高三數(shù)學(xué)常用函數(shù)性質(zhì)及圖像

1、一次函數(shù)（1） 函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)； （2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零； （3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零； （4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零； （5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。（2） 一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量。當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)，又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是，要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式當(dāng)，時(shí)，仍是一次函數(shù)當(dāng)，時(shí)，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)

2、包括正比例函數(shù)2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當(dāng)k0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；k0時(shí)，向上平移；當(dāng)b0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b0，y隨x的增大而增大；k0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；當(dāng)b0b0經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k0時(shí)，向上平移；當(dāng)b0時(shí)，直

3、線經(jīng)過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；（從左向右上升）k0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移個(gè)單位；b0或ax+b0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)在x0上同為減函數(shù)；k0時(shí)，函數(shù)在x0上同為增函數(shù)。 定義域?yàn)閤0；值域?yàn)閥0。 3.因?yàn)樵趛=k/x(k0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。 4. 在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱

4、軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。 6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。 7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則n2+4km（不小于）0。 8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱. 10.反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點(diǎn)）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例

5、函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。 13.反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點(diǎn) 指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)y=ax（a0，且a1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。注意：指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：規(guī)律：1. 當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對稱，但這兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。 2.當(dāng)a1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸； 當(dāng)0a1時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸。 在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。 3.四字口訣：

6、“大增小減”。即：當(dāng)a1時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，圖像在R上是減函數(shù)。 4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論；3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4. 對多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1作為中間量進(jìn)行比較 底數(shù)的平移： 在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會向右平移。 在f(X)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會向下平移。 對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-，+)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指

7、數(shù)函數(shù)y=ax(a0，a1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a0，a1).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?-，+)，值域?yàn)?0，+)，所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)?0，+)，值域?yàn)?-，+).2.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x. 據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草圖由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)

8、的圖像的特征和性質(zhì).見下表.圖象a1a1性質(zhì)(1)x0(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=0(3)當(dāng)x1時(shí)，y00x1時(shí)，y0(3)當(dāng)x1時(shí)，y00x1時(shí)，y0(4)在(0，+)上是增函數(shù)(4)在(0，+)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)y1=logax y2=logbx其中a1，b1(或0a1 0b1)當(dāng)x1時(shí)“底大圖低”即若ab則y1y2當(dāng)0x1時(shí)“底大圖高”即若ab，則y1y2比較對數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，

9、則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a0，a1)y=logax(a0，a1)定義域(-，+)(0，+)值域(0，+)(-，+)函數(shù)值變化情況當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)0a1時(shí)，當(dāng)a1時(shí)當(dāng)0a1時(shí)，單調(diào)性當(dāng)a1時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)a1時(shí)，logax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點(diǎn)，

10、除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時(shí)，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在上是增函數(shù) 時(shí)，冪函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在上是減函數(shù) 任何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如）；當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）當(dāng)時(shí)，的的

11、圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）當(dāng)時(shí)，的的圖像不過原點(diǎn)，且在第一象限是“下滑”曲線（如）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象是向下凸的；時(shí)，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，圖象向右上方無限伸展。當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無限地接近；向右無限地與軸無限地接近；（4）在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，越大，圖象下落的速度越快。無論取任何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。對號函數(shù)函數(shù)（a0,b0）叫做對號函數(shù)，因其在（0，+）的圖象似符號“”而得名，利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng)x0時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號），由此可得函數(shù)（a0,b0,xR+）的性質(zhì):當(dāng)時(shí)，函數(shù)（a0,b0,x