甲型光學(xué)第十章幾何光學(xué)的近軸理論

1、1,第10章幾何光學(xué)的近軸理論,光線模型幾何光學(xué)的實(shí)驗(yàn)定律成像定理光學(xué)儀器,2,10.2幾何光學(xué)的基本概念,1.幾何光學(xué)是關(guān)于物體所發(fā)出的光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)的成像理論。2.幾何光學(xué)是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的。3.幾何光學(xué)中，光的物理模型是幾何學(xué)上的線，即“光線”。4.“光線”模型來自于物理實(shí)驗(yàn),3,4,光的反射與折射,5,反射定律、折射定律實(shí)驗(yàn),6,一、幾何光學(xué)的實(shí)驗(yàn)定律,1光的直線傳播定律在均勻媒質(zhì)中，光沿直線傳播。,P,Q,7,如果介質(zhì)是非均勻的，則光的傳播將會(huì)發(fā)生偏折，即不再沿著一條直線傳播。但是，總可以設(shè)法發(fā)現(xiàn)光傳播的路徑，這條路徑是折線或曲線。根據(jù)這一事實(shí)，也可以得出這樣的結(jié)論，既然在媒質(zhì)

2、中，光總是沿直線、折線、或曲線傳播，那么就可以用一條幾何上的線來描述和研究光的傳播，這就是“光線”。,8,2光的反射律,物,觀察者（接收器）,平面鏡,擋板,9,反射光在入射面內(nèi),界面,入射面,10,光的反射定律,1）反射光在入射面內(nèi)2）反射光線與入射光線在界面法線的兩側(cè)3）反射角等于入射角,11,3、光的折射定律,介質(zhì)2,介質(zhì)1,分界面,物,像,只與兩種介質(zhì)有關(guān)，折射率,12,折射光在入射面內(nèi),Snell定律,界面,入射面,Descartes定律,折射光線與入射光線在界面法線的兩側(cè),13,實(shí)驗(yàn)定律的數(shù)學(xué)表示,14,光的色散,一束平行的白光（復(fù)色光）從一種媒質(zhì)（例如真空或空氣）射入另一種媒質(zhì)時(shí)，

3、只要入射角不等于0，不同顏色的光在空間散開來。說明不同顏色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。,15,4、光的可逆性原理,上述實(shí)驗(yàn)定律都反映了光路的可逆性,光路可逆物像可逆光強(qiáng)可逆,16,光線如果沿原來反射和折射方向入射時(shí)，則相應(yīng)的反射和折射光將沿原來的入射光的方向。,如果物點(diǎn)Q發(fā)出的光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)后在Q點(diǎn)成像，則Q點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)同一系統(tǒng)后必然會(huì)在Q點(diǎn)成像。即物像之間是共軛的。,Q,Q,17,二、Fermat原理,P,Q,光實(shí)際傳播的路徑，是與介質(zhì)有關(guān)的。,Theactualpathbetweentwopointstakenbyabeamoflightistheonewhichistrave

4、rsedintheleasttime.,18,費(fèi)馬（Fermat）原理：兩點(diǎn)間光的實(shí)際路徑，是光程平穩(wěn)的路徑。（1679年）光程：折射率光所經(jīng)過的路程，即nS。一般情況下為折射率的路徑積分。平穩(wěn)：極值（極大、極?。┗蚝愣ㄖ?。在數(shù)學(xué)上，用變分表示,19,橢球面內(nèi)兩焦點(diǎn)間光的路徑，光程為恒定值,20,在橢球面上一點(diǎn)作相切的平面和球面，則經(jīng)平面反射的光線中，實(shí)際光線光程最小，經(jīng)球面反射的光線中，實(shí)際光線光程最大。,21,拋物面焦點(diǎn)發(fā)出的光，反射后變?yōu)槠叫泄?，匯聚在無窮遠(yuǎn)處，光程為極大值。,22,原理與定律,可以由Fermat原理導(dǎo)出幾何光學(xué)的實(shí)驗(yàn)定律所以可以說，F(xiàn)ermat原理是更基本的一般來說，任

5、何一門學(xué)科，都有著無法證明的（指從理論上無法證明）最基本的假設(shè)，這就是原理，是這一學(xué)科所建立的基礎(chǔ)。,23,物像之間的等光程性物點(diǎn)A與像點(diǎn)A之間的光程總是相等的。但由于兩者是物像關(guān)系，所以，只有通過相同光具組的光線的光程才是相等的,24,幾何光學(xué)的局限,幾何光學(xué)是關(guān)于光的唯象理論。不涉及光的物理本質(zhì)。對(duì)于光線，是無法從物理上定義其速度的。在幾何光學(xué)領(lǐng)域，也無法定義諸如波長(zhǎng)、頻率、能量等物理量。也可以說：幾何光學(xué)就是三大實(shí)驗(yàn)定律在幾何學(xué)中的應(yīng)用,25,三、幾何光學(xué)定律成立的條件,1光學(xué)系統(tǒng)的尺度遠(yuǎn)大于光波的波長(zhǎng)。2介質(zhì)是各向同性的。3光強(qiáng)不是很大。,26,3個(gè)簡(jiǎn)單的平面成像問題,平面折射成像（1

6、）平面可以折射成像嗎？（2）用最簡(jiǎn)單直接的方法如何計(jì)算？,27,10.3反射與折射的應(yīng)用,10.3.1光在平面上的反射,28,“虛光線”與“虛像”,光線并沒有進(jìn)入平面的下方所以，像點(diǎn)并不是真實(shí)光線匯聚而成的而是視覺上將反射光線反向延長(zhǎng)后匯聚形成的因而，反射光線的反向延長(zhǎng)線就是“虛光線”，這樣形成的像就是“虛像”。,29,虛光程,按照費(fèi)馬原理，物像之間應(yīng)該是等光程的,上式對(duì)任意方向光線成立的條件為等式的值為0,則虛像所在的空間，即平面下方的折射率為,虛光線的光程稱作虛光程,30,在平面反射的情形下，物與像點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，所以平面鏡可以嚴(yán)格成像,31,10.3.2光在平面上的折射,1折射光來自同一點(diǎn)光源

7、的入射光，經(jīng)平面折射后，其折射光線的反向延長(zhǎng)線不再匯聚于同一點(diǎn)因而嚴(yán)格說來，平面折射是不能成像的不是不能成像，而是不能嚴(yán)格成像,32,用折射定律近似計(jì)算像距,像方折射率n物方折射率n，物到界面距離s，求像到界面距離s,在光線束孔徑很小的情況下，平面可以近似成像,即光線之間挨得較近,33,白光入射,2棱鏡,偏轉(zhuǎn)角,有最小偏轉(zhuǎn)角,如果,紅光,黃光,藍(lán)光,34,光的全反射,35,3全反射,有可能,但,所以，當(dāng),時(shí)，折射光實(shí)際上不存在，,只有反射光,這種情況就是全反射，也稱全內(nèi)反射,36,出現(xiàn)全反射的最小入射角稱作全反射臨界角,全反射臨界角,光線從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，折射角比入射角大入射角滿足就會(huì)出

8、現(xiàn)全反射,37,4全反射棱鏡,倒轉(zhuǎn)棱鏡(阿米西棱鏡）,屋脊形五棱鏡,38,珀羅組合棱鏡,39,其它類型的組合全反射棱鏡,阿貝-科尼組合棱鏡,施密特-樸漢組合棱鏡,珀羅組合棱鏡,珀羅-阿貝組合棱鏡,40,棱錐反射體,從斜面射入、再經(jīng)三個(gè)直角面全反射、最后從斜面出射的光，沿原路返回,棱錐陣列反射器：阿波羅棱鏡陣列、自行車尾燈、路牌、,41,色散棱鏡,阿貝棱鏡,佩林-布羅卡棱鏡,全反射使光線間隔進(jìn)一步增大,42,分色棱鏡,利用全反射，以及二向色性光學(xué)薄膜、或者干涉濾波薄膜的濾波作用，使不同波長(zhǎng)的光分開,低通涂膜,高通涂膜,紅綠藍(lán)三基色分開,各自被CCD記錄,再將信號(hào)組合,還原為原來的色彩,43,5.

9、光纖,單根光線不能傳輸圖像,依靠集束光線傳輸圖像,纖芯0.1mm,包膜,保護(hù)層,44,將媒質(zhì)分成一系列薄層，設(shè)每一層中的折射率是均勻的，則每一層中，光線是直線。,10.4變折射率光學(xué),不均勻的媒質(zhì)，其折射率是各處不同的，例如大氣層，受到重力、溫度、湍流等因素的影響，是變折射率介質(zhì)。其中光線不再沿直線傳播。對(duì)于漸變折射率介質(zhì)，可以導(dǎo)出光線的基本方程設(shè)在直角坐標(biāo)系中，折射率只在y方向變化,x,y,45,光線方程,46,例10.4.1一條筆直平坦的高速公路上方空氣的折射率隨高度y的變化規(guī)律，式中，是地面處空氣的折射率。一個(gè)人站在公路上向遠(yuǎn)處觀察，他的眼睛離地面的高度為H=1.6m，問此人能看到公路上

10、最遠(yuǎn)的距離是多少？,47,由于,，可以將,略去,光線軌跡為,48,例10.4.2光纖的折射率式中為比1小得多的常數(shù)，為光纖軸線中心的折射率，試求傳導(dǎo)光線的軌跡方程，并證明：在近軸光線條件下，光纖有自聚焦的特性。,階躍型光纖，折射率沿徑向呈階梯形分布，是全反射光纖，用于圖像傳輸，以及光信號(hào)傳輸。折射型光纖（或梯度型光纖），本題討論的即是這種新型光纖?？梢詫⒐饫w分割成許多同軸薄圓筒，由對(duì)稱性可知，只需要分析含光纖軸線的截面內(nèi)的光線軌跡即可。,49,常量,50,振幅,空間頻率,小角度入射時(shí)（傍軸近似），,所有光線有相同的周期,有自聚焦效應(yīng)。自聚焦光纖,51,10.5近軸光在單球面上的成像,10.5.

11、1物與像的虛實(shí)性1同心光束從同一點(diǎn)發(fā)出的或匯聚到同一點(diǎn)的光線束，稱為同心光束。,從光線的性質(zhì)看，物上的每一點(diǎn)都發(fā)出同心光束，而像點(diǎn)都由同心光束會(huì)聚得到。,52,物,像,2物方和像方,物點(diǎn)所在的空間為物方空間像點(diǎn)所在的空間為像方空間,物方空間,像方空間,觀察者，或接收器所在的空間,物所在的空間,物光線經(jīng)過光具成像，則經(jīng)過光具的光線所在的空間就是像方,虛像所在的空間不是像方,物方,像方,反射鏡的物方和像方重合,53,3實(shí)物與虛物，實(shí)像與虛像發(fā)出同心光束的物點(diǎn)，為實(shí)物點(diǎn)；物方同心光束延長(zhǎng)后匯聚所成的點(diǎn)，為虛物點(diǎn)。,物方,像方,實(shí)物,虛物,實(shí)物,虛物所在的空間不是物方,物方,像方,54,經(jīng)過光具組后的

12、同心光束，匯聚在像方形成的點(diǎn)，為實(shí)像點(diǎn)；像方發(fā)散的同心光束反向延長(zhǎng)后匯聚的點(diǎn)，為虛像點(diǎn)。,像方,物方,實(shí)像,虛像,像方,55,實(shí)物成實(shí)像,實(shí)物成虛像,虛物成實(shí)像,虛物成虛像,56,10.5.2近軸光在單球面上的成像,57,從Q點(diǎn)發(fā)出的光線QM折射后變?yōu)镸QMQ與沿光軸的光線QOQ相交成像,1.軸上物點(diǎn)成像,58,59,在QMC和QMC中分別應(yīng)用余弦公式,60,不同，s不同，即從Q點(diǎn)發(fā)出的同心光束不能保持同心性,61,欲使折射光線保持同心性，必須(1)滿足近軸（傍軸）條件,折射球面的光焦度,或者(2),沒有意義,只有,這就是平面鏡,取,62,平行光入射,像方焦距，像點(diǎn)Q所在位置為像方焦點(diǎn),折射光

13、為平行光,物方焦距，物點(diǎn)Q所在位置為物方焦點(diǎn),Gauss公式,63,各種類型的折射球面,64,65,66,物像公式中各參量的符號(hào),虛像的像距取負(fù)值,對(duì)物方凸球面的半徑取正值，凹球面半徑取負(fù)值,67,匯聚入射光線的情形,虛物,物方入射光線束的虛擬匯聚點(diǎn),虛物的物距取負(fù)值,68,（1）物方和像方：以光線入射的一方作為物方，另一方為像方。（2）物點(diǎn)在物方，物距s0；物點(diǎn)在像方（虛物），物距s0；像點(diǎn)在物方（虛像），像距s0；向物方凹進(jìn)的球面，r0；線段在主光軸之下，y0。,70,（6）角度自主光軸或球面法線算起，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。,（8）對(duì)于反射球面，其物方和像方位于球面同一側(cè)。,（7

14、）圖中所標(biāo)均為絕對(duì)值，對(duì)于是負(fù)值的參數(shù)，應(yīng)在其前面加上負(fù)號(hào)。,71,3.軸外物點(diǎn)成像,相當(dāng)于光軸繞球心旋轉(zhuǎn)，像隨物動(dòng),滿足近軸條件時(shí)，圓弧變?yōu)橹本€。,軸上物點(diǎn)成像在光軸上，軸外物點(diǎn)如何成像？,72,像的橫向放大率,73,焦點(diǎn)與焦平面,平行于光軸的入射光線經(jīng)過球面折射后，匯聚于像方焦點(diǎn)。,由于單球面有無數(shù)個(gè)光軸，所以，凡是相互平行的入射光線，經(jīng)折射后，都匯聚于與入射光線平行的光軸的像方焦點(diǎn)上。,所有這些像方的焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面。,74,在傍軸條件下，上述像方焦點(diǎn)可以看作是處于一個(gè)平面上，這就是折射球面的像方焦平面即：相互平行的入射光線都匯聚于像方焦平面上的同一點(diǎn)。同樣，可以得到并定義物方焦平面，從

15、該平面上一點(diǎn)發(fā)出的所有光線，經(jīng)折射后，在像方為相互平行的光線,物方焦平面,像方焦平面,75,折射球面的光學(xué)參數(shù),物方焦距,像方焦距,物方焦點(diǎn),像方焦點(diǎn),物方焦平面,像方焦平面,76,折射球面的光學(xué)性質(zhì),根據(jù)這些光學(xué)參數(shù)，可以得到任意一條光線的共軛光線,77,符號(hào)約定下的反射、折射定律,用同一數(shù)學(xué)公式表示反射、折射定律,78,由折射球面物像公式推導(dǎo)反射球面物像公式,反射鏡的像方在球面左側(cè),曲率半徑,凹面鏡,焦點(diǎn),球心,物方像方,79,凹面鏡,凸面鏡,80,凸面鏡（負(fù)鏡）,凹面鏡（正鏡）,對(duì)于實(shí)物，總是在焦點(diǎn)內(nèi)側(cè)成正立縮小虛像,可以成倒立實(shí)像或放大虛像,81,4符號(hào)約定下像的橫向放大率公式,折射球

16、面,反射球面,82,5Lagrange-Helmhotz恒等式,對(duì)光線的角放大率為,Lagrange-Helmhotz恒等式,由于,可得到,83,10.6薄透鏡成像,10.6.1薄透鏡由兩個(gè)折射球面組成，過兩球面圓心的直線為光軸，頂點(diǎn)間距d。,就是薄透鏡，通?？梢?可以認(rèn)為，兩球面頂點(diǎn)重合，稱為光心，記為O。,如果滿足,84,逐次成像法,成像透鏡由兩個(gè)折射球面組成，透鏡使光線經(jīng)過了兩個(gè)球面的折射可以用逐次成像法得到透鏡的成像公式物Q1經(jīng)第一面折射成像Q2（應(yīng)用物像關(guān)系可確定像）Q2無論虛實(shí)，總是發(fā)出光線的，對(duì)第二面來說等效于物Q2作為第二面的物，經(jīng)第二面折射成像Q3（再次應(yīng)用物像關(guān)系可確定像）

17、反復(fù)應(yīng)用上述方法，可得到最終的像,85,10.6.2薄透鏡成像公式1用逐次成像法推導(dǎo),虛物Q1經(jīng)過2再一次成像,86,薄透鏡的光焦度，單位是屈光度（diopter，D），對(duì)于眼鏡，度數(shù)為100,物在像方，虛物,第一次成像,第二次成像,87,物方焦距,像方焦距,2薄透鏡的焦點(diǎn)與焦平面,88,磨鏡者公式,空氣中的薄透鏡,89,物方焦距,物方焦點(diǎn),像方焦距,像方焦點(diǎn),物方焦平面,像方焦平面,光心,光軸,極薄的平行玻璃平板，兩側(cè)折射率相等，通過光心的光線方向不變,薄透鏡的光學(xué)參數(shù)與光學(xué)特性,90,成像的基本光學(xué)單元,凡是存在簡(jiǎn)單的物像關(guān)系，而且其中的距離有共同的度量起點(diǎn)，即可以用下述公式描述的光學(xué)器件

18、,是成像光具組的基本單元,單個(gè)折射面、反射面，以及薄透鏡，都是基本的成像單元,厚透鏡不是基本的成像單元，是兩個(gè)折射球面構(gòu)成的光具組，用逐次成像法求解,91,例題：一個(gè)等曲率雙凸透鏡，放在水面上。球面半徑為3cm，中心厚度2cm，玻璃和水的折射率分別為1.50和1.33。透鏡下4cm處物點(diǎn)Q。計(jì)算兩曲面的光焦度，并計(jì)算Q點(diǎn)像的位置。,Q第一次成像,第二次成像，物距s2=0.02+0.054=0.074m，,在前鏡面下0.26m處。,92,正透鏡與負(fù)透鏡,焦距為正值的透鏡是正透鏡；焦距為負(fù)值的透鏡是負(fù)透鏡。正透鏡的像方焦點(diǎn)在像方；負(fù)透鏡的像方焦點(diǎn)在物方。正透鏡使入射的平行光匯聚在像方焦點(diǎn)；負(fù)透鏡使

19、入射的平行光發(fā)散。空氣中，中間厚邊緣薄的透鏡是正透鏡；中間薄邊緣厚的透鏡是負(fù)透鏡。,93,證明空氣中的正透鏡必定是中間厚邊緣??；負(fù)透鏡必定是中間薄邊緣厚所謂正透鏡，系指物方焦點(diǎn)在其物方，而像方焦點(diǎn)在其像方以平行光正入射證明,從費(fèi)馬原理看光學(xué)成像,F,光線愈遠(yuǎn)離光軸，所經(jīng)過距離愈長(zhǎng),為使光程相等，則遠(yuǎn)離光軸的光線，其在透鏡中的距離必須較短,所以正透鏡的形狀，必須愈遠(yuǎn)離中心軸線，厚度愈薄,正透鏡的形狀，必定是中間厚邊緣薄的結(jié)構(gòu),平行光自左側(cè)入射，匯聚到正透鏡右側(cè)焦點(diǎn),同理，負(fù)透鏡的形狀，必定是中間薄邊緣厚的結(jié)構(gòu),F,光線在透鏡中的光程虛光線的虛光程定值,94,圖示,Gauss物像公式,距離從光心算

20、起,95,Newton物像公式,Newton物像公式,如果距離從焦平面算起點(diǎn)在焦平面之外為正值,96,4像的橫向放大率,總放大率為兩次成像的放大率的乘積,第二次成像，是虛物成像,97,5Lagrange-Helmhotz恒等式,Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立,98,6薄透鏡作圖法,三對(duì)共軛的特殊光線,平行于光軸的入射光線經(jīng)過像方焦點(diǎn)的光線,經(jīng)過物方焦點(diǎn)的光線平行于光軸的像方光線,經(jīng)過透鏡光心的入射光線經(jīng)過透鏡光心的像方光線,F,F,99,物像作圖法,F,F,F,F,100,正透鏡作圖法,101,102,103,像方焦點(diǎn),物方焦點(diǎn),像方焦平面,物方焦平面,負(fù)透鏡作圖法,平行于光

21、軸的入射光線經(jīng)過像方焦點(diǎn)的光線,經(jīng)過物方焦點(diǎn)的光線平行于光軸的像方光線,經(jīng)過透鏡光心的入射光線經(jīng)過透鏡光心的像方光線,104,像方焦點(diǎn),物方焦點(diǎn),像方焦平面,物方焦平面,105,像方焦點(diǎn),物方焦點(diǎn),像方焦平面,物方焦平面,106,像方焦點(diǎn),物方焦點(diǎn),像方焦平面,物方焦平面,107,7透鏡組的成像作圖法,由多個(gè)透鏡或反射鏡組成的光具組，可以采用逐次成像法處理成像問題?？梢杂弥庇^的作圖法當(dāng)然也可以反復(fù)應(yīng)用成像公式計(jì)算,108,光具組的逐次成像,光線經(jīng)第1鏡所成的像，作為第2鏡的物,109,虛像作為第2鏡的物,第1鏡的虛像對(duì)第2鏡發(fā)出實(shí)光線該虛像是第2鏡的實(shí)物,虛像,第1鏡的虛像不可能位于第2鏡的像

22、方，因而不可能是第2鏡的虛物,110,將物經(jīng)第一個(gè)透鏡的所成的像作為第二個(gè)透鏡的物，再次進(jìn)行成像，依次逐個(gè)進(jìn)行。,透鏡組的逐次成像作圖法,111,只要第一鏡的像處于第二鏡的物方，對(duì)于第二鏡來說都是實(shí)物，不論像的虛實(shí),經(jīng)過L1成虛像，但對(duì)于L2來說，發(fā)出真實(shí)的光線，是實(shí)物,逐次成像法過程中物和像的虛實(shí)性,112,虛像作為物,第一像在第二鏡的物方則為實(shí)物，在第二鏡的像方則為虛物。,逐次成像過程中，前次所成像本身的虛實(shí)性，與作為后一次成像物的虛實(shí)性，沒有直接關(guān)系,F1,F2,F2,F1,1.直接利用第一鏡的光線作圖；2.利用第二鏡的物的特殊光線作圖,113,L1的實(shí)像，對(duì)于L2來說，是虛物,只要第一鏡的像處于第二鏡的像方，對(duì)于第二鏡來說都是虛物。,第一鏡實(shí)像為第二鏡虛物,114,如果將上述第一透鏡的像作為第二透鏡的實(shí)物處理，則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果,115,另一種作法,1.直接利用第一鏡的光線作圖；2.利用第二鏡的物的特殊光線作圖,116,借助于焦平面的特性，找出虛物的折射光線,117,透鏡組的逐次成像計(jì)算法,對(duì)第一個(gè)透鏡用成像公式計(jì)算，確定像的位置將該像作為第二個(gè)透鏡的物，再次進(jìn)行成像，依次逐個(gè)進(jìn)行。如果上述像是下一個(gè)透鏡的實(shí)物，則物距為正值，直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算；如果是虛物，則其到第二透鏡的距離，即物距是負(fù)值。,118,高斯光學(xué)GaussianOptic