專題：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性

1、專題：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)與嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)設(shè)為定義在上的函數(shù)，若對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，總有() ，則稱為上的增函數(shù)，特別當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)格不等式成立時(shí)稱為上的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。() ，則稱為上的減函數(shù)，特別當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)格不等式成立時(shí)稱為上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。2函數(shù)單調(diào)的充要條件若為區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)，、為區(qū)間內(nèi)兩任意值，那么有：或若為區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，、為區(qū)間內(nèi)兩任意值，那么有：或3函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法)(2)作商法4復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定對(duì)于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性。5

2、由單調(diào)函數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對(duì)于兩個(gè)單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當(dāng)和具有相同的增減性時(shí)，函數(shù)、的增減性與 (或)相同，、的增減性不能確定；(2)當(dāng)和具有相異的增減性時(shí)，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：、的增減性不能確定； 、為增函數(shù)，為減函數(shù)。二、函數(shù)的奇偶性1. 奇偶性的定義如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù)。2.奇偶性的幾何意義具有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱。3.函數(shù)奇偶性的判斷(證明)(1)比較與的關(guān)系；(2)（）與

3、的關(guān)系；(3)與的關(guān)系4.由具有奇偶性的函數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)的奇偶性的判斷對(duì)于兩個(gè)具有奇偶性的函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當(dāng)和具有相同的奇偶性時(shí)，假設(shè)為奇函數(shù)，那么：函數(shù)、也為奇函數(shù)；、為偶函數(shù)；(2)當(dāng)和具有相異的奇偶性時(shí)，那么：、的奇偶性不能確定；、為奇函數(shù)。若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.三、函數(shù)的對(duì)稱性1.函數(shù)自對(duì)稱（1）關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)（偶函數(shù)）的充要條件是（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)（奇函數(shù)）的充要條件是（3）關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)的充要條件是2.兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性（1）與關(guān)于軸對(duì)稱。換種說(shuō)法：與若滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。（2）與關(guān)于軸對(duì)稱。換種說(shuō)法：與若滿足，

4、即它們關(guān)于對(duì)稱。（3）與關(guān)于直線對(duì)稱。換種說(shuō)法：與若滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。（4）與關(guān)于直線對(duì)稱。換種說(shuō)法：與若滿足，即它們關(guān)于對(duì)稱。（5）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。換種說(shuō)法：與若滿足，即它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（6）與關(guān)于直線對(duì)稱。（7）與關(guān)于直線對(duì)稱。若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;3.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程（1）正比例函數(shù),.（2）指數(shù)函數(shù),.（3）對(duì)數(shù)函數(shù),.（4）冪函數(shù),.（5）余弦函數(shù),正弦函數(shù)，. 四、函數(shù)的周期性主要結(jié)論1如果函數(shù)對(duì)于一切xR,都有 (),那么函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱是偶函數(shù)2如果函數(shù) 對(duì)于一切xR, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=（由x=確定）對(duì)稱3

5、. 如果函數(shù)對(duì)于一切xR, 都有成立, 那么函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱4.兩個(gè)函數(shù)圖像之間的對(duì)稱性（1）函數(shù) 與函數(shù)的圖像關(guān)于直線 (即y軸)對(duì)稱；函數(shù) 與函數(shù)的圖像關(guān)于直線; 函數(shù) 與函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。（2）函數(shù),的圖像關(guān)于直線(由確定)對(duì)稱（3）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱（由確定（4）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱5.左加右減（對(duì)一個(gè)x而言），上加下減（對(duì)解析式而言）：若將函數(shù)的圖像右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像；若將曲線的圖像右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線的圖像6.函數(shù)的圖像是把的圖像沿x軸向左平移a個(gè)單位得到的；函數(shù)的圖像是把的圖像沿x軸向右平移個(gè)單位得到的；函數(shù)的圖像是把的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位得到的7.定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T。使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則的最小正周期為T，T為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期8.如果函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且最小正周期為T，那么9. 如果函數(shù)所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期，如果函數(shù)的最小正周期為T則函數(shù)的最小正周期為，如果是周期函數(shù)，那么的定義域無(wú)界10.關(guān)于函數(shù)的周期性的幾個(gè)重要性質(zhì)：（1）如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為T，那么（2）函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱（3）函數(shù)圖像