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文檔簡介
1、一次函數(shù)(1) 函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法: (1)關(guān)系式為整式時(shí),函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù); (2)關(guān)系式含有分式時(shí),分式的分母不等于零; (3)關(guān)系式含有二次根式時(shí),被開放方數(shù)大于等于零; (4)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí),底數(shù)不等于零; (5)實(shí)際問題中,函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合,使之有意義。(2) 一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地,形如(,是常數(shù),且)的函數(shù),叫做一次函數(shù),其中x是自變量。當(dāng)時(shí),一次函數(shù),又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是,要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù),就是判斷是否能化成以上形式當(dāng),時(shí),仍是一次函數(shù)當(dāng),時(shí),它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例,一次函數(shù)
2、包括正比例函數(shù)2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù),其中k叫做比例系數(shù).注:正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當(dāng)k0時(shí),直線y=kx經(jīng)過三、一象限,從左向右上升,即隨x的增大y也增大;當(dāng)k0時(shí),圖像經(jīng)過一、三象限;k0,y隨x的增大而增大;k0時(shí),向上平移;當(dāng)b0,圖象經(jīng)過第一、三象限;k0,圖象經(jīng)過第一、二象限;b0,y隨x的增大而增大;k0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;當(dāng)b0b0經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限圖象從左到右上升,y隨x的增大而增大k0時(shí),向上平移;當(dāng)b0時(shí),直
3、線經(jīng)過一、三象限;k0,y隨x的增大而增大;(從左向右上升)k0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移個(gè)單位;b0或ax+b0時(shí),圖象分別位于第一、三象限,同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng)k0時(shí),函數(shù)在x0上同為減函數(shù);k0時(shí),函數(shù)在x0上同為增函數(shù)。 定義域?yàn)閤0;值域?yàn)閥0。 3.因?yàn)樵趛=k/x(k0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交。 4. 在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)P,Q分別作x軸,y軸的平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2則S1S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱
4、軸 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分線),對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。 6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)(m、n同號),那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。 7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點(diǎn),則n2+4km(不小于)0。 8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線:x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱. 10.反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線,交于q、w,則矩形mwqo(o為原點(diǎn))的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合,k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大,反比例
5、函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。 13.反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形,對稱中心是原點(diǎn) 指數(shù)函數(shù)概念:一般地,函數(shù)y=ax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R。注意:指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格,前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì):規(guī)律:1. 當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí),兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對稱,但這兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。 2.當(dāng)a1時(shí),底數(shù)越大,圖像上升的越快,在y軸的右側(cè),圖像越靠近y軸; 當(dāng)0a1時(shí),底數(shù)越小,圖像下降的越快,在y軸的左側(cè),圖像越靠近y軸。 在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”。 3.四字口訣:
6、“大增小減”。即:當(dāng)a1時(shí),圖像在R上是增函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),圖像在R上是減函數(shù)。 4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法:1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論;3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同,指數(shù)也不同時(shí),則需要引入中間量進(jìn)行比較;4. 對多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較,可用0或1作為中間量進(jìn)行比較 底數(shù)的平移: 在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù),圖像會向左平移;減去一個(gè)數(shù),圖像會向右平移。 在f(X)后加上一個(gè)數(shù),圖像會向上平移;減去一個(gè)數(shù),圖像會向下平移。 對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-,+)上是單調(diào)函數(shù),所以它存在反函數(shù),我們把指
7、數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),并記為y=logax(a0,a1).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?-,+),值域?yàn)?0,+),所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)?0,+),值域?yàn)?-,+).2.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),因此它們的圖像對稱于直線y=x. 據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像,并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,a1)的性質(zhì),我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=logx,y=logx的草圖由草圖,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,a1)
8、的圖像的特征和性質(zhì).見下表.圖象a1a1性質(zhì)(1)x0(2)當(dāng)x=1時(shí),y=0(3)當(dāng)x1時(shí),y00x1時(shí),y0(3)當(dāng)x1時(shí),y00x1時(shí),y0(4)在(0,+)上是增函數(shù)(4)在(0,+)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)y1=logax y2=logbx其中a1,b1(或0a1 0b1)當(dāng)x1時(shí)“底大圖低”即若ab則y1y2當(dāng)0x1時(shí)“底大圖高”即若ab,則y1y2比較對數(shù)大小的常用方法有:(1)若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母,則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同,則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同,
9、則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a0,a1)y=logax(a0,a1)定義域(-,+)(0,+)值域(0,+)(-,+)函數(shù)值變化情況當(dāng)a1時(shí),當(dāng)0a1時(shí),當(dāng)a1時(shí)當(dāng)0a1時(shí),單調(diào)性當(dāng)a1時(shí),ax是增函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),ax是減函數(shù).當(dāng)a1時(shí),logax是增函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同,定義域、值域都會發(fā)生變化,可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法熟練掌握,當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì),列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論: 它們都過點(diǎn),
10、除原點(diǎn)外,任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交,任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時(shí),冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在上是增函數(shù) 時(shí),冪函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在上是減函數(shù) 任何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減冪函數(shù)(R,是常數(shù))的圖像在第一象限的分布規(guī)律是:所有冪函數(shù)(R,是常數(shù))的圖像都過點(diǎn);當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像都過原點(diǎn);當(dāng)時(shí),的的圖像在第一象限是第一象限的平分線(如);當(dāng)時(shí),的的圖像在第一象限是“凹型”曲線(如)當(dāng)時(shí),的的
11、圖像在第一象限是“凸型”曲線(如)當(dāng)時(shí),的的圖像不過原點(diǎn),且在第一象限是“下滑”曲線(如)當(dāng)時(shí),冪函數(shù)有下列性質(zhì):(1)圖象都通過點(diǎn);(2)在第一象限內(nèi)都是增函數(shù);(3)在第一象限內(nèi),時(shí),圖象是向下凸的;時(shí),圖象是向上凸的;(4)在第一象限內(nèi),過點(diǎn)后,圖象向右上方無限伸展。當(dāng)時(shí),冪函數(shù)有下列性質(zhì):(1)圖象都通過點(diǎn);(2)在第一象限內(nèi)都是減函數(shù),圖象是向下凸的;(3)在第一象限內(nèi),圖象向上與軸無限地接近;向右無限地與軸無限地接近;(4)在第一象限內(nèi),過點(diǎn)后,越大,圖象下落的速度越快。無論取任何實(shí)數(shù),冪函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限,并且一定不經(jīng)過第四象限。對號函數(shù)函數(shù)(a0,b0)叫做對號函數(shù),因其在(0,+)的圖象似符號“”而得名,利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式,當(dāng)x0時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號),由此可得函數(shù)(a0,b0,xR+)的性質(zhì):當(dāng)時(shí),函數(shù)(a0,b0,x
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