高三數(shù)學常用函數(shù)性質及圖像

1、一次函數(shù)（1） 函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)； （2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零； （3）關系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零； （4）關系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零； （5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。（2） 一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量。當時，一次函數(shù)，又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是，要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式當，時，仍是一次函數(shù)當，時，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)

2、包括正比例函數(shù)2、正比例函數(shù)及性質一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當k0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k0時，圖像經過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；k0時，向上平移；當b0，圖象經過第一、三象限；k0，圖象經過第一、二象限；b0，y隨x的增大而增大；k0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當b0b0經過第一、二、三象限經過第一、三、四象限經過第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k0時，向上平移；當b0時，直

3、線經過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；（從左向右上升）k0時，將直線y=kx的圖象向上平移個單位；b0或ax+b0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減??；當k0時，函數(shù)在x0上同為減函數(shù)；k0時，函數(shù)在x0上同為增函數(shù)。 定義域為x0；值域為y0。 3.因為在y=k/x(k0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。 4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱

4、軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。 6.若設正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。 7.設在平面內有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2+4km（不小于）0。 8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關于原點中心對稱. 10.反比例上一點m向x、y分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例

5、函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。 13.反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點 指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)y=ax（a0，且a1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。注意：指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質：規(guī)律：1. 當兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。 2.當a1時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側，圖像越靠近y軸； 當0a1時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側，圖像越靠近y軸。 在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。 3.四字口訣：

6、“大增小減”。即：當a1時，圖像在R上是增函數(shù)；當0a1時，圖像在R上是減函數(shù)。 4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法：1. 當?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較；2. 當?shù)讛?shù)中含有字母時要注意分類討論；3. 當?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量進行比較；4. 對多個數(shù)進行比較，可用0或1作為中間量進行比較 底數(shù)的平移： 在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。 在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。 對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-，+)上是單調函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指

7、數(shù)函數(shù)y=ax(a0，a1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a0，a1).因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為(-，+)，值域為(0，+)，所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域為(0，+)，值域為(-，+).2.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x. 據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質.為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)的性質，我們在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草圖由草圖，再結合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)

8、的圖像的特征和性質.見下表.圖象a1a1性質(1)x0(2)當x=1時，y=0(3)當x1時，y00x1時，y0(3)當x1時，y00x1時，y0(4)在(0，+)上是增函數(shù)(4)在(0，+)上是減函數(shù)補充性質設y1=logax y2=logbx其中a1，b1(或0a1 0b1)當x1時“底大圖低”即若ab則y1y2當0x1時“底大圖高”即若ab，則y1y2比較對數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調性直接進行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調性對底數(shù)進行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，

9、則常借助1、0、-1等中間量進行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a0，a1)y=logax(a0，a1)定義域(-，+)(0，+)值域(0，+)(-，+)函數(shù)值變化情況當a1時，當0a1時，當a1時當0a1時，單調性當a1時，ax是增函數(shù)；當0a1時，ax是減函數(shù).當a1時，logax是增函數(shù)；當0a1時，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關于直線y=x對稱.冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當?shù)膱D像和性質，列表如下從中可以歸納出以下結論： 它們都過點，

10、除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時，冪函數(shù)圖像過原點且在上是增函數(shù) 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在上是減函數(shù) 任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減性在第象限單調遞增在第象限單調遞增在第象限單調遞增在第象限單調遞增在第象限單調遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點；當時函數(shù)的圖像都過原點；當時，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如）；當時，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）當時，的的

11、圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）當時，的的圖像不過原點，且在第一象限是“下滑”曲線（如）當時，冪函數(shù)有下列性質：（1）圖象都通過點；（2）在第一象限內都是增函數(shù)；（3）在第一象限內，時，圖象是向下凸的；時，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內，過點后，圖象向右上方無限伸展。當時，冪函數(shù)有下列性質：（1）圖象都通過點；（2）在第一象限內都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內，圖象向上與軸無限地接近；向右無限地與軸無限地接近；（4）在第一象限內，過點后，越大，圖象下落的速度越快。無論取任何實數(shù)，冪函數(shù)的圖象必然經過第一象限，并且一定不經過第四象限。對號函數(shù)函數(shù)（a0,b0）叫做對號函數(shù)，因其在（0，+）的圖象似符號“”而得名，利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式，當x0時，（當且僅當即時取等號），由此可得函數(shù)（a0,b0,xR+）的性質:當時，函數(shù)（a0,b0,x