+b=c，求證：a2a+1+b2b+1120四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB/CD，ABBC，AB=2BC=2CD=2，SAD為正三角形()點(diǎn)M為棱

5、AB上一點(diǎn)，若BC/平面SDM，AM=AB，求實(shí)數(shù)的值；()若BCSD，求二面角A-SB-C的余弦值21在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24.(1)若直線l過點(diǎn)A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)22已知函數(shù)f(x)=(x+b)(ex-a)，(b0)，在(-1,f(-1)處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.（1）若n

6、0，證明：f(x)nx2+x；（2）若方程f(x)=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1x2，證明：x2-x11+m(1-2e)1-e.2019屆廣東省汕頭市金山中學(xué)高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理）試題數(shù)學(xué) 答 案參考答案1B【解析】【分析】先化簡M，N，再根據(jù)集合的運(yùn)算和集合的之間的關(guān)系即可求出.【詳解】集合M=x|x2-x0,a1)=(0，+)，MN=M，MN=(0,+)，RN=(-,0，RM=(-,01,+)， MCRN=，RMN=R 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算及包含關(guān)系的判斷及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：z1，再利用幾何意義可得z2【詳解】z1=1+3

7、i1-i=(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+4i2=-1+2i，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，z2=-1-2i，則z1+z2=-2故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3B【解析】試題分析：解：根據(jù)題意，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(cos,sin),點(diǎn)N的坐標(biāo)為,其中00，當(dāng)x2-2=0時(shí)，即x=2時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，x=0時(shí)，可得f(0)=-2.；排除B；當(dāng)x2或xx2-2，圖象逐漸走低；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性及圖象變換，屬于中檔題6D【解析】【分析】利用配方法求得x4-x

8、2+10說明p為假命題，舉例說明q為假命題，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案【詳解】x4-x2+1=(x2-12)2+340，命題p為假命題；，R，sin(-)=sin-sin不正確，比如=90，=-90，sin-sin=2，而sin(-)=0，故命題q為假命題，則p(q)為真命題；(p)(q)為真命題；(p)(q)為真命題；pq為假命題故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合命題的真假判斷與應(yīng)用，考查利用配方法求函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)值的大小判斷，屬于中檔題7A【解析】【分析】由線性約束條件畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值，求出a的值【詳解】畫出約束條件3x-y-60x-y+20x0,y0的可行

9、域，如圖：目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)最大值為18，即目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)在x-y+2=03x-y-6=0的交點(diǎn)M(4,6)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為18，所以4a+6=18，所以a=3故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃問題，作出可行域是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（）的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，所以 ， 的取值范圍為，故選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查三角函數(shù)的圖象、三角函數(shù)的周期性，屬于難題三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實(shí)三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式

10、較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解9C【解析】由題意，根據(jù)該幾何體的直觀圖和俯視圖知，其正視圖的長應(yīng)為底面正方形的對角線長，寬應(yīng)為正方體的棱長，故排除B，D，而在三視圖中看不見的棱用虛線表示，故排除A，所以正確答案為C.點(diǎn)睛：此題主要考查空間幾何體的三視圖等有關(guān)方面的知識，屬于中低檔題型，也是最近幾年高考的必考題型.此題有與以往有不同之處，就是給出了空間幾何體的三視圖各俯視圖，去尋找正視圖，注意的是，由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖時(shí)，需要注意“長對正、高平齊、寬相等”的原則，還看得見棱的畫實(shí)線，看不見的棱要畫虛線.

11、10D【解析】如圖由正方體的對稱性可知，圓柱的上底面必與過點(diǎn)的三個(gè)面相切，且切點(diǎn)分別在線段上，設(shè)線段上的切點(diǎn)為， 面，圓柱上底面的圓心為，半徑即為記為，則， ，由知，則圓柱的高為，.應(yīng)選答案D。11B【解析】：由，得令且，則，即 （*）由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且時(shí)， ，圖象如圖所示由題意知方程（*）的根有一根必在內(nèi)，另一根或或當(dāng)時(shí)，方程（*）無意義；當(dāng)時(shí)， ， 不滿足題意，所以時(shí)，則由二次函數(shù)的圖象，有，解得，故選B點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的應(yīng)用常與函數(shù)零點(diǎn)、方程有關(guān)，一般為討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)或由零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值（范圍），此時(shí)題中涉及的函數(shù)的圖象一般不易直接畫出，

12、但可將其轉(zhuǎn)化為與有一定關(guān)系的函數(shù)和的圖象問題，且與的圖象易得12D【解析】設(shè) ，不妨設(shè)，則 ，有 ，又 ， ，則 ，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)最??；當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) 最小，則 .選D.13【解析】試題分析：根據(jù)題意，正方形的面積為而陰影部分由函數(shù)與圍成，其面積為，則正方形中任取一點(diǎn),點(diǎn)取自陰影部分的概率為.則正方形中任取一點(diǎn)，點(diǎn)取自陰影部分的概率為考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用 幾何概型點(diǎn)評:本題考查幾何概型的計(jì)算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積.1420+82【解析】【分析】由已知可得=4，設(shè)a=(4,0)，則b=(4,4)，設(shè)c=(x,y)，由(a-c)(b-c)=0，可得(

13、x-4)2+(y-2)2=4，令x=4+2cos，y=2+2sin，把bc轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)求最值【詳解】|a|=4，|b|=42，b在a上的投影為4，|b|cos=4，則cos=22則=4設(shè)a=(4,0)，則b=(4,4)，設(shè)c=(x,y)，由(a-c)(b-c)=0，得(4-x,-y)(4-x,4-y)=0，則(x-4)2+(y-2)2=4令x=4+2cos，y=2+2sin，則bc=(4,4)(x,y)=4x+4y=20+82sin(+4)20+82故答案為：20+82【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算，考查向量在向量上投影的概念，是中檔題1530282019【解析】【分析】

14、根據(jù)通項(xiàng)公式為分段函數(shù)的特點(diǎn)，將前2018項(xiàng)的和分組，分別計(jì)算奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，其中奇數(shù)項(xiàng)可采用裂項(xiàng)相消法求和，偶數(shù)項(xiàng)利用周期求和即可.【詳解】數(shù)列an且an=1n2+2n,n為奇數(shù)sinn4,n為偶數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=1n2+2n=12(1n-1n+2)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=sinn4，所以：S2018=(a1+a3+a5+a2017)+(a2+a4+a6+a2018)，=12(1-13+13-15+12017-12019)+(1+0-1+0)，=10092019+1=30282019故答案為：30282019【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法，分組法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

15、能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題163m【解析】【分析】通過f(x)+f(-x)=6，可知y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱，化簡可知g(-x)+g(x)=6，進(jìn)而y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱，從而曲線y=f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱，計(jì)算即得結(jié)論【詳解】因?yàn)閒(x)+f(-x)=6，所以y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2x-3x-1+xx+1，所以g(-x)=-2x-3-x-1+-x-x+1=2x+3x+1+xx-1，所以g(-x)+g(x)=6，所以y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱，所以曲線y=f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱，則

16、i=1m(xi+yi)=(x1+x2+xm)+(y1+y2+ym)=0+12m6=3m，故答案為：3m【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象的對稱性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.17（1）an=1+2(n-1)，即an=2n-1. （2）Sn =2n+1+n2-2【解析】【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組法求出數(shù)列的和【詳解】（1）由題知，等差數(shù)列an的公差為d，且方程的兩個(gè)根分別為1，3則根據(jù)韋達(dá)定理得到：da1=2,-3a1=-3,解得d=2,a1=1.，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+（n1）d=1+（n1）2=2n1（2）據(jù)（1）求解知

17、an=2n-1，所以bn=2(an+12)+an=2n+(2n-1)，所以Sn=(2+4+8+2n)+(1+3+5+2n-1)=2n+1+n2-2【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知Sn和an的關(guān)系，求an表達(dá)式，一般是寫出Sn-1做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。18（1）23；（2）53【解析】【分析】利用正弦定理化簡即可得到答案根據(jù)角A和ABC=6，可以求得角C的值，得到AC=AD，利用余弦定理即可求出AD的值，然后根據(jù)三角形的面積公式求得結(jié)果【詳解】（1）由

18、2acosC-c=2b正弦定理，可得2sinAcosC-sinC=2sinB即2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)可得：-sinC=2sinCcosAsinC0 cosA=-12A(0,)則A=23（2）由（1）可知A=23ABC=6 C=6則AC=AB設(shè)AD=x，則AB=2x，在ABD中利用余弦定理：可得BD2=AB2+AD2-2ABADcosA即7x2=35，可得x=5，故得ABC的面積S=124x2sin23=53【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，利用正弦定理完成邊角的互化，運(yùn)用余弦定理給出邊長之間的數(shù)量關(guān)系，需要數(shù)量掌握公式來解題。19（1）1,5；（2）見

19、解析【解析】【分析】（1）f（x）x+1，即|x1|+|x3|x+1通過當(dāng)x1時(shí)，當(dāng)1x3時(shí)，當(dāng)x3時(shí)，去掉絕對值符號，求解即可；（2）由絕對值不等式性質(zhì)得，|x1|+|x3|（1x）+（x3）|=2，推出a+b=2令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解證明即可【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為4-2xx+1，x1又x3時(shí)，不等式可化為2x-4x+1，x5又x3，綜上所得， 原不等式的解集為 （2）證明：由絕對值不等式性質(zhì)得，|x-1|+|x-3|(1-x)+(x-3)|=2，即令a+1=m，則，m+n=4，a2a+1+b2b+1=(m-1)2m+(n-1)2n =m+n-4+1m+1n =

20、4mn 4(m+n2)2=1，原不等式得證【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題20（1）=12（2）-105【解析】【分析】()推導(dǎo)出BC/DM，AB/DC，從而四邊形BCDM為平行四邊形，由AB=2CD，得M為AB的中點(diǎn).由此能求出()在平面SCD內(nèi)過點(diǎn)S作SE直線CD于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)閤軸，EC方向?yàn)閥軸，ES方向?yàn)閦軸建立空間坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-SB-C的余弦值【詳解】()BC/平面SDM,BC平面ABCD，平面SDM平面ABCD=DM，BC/DM，AB/DC，四邊形BCDM為平行四邊形，又AB=2CD，M

21、為AB的中點(diǎn)AM=AB，=12()BCSD，BCCD，BC平面SCD，又BC平面ABCD，平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCD=CD，在平面SCD內(nèi)過點(diǎn)S作SE直線CD于點(diǎn)E，則SE平面ABCD，在RtSEA和RtSED中，SA=SD，AE=SA2-SE2=SD2-SE2=DE，又由題知EDA=45，AEED，AE=ED=SE=1，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)閤軸，EC方向?yàn)閥軸，ES方向?yàn)閦軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則E(0,0，0)，S(0,0，1)，A(1,0，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，SA=(1,0，-1)，AB=(0,2，0)，SC=(0,2，-1)，CB=

22、(1,0，0)，設(shè)平面SAB的法向量n=(x,y，z)，則nSA=x-z=0nAB=2y=0，令x=1，得n=(1,0，1)，同理得m=(0,1，2)為平面SBC的一個(gè)法向量，cos=mn|m|n|=105，二面角A-SB-C為鈍角，二面角A-SB-C的余弦值為-105【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題21（1）y0或7x24y280.（2）或【解析】(1)設(shè)直線l的方程為yk(x4)，即kxy4k0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d1，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得1，化簡得24k27k0，解得k0或k.

23、所求直線l的方程為y0或y (x4)，即y0或7x24y280.(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為ynk(xm)，yn (xm)，即kxynkm0， xynm0.因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等故有，化簡得(2mn)kmn3或(mn8)kmn5.因?yàn)殛P(guān)于k的方程有無窮多解，所以有解得點(diǎn)P坐標(biāo)為或.22（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】()求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線方程可得f(x)的解析式，令g(x)=(x+1)(ex-1)-x，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，即可得證；()設(shè)f(x)在(-1,0)處的切線方程為h(x)，可得h(x)=(1e-1)(x+1)，令F(x)=f(x)-h(x)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，運(yùn)用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，即可得證【詳解】()由題意f(-1)=0，所以f(-1)=(-1+b)(1e-a)=0，又f(x)=(x+