2014年六年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：數(shù)論綜合三

1、2014年六年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：數(shù)論綜合三一、興趣篇1（1）求所有滿足下列條件的三位數(shù)：在它左邊寫上40后所得的五位數(shù)是完全平方數(shù)（2）求滿足下列條件的最小自然數(shù)：在它左邊寫上80后所得的數(shù)是完全平方數(shù)2已知n!+3是一個完全平方數(shù)，試確定自然數(shù)n的值（n!=123n）3一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且它的各位數(shù)字均小于7如果把組成它的每個數(shù)字都加上3，便得到另外一個完全平方數(shù)求原來的四位數(shù)4請寫出所有各位數(shù)字互不相同的三位奇數(shù)，使得它能被它的每一個數(shù)位上的數(shù)字整除5在一個兩位數(shù)的十位與個位數(shù)字之間插入一個數(shù)字0，得到一個三位數(shù)（例如21變成了201），結(jié)果這個三位數(shù)恰好能被原來的兩位數(shù)整除請問：所有

2、滿足條件的兩位數(shù)之和是多少？6用2、3、4、5、6、7六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)，要使這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)盡可能的大，這兩個三位數(shù)應(yīng)該分別是多少？7一個自然數(shù)，它與99的乘積的各位數(shù)字都是偶數(shù)，求滿足要求的最小值8有3個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而且其中任意兩個數(shù)的乘積都能被第三個數(shù)整除滿足上述條件的3個自然數(shù)之和最小是多少？9小明與小華玩游戲，規(guī)則如下：開始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分?jǐn)?shù)乘以3，輸?shù)男∨笥驯３址謹(jǐn)?shù)不變，最后小明獲勝，他比小華多的分?jǐn)?shù)是99的倍數(shù)，那么他們至少玩了多少局？10對于一個自然數(shù)N，如果具有這樣的性質(zhì)就稱為“破壞數(shù)”：把它添

3、加到任何一個自然數(shù)的右端，形成的新數(shù)都不能被N+1整除那么在1至2008這2008個自然數(shù)中有多少個“破壞數(shù)”？二、解答題（共12小題，滿分0分）11（1）求滿足下列條件的最小自然數(shù)，使得它的平方的前兩位是20；（2）求滿足下列條件的最小自然數(shù)，使得它的平方的后兩位是04；（3）求滿足下列條件的最小自然數(shù)，使得它的平方的前兩位是20，后兩位是0412已知n!+4等于兩個相鄰自然數(shù)的乘積，試確定自然數(shù)n的值（n!=123n）13已知存在三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)請寫出所有可能的答案14三個兩位奇數(shù)，它們的最大公約數(shù)是l，但是兩兩均不互質(zhì)，且三個數(shù)的最小公倍數(shù)共有1

4、8個約數(shù)求所有滿足要求的情況15147lO2008的末尾有多少個連續(xù)的零？16一個四位數(shù)除以它后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)，余數(shù)恰好是它前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)如果它后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么原來的四位數(shù)是多少？17任意一些末兩位數(shù)是25的數(shù)相乘，它們的乘積末兩位數(shù)仍是25，我們就稱25是“變不掉的兩位數(shù)尾巴”顯然000是“變不掉的三位數(shù)尾巴”，請寫出所有的“變不掉的三位數(shù)尾巴”18在3和5之間插入6、30、20三個數(shù)，可以得到3、6、30、20、5這樣一串?dāng)?shù)，其中每相鄰兩個數(shù)的和都可以整除它們的乘積請你在4與3之間插入三個非零自然數(shù)，使得其中每相鄰兩個數(shù)的和都可以整除它們的乘積19M、N是互

5、為反序的兩個三位數(shù)，且MN請問：（1）如果M和N的最大公約數(shù)是7，求M； （2）如果M和N的最大公約數(shù)是21，求M20用l、2、3、4、5、6這六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)A和B，那么A、B、540這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是多少？21請將l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序?qū)懗梢恍校沟眠@一行數(shù)中的任何一個都是它前面所有數(shù)之和的約數(shù)22一根紅色的長線，將它對折，再對折，經(jīng)過m次對折后將所得到的線束從中間剪斷，得到一些紅色的短線；一根白色的長線，經(jīng)過n次對折后將所得到的線束從中間剪斷，得到一些白色的短線已知紅色短線比白色短線多m且它們的數(shù)量之和是100的倍數(shù)請問：紅色短線至少

6、有多少條？三、解答題（共8小題，滿分0分）23求出所有正整數(shù)n，使得25+n能整除25n24一個自然數(shù)至少有4個約數(shù)，并且該數(shù)等于其最小的4個約數(shù)的平方之和，請找出這樣的自然數(shù)25一個四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，將其千位與個位數(shù)字調(diào)換后形成新的四位數(shù)，新四位數(shù)與原數(shù)的最大公約數(shù)是63，則原四位數(shù)可能是多少？26一個不超過200的自然數(shù)，如裂川四進制表示，那么它的數(shù)字和是5；如果用六進制表示，那么它的數(shù)字和是8；如果用八進制表示，那么它的數(shù)字和是9如果用十進制表示，這個數(shù)是多少？27把一個兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個不同的兩位質(zhì)數(shù)右邊，得到一個四位數(shù)，這個四位數(shù)能被這兩個質(zhì)數(shù)之和的一半整除這樣的兩個質(zhì)數(shù)乘積

7、最大是多少？最小是多少？28用l、2、3、4、5各一個可以組成120個五位數(shù)，你能否從這120個數(shù)里面找出11個數(shù)來，使得它們除以11的余數(shù)互不相同？如果五個數(shù)字是1、3、4、6、8呢？29用1、2、3、4、5、6這6個數(shù)字各一次組成兩個三位數(shù)A和B請問：A、B、630這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是多少？最小公倍數(shù)最小可能是多少？30我們將具有如下性質(zhì)的自然數(shù)K稱為“巨人數(shù)”：如果一個整數(shù)M能被K整除，則把M的各位數(shù)字按相反順序重寫時所得的數(shù)也能被K整除，請求出100以內(nèi)的所有的“巨人數(shù)”2014年六年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：數(shù)論綜合三參考答案與試題解析一、興趣篇1（1）求所有滿足下列條件的三位數(shù)：在

8、它左邊寫上40后所得的五位數(shù)是完全平方數(shù)（2）求滿足下列條件的最小自然數(shù)：在它左邊寫上80后所得的數(shù)是完全平方數(shù)【分析】（1）估算出40000和41000之間的平方數(shù)即可（2）估算略大于800、8000以及80000的數(shù)，看看有沒有在它左邊寫上80后所得的數(shù)是完全平方數(shù)的數(shù)即可【解答】解：（1）2002=40000，2012=40401，2022=40804，可見只有401和804可以（2）估算略大于800，沒有；估算略大于8000，沒有；估算略大于80000的數(shù)可得：2842=80656，因此，最小數(shù)是6562已知n!+3是一個完全平方數(shù)，試確定自然數(shù)n的值（n!=123n）【分析】對任意偶

9、數(shù)2k，其平方4k2必能被4整除，對任意奇數(shù)2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于當(dāng)n4，123n+3被4除余3，故當(dāng)n4時，123n+3不可能是一個自然數(shù)的平方【解答】解：對任意偶數(shù)2k，其平方4k2必能被4整除，對任意奇數(shù)2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于當(dāng)n4，123n+3被4除余3，故當(dāng)n4時，123n+3不可能是一個自然數(shù)的平方將n=1，2，3代入知：1+3=4=22123+3=9=32故n=1，或n=3答：自然數(shù)n的值為1或33一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且它的各位數(shù)字均小于7如果把組成它的每個數(shù)字都加上3，便得到另外一個完全平方數(shù)求原來的四位數(shù)【分析】設(shè)兩

10、個完全平方數(shù)個分別為AA和BB，由題意，BBAA=3333，可以寫作（B+A）（BA）=3333，而3333=311101，有可能的形式是3333=33331或11113或10133或30311，然后進行討論解決【解答】解：兩個完全平方數(shù)個分別為AA和BB，由題意，BBAA=3333，可以寫作（B+A）（BA）=3333而3333=311101，有可能的形式是3333=33331或11113或10133或30311也就是說A和B的和可能是3333，差可能是1，或者和是1111，差是3，諸如此類，共有4種情況但因為完全平方數(shù)AA和BB是四位數(shù)，A和B最多是兩位數(shù)，所以只能有A和B的和是101，差

11、是33，那么A=（10133）2=34，原來的四位數(shù)為3434=11564請寫出所有各位數(shù)字互不相同的三位奇數(shù)，使得它能被它的每一個數(shù)位上的數(shù)字整除【分析】首先所有的奇數(shù)有1、3、5、7、9五個數(shù)字，再進一步根據(jù)被數(shù)整除的特征逐一分析探討得出答案即可【解答】解：從1、3、5、7、9中選出3個，顯然無9，因為若有9，要求其他兩位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，這是做不到的從1、3、5、7選出三個數(shù)共4種情況，而有5時必須在末尾1、3、5：135，315；1、3、7：無（1+3+7=11不是3的倍數(shù)）；1、5、7：175，715（不是7的倍數(shù)，舍去）；3、5、7：735，375（不是7的倍數(shù)，舍去）；所以符合

12、條件的三位數(shù)有：135、315、175、7355在一個兩位數(shù)的十位與個位數(shù)字之間插入一個數(shù)字0，得到一個三位數(shù)（例如21變成了201），結(jié)果這個三位數(shù)恰好能被原來的兩位數(shù)整除請問：所有滿足條件的兩位數(shù)之和是多少？【分析】設(shè)這樣的兩位數(shù)的十位數(shù)字為A，個位數(shù)字為B，由題意依據(jù)數(shù)的組成知識，可知100A+B能被10A+B整除；因為100A+B=90A+（10A+B），由數(shù)的整除性質(zhì)可知90A能被10A+B整除而90A=2325A，A的取值范圍是1至9這9個數(shù)字利用窮舉法即可推出符合條件的兩位數(shù)【解答】解：設(shè)這樣的兩位數(shù)的十位數(shù)字為A，個位數(shù)字為B，由題意依據(jù)數(shù)的組成知識，可知100A+B能被10A

13、+B整除因為100A+B=90A+（10A+B），由數(shù)的整除性質(zhì)可知90A能被10A+B整除因為90A=2325A，根據(jù)A的取值，可以列舉出所有符合題意的兩位數(shù)如下表所示：由上述列舉可得，符合條件的兩位數(shù)分別是：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，9010+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18=450+60+18=528答：所有滿足條件的兩位數(shù)之和是5286用2、3、4、5、6、7六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)，要使這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)盡可能的大

14、，這兩個三位數(shù)應(yīng)該分別是多少？【分析】設(shè)組成兩個三位數(shù)為A和B，（A，B，540）表示A，B和540的最大公約數(shù)，設(shè) d=（A，B，540），540=223335，因為2、3、4、5、6、7這六個數(shù)字中只有一個是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5，則d的最大值為：22333=108，據(jù)此解答即可【解答】解：設(shè)（A，B，540）表示A，B和540的最大公約數(shù)，設(shè) d=（A，B，540），540=223335，因為2、3、4、5、6、7這六個數(shù)字中只有一個是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5，則d的最大值為：22333=108，此時這兩個三位數(shù)分別是432、756答：這兩個三位數(shù)應(yīng)該分別是43

15、2、7567一個自然數(shù)，它與99的乘積的各位數(shù)字都是偶數(shù)，求滿足要求的最小值【分析】設(shè)自然數(shù)為n，與99的乘積為99n，然后根據(jù)99的整除性質(zhì)，可知99n能同時被9和11整除，被9整除：各位數(shù)字和，是9的倍數(shù)；被11整除：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差，能被11整除（或為0）再根據(jù)各位數(shù)字都是偶數(shù)，且數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么數(shù)字和就是18的整數(shù)倍經(jīng)過試算，可知兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)只軍無解，六位數(shù)時，為最小的符合條件的數(shù)，進一步解決問題【解答】解：設(shè)自然數(shù)為n，與99的乘積為99n，99=911，99n能同時被9和11整除，被9整除：各位數(shù)字和，是9的倍數(shù)；被11整除：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)

16、位數(shù)字和的差，能被11整除（或為0）各位數(shù)字都是偶數(shù)，且數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么數(shù)字和就是18的整數(shù)倍再看怎么滿足能被11整除，數(shù)字和為18，不能滿足；數(shù)字和為36，1818=0，滿足，經(jīng)試乘積最小為所求自然數(shù)最小為：99=2312答：滿足要求的最小值23128有3個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而且其中任意兩個數(shù)的乘積都能被第三個數(shù)整除滿足上述條件的3個自然數(shù)之和最小是多少？【分析】由于這三個自然數(shù)其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而其中任意兩個數(shù)的乘積卻能被第三個數(shù)整除，所以三個數(shù)的形式應(yīng)為：ab，ac，bc，其中a，b，c兩兩互質(zhì)，且不能為1取最小的三個，兩兩互質(zhì)的數(shù)2，3

17、，5，得三個數(shù)分別為23=6，25=10，35=15【解答】解：根據(jù)題意可知，三個數(shù)的形式應(yīng)為：ab，ac，bc，其中a，b，c兩兩互質(zhì)，且不能為1取最小的三個，兩兩互質(zhì)的數(shù)2，3，5，得三個數(shù)分別為23=6，25=10，35=156+10+15=31答：三個自然數(shù)的和的最小值是319小明與小華玩游戲，規(guī)則如下：開始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分?jǐn)?shù)乘以3，輸?shù)男∨笥驯３址謹(jǐn)?shù)不變，最后小明獲勝，他比小華多的分?jǐn)?shù)是99的倍數(shù)，那么他們至少玩了多少局？【分析】設(shè)小華贏了x局，小明贏了x+t局，t是正整數(shù)，則3x+t3x=99m，m也是正整數(shù)，即3x（3t1）=119m【解答】解：設(shè)小

18、華贏了x局，小明贏了x+t局，t是正整數(shù)，則3x+t3x=99m，m也是正整數(shù)，即3x（3t1）=119m，所以3t1是11的倍數(shù)，321=8，331=26，341=80，這些都不是11的倍數(shù)，而351=242=1122，可以滿足條件，所以t最小值為5所以他們最少玩了5局，小明贏5局，小華贏0局答：他們至少玩了5局10對于一個自然數(shù)N，如果具有這樣的性質(zhì)就稱為“破壞數(shù)”：把它添加到任何一個自然數(shù)的右端，形成的新數(shù)都不能被N+1整除那么在1至2008這2008個自然數(shù)中有多少個“破壞數(shù)”？【分析】首先，所有的奇數(shù)應(yīng)該都具有這樣的性質(zhì)，因為它添加到任何自然數(shù)的右端必然還是奇數(shù)，而N+1是偶數(shù)，奇數(shù)

19、不可能被偶數(shù)整除只要找出2008個自然數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)即可，據(jù)此解答【解答】解：N+1是偶數(shù)，奇數(shù)不可能被偶數(shù)整除，只要找出2008個自然數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)即可因為1至2008這2008個自然數(shù)中有1004個奇數(shù)，那么這2008個數(shù)中有1004個“破壞數(shù)”二、解答題（共12小題，滿分0分）11（1）求滿足下列條件的最小自然數(shù)，使得它的平方的前兩位是20；（2）求滿足下列條件的最小自然數(shù)，使得它的平方的后兩位是04；（3）求滿足下列條件的最小自然數(shù)，使得它的平方的前兩位是20，后兩位是04【分析】（1）因為1414=196，1515=225，因此，平方的前兩位是20的三位數(shù)不存在；那么再看平方的前兩位

20、是20的四位數(shù)，前兩位是20的四位數(shù)最小是4545=2025，因此最小數(shù)是45（2）平方最后一位是4的，只有22或88，但要滿足后兩位為04，通過試探，只有4848=2304，符合最小數(shù)（3）通過試探448448=，符合要求【解答】解：（1）因為1414=196，1515=225，因此，平方的前兩位是20的三位數(shù)不存在；那么再看平方的前兩位是20的四位數(shù)，前兩位是20的四位數(shù)最小是4545=2025，因此最小數(shù)是45（2）平方最后一位是4的，只有22或88，但通過試探，只有4848=2304，符合最小數(shù)（3）448448=，最小數(shù)是44812已知n!+4等于兩個相鄰自然數(shù)的乘積，試確定自然數(shù)n

21、的值（n!=123n）【分析】分以下情況討論：n=1；n=2；n3針對每種情況進行討論分析，得出結(jié)果【解答】解：當(dāng)n=1，此時1+4=5，不是兩個相鄰自然數(shù)的乘積；當(dāng)n=2，此時12+4=6=23；當(dāng)n3時，123n+4除以3余1而兩個相鄰的數(shù)相乘除以3余0或2，矛盾，證畢所以n=213已知存在三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)請寫出所有可能的答案【分析】三個數(shù)都不是質(zhì)數(shù)，至少是兩個質(zhì)數(shù)的乘積，兩兩之間的最大公約數(shù)只能分別是2，3和5，這種自然數(shù)有6，10，15和12，10，15及18，10，15三組【解答】解：有三組：6，10，15；12，10，15；18，10，15

22、；答：有3組這種可能的答案：6，10，15；12，10，15；18，10，1514三個兩位奇數(shù)，它們的最大公約數(shù)是l，但是兩兩均不互質(zhì)，且三個數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個約數(shù)求所有滿足要求的情況【分析】首先判斷出滿足要求的數(shù)的最小公倍數(shù)都是3、5、7、11的有限次方組合，即n=3x5y7z11w，然后根據(jù)三個數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個約數(shù)，列舉法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因為三個兩位數(shù)都是奇數(shù)，如n=33575，首先把它化成三個兩兩互質(zhì)的形式：n=9257，然后再把9、25、7分別乘以3、5、7中不是本身約數(shù)的數(shù)，如：9乘以5或7，而且3、5、7這兩個

23、數(shù)必須只能出現(xiàn)一次，求出第一組滿足條件的三位數(shù)，同理，求出另一組滿足條件的三位數(shù)即可【解答】解：根據(jù)題意，可得所有滿足要求的數(shù)的最小公倍數(shù)都是3、5、7、11的有限次方組合，即n=3x5y7z11w，因為9是3的倍數(shù)，所以沒列舉，三個兩位數(shù)的最小公倍數(shù)不包括大于或等于13的數(shù)的有限次方，可以用列舉法證明：65、39、91都不滿足條件；因為三個數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個約數(shù)，列舉法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因為三個兩位數(shù)都是奇數(shù)，如n=33575，首先把它化成三個兩兩互質(zhì)的形式：n=9257，然后再把9、25、7分別乘以3、5、7中不是本身約數(shù)的數(shù)，

24、如：9乘以5或7，而且3、5、7這兩個數(shù)必須只能出現(xiàn)一次，可得第一組滿足條件的三位數(shù)為：35、63、75；同理，可得第二組滿足條件的三位數(shù)為：55、75、99答：所有滿足要求的情況為：35，63，75；55，75，9915147lO2008的末尾有多少個連續(xù)的零？【分析】欲求算式147102008的計算結(jié)果，末尾有多少個連續(xù)的0，只要求出因數(shù)里面有多少個5即可解答【解答】解：因為2足夠多，所以有1個因數(shù)5就有1個0，先計算12008共有多少個因數(shù)5：20085=401余3；4015=80余1；805=16165=3余1；所以共有401+80+16+3=500這500個5分別處于：1，4，7，1

25、0，2，5，8，11，3，6，9，12，中5003=166余21，4，7，10，中的10是5，10，15，中的第二個，所以1，4，7，10，中共有167個5，又1，4，7，10，中因數(shù)2的個數(shù)顯然大于167；故共有167個0答：147lO2008的末尾有167個連續(xù)的零16一個四位數(shù)除以它后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)，余數(shù)恰好是它前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)如果它后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么原來的四位數(shù)是多少？【分析】設(shè)這個四個位數(shù)的前兩位數(shù)和后兩位數(shù)分別為a，b（b為質(zhì)數(shù)），根據(jù)題意，可得：100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m1）b，即3311a=（m1）b；因為b是質(zhì)數(shù)，所以m1是9的

26、倍數(shù)，設(shè)m1=9n，因為余數(shù)小于除數(shù)，所以ab，因此m199，判斷出m、n的取值，由，可得b=，因此b的因數(shù)有和11，求出a的值，進而求出b的值和原來的四位數(shù)是多少即可【解答】解：設(shè)這個四個位數(shù)的前兩位數(shù)和后兩位數(shù)分別為a，b（b為質(zhì)數(shù)），根據(jù)題意，可得：100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m1）b，即3311a=（m1）b；因為b是質(zhì)數(shù)，所以m1是9的倍數(shù)，設(shè)m1=9n，因為余數(shù)小于除數(shù)，所以ab，因此m199，則m1=9、18、27、36、45、54、63、72、81、90，可得n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，由，可得b=，因此b的因數(shù)有和11，則，a是兩位數(shù)，所以a

27、=n=10，此時b=11，101111=9110，即原來的四位數(shù)是1011答：原來的四位數(shù)是101117任意一些末兩位數(shù)是25的數(shù)相乘，它們的乘積末兩位數(shù)仍是25，我們就稱25是“變不掉的兩位數(shù)尾巴”顯然000是“變不掉的三位數(shù)尾巴”，請寫出所有的“變不掉的三位數(shù)尾巴”【分析】設(shè)變不掉的三位數(shù)尾巴是（abc），x，y，m，n表示正整，得1000x+（abc）1000y+（abc）=1000m+（abc），比較末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，解得（abc）=0，1，進一步解決問題【解答】解：設(shè)變不掉的三位數(shù)尾巴是（abc），依題意，得1000x+（abc）1000

28、y+（abc）=xy+1000（x+y）（abc）+（abc）（abc）=1000m+（abc），比較末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，解得（abc）=0，1，或（abc）（abc）1=1000n=5323n，（abc）與（abc）1互質(zhì)，由后者得（abc）=125d，1d7，125d1=8n，8|5d1，d=5；或（abc）=125d+1，125d+1=8n，8|5d+1，d=3答：變不掉的三位數(shù)尾巴是000，或001，或376，或62518在3和5之間插入6、30、20三個數(shù)，可以得到3、6、30、20、5這樣一串?dāng)?shù)，其中每相鄰兩個數(shù)的和都可以整除它們的乘積請

29、你在4與3之間插入三個非零自然數(shù)，使得其中每相鄰兩個數(shù)的和都可以整除它們的乘積【分析】設(shè)在4與3之間插入三個非零自然數(shù)分別是x、y、z，首先根據(jù)其中每相鄰兩個數(shù)的和都可以整除它們的乘積，分別求出x、z的值，然后求出y的值即可【解答】解：設(shè)在4與3之間插入三個非零自然數(shù)分別是x、y、z，（1）根據(jù)題意，可得是一個整數(shù)，因為=4，它是一個整數(shù)，所以x+4=8，或x+4=16，解得x=4，或x=12；（2）根據(jù)題意，可得是一個整數(shù)，因為，它是一個整數(shù)，所以z+3=9，解得z=6；（3）x=4時，y=4或y=12，z=6，因為當(dāng)x=4，y=4，z=6時，4+6=10，46=24，10不能整除24，不符

30、合題意，因此x=4，y=12，z=6；（4）x=12時，y=6或y=12，z=6，綜上，可得滿足條件的數(shù)有3組：12、6、6，或12、12、6，或4、12、619M、N是互為反序的兩個三位數(shù)，且MN請問：（1）如果M和N的最大公約數(shù)是7，求M； （2）如果M和N的最大公約數(shù)是21，求M【分析】設(shè)M=abc，N=bca，則MN=100a+10b+c（100c+10b+a）=99a99c=99（ac）；（1）因為M和N的最大公約數(shù)是7，所以M與MN的最大公約數(shù)也是7，可得99（ac）是7的倍數(shù)，所以ac=7，解得，所以M=9b2或M=8b1，然后根據(jù)是7的倍數(shù)的特征：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從

31、余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除，求出b的值，進而求出M的值即可；（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍數(shù)，所以它即是7的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，然后根據(jù)是7、3的倍數(shù)的特征，求出b的值，進而求出M的值即可【解答】解：設(shè)M=abc，N=bca，則MN=100a+10b+c（100c+10b+a）=99a99c=99（ac）；（1）因為M和N的最大公約數(shù)是7，所以M與MN的最大公約數(shù)也是7，可得99（ac）是7的倍數(shù)，所以ac=7，解得，M=9b2或M=8b1，M是7的倍數(shù)，當(dāng)M=9b2時，可得90+b4=86+b是7的倍數(shù)，此時b=5，M=952；

32、當(dāng)M=8b1時，可得80+b2=78+b是7的倍數(shù)，此時b=6，M=861，N=168，因為861、168的最大公約數(shù)是21，所以不符合題意，舍去；綜上，如果M和N的最大公約數(shù)是7，則M=952；（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍數(shù)，所以它即是7的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，解得M=861，N=168所以如果M和N的最大公約數(shù)是7，則M=86120用l、2、3、4、5、6這六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)A和B，那么A、B、540這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是多少？【分析】設(shè)（A，B，540）表示A，B和540的最大公約數(shù)，設(shè)d=（A，B，540），540=223335，因為1、2、3、4

33、、5、6這六個數(shù)字中只有一個是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5；又因為是9的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，l、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍數(shù)，所以A、B的公約數(shù)中不可能包含9，即d的因數(shù)中不可能包含9，則d的最大值為：223=12，據(jù)此解答即可【解答】解：設(shè)（A，B，540）表示A，B和540的最大公約數(shù)，設(shè)d=（A，B，540），540=223335，因為1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有一個是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5，又因為是9的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，l、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有1、3、5，

34、或2、3、4的和是9的倍數(shù)，所以A、B的公約數(shù)中不可能包含9，即d的因數(shù)中不可能包含9，則d的最大值為：223=12答：A、B、540這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是1221請將l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序?qū)懗梢恍?，使得這一行數(shù)中的任何一個都是它前面所有數(shù)之和的約數(shù)【分析】根據(jù)約數(shù)的概念，經(jīng)過多次試探，可排出：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；還有其他情況【解答】解：有以下兩種排列方法：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；11、1、2、7、3、8、4、9、5、10、622一根紅色的長線，將它對折，再對折，經(jīng)過m次對折后將所得到的線束從中間剪

35、斷，得到一些紅色的短線；一根白色的長線，經(jīng)過n次對折后將所得到的線束從中間剪斷，得到一些白色的短線已知紅色短線比白色短線多m且它們的數(shù)量之和是100的倍數(shù)請問：紅色短線至少有多少條？【分析】根據(jù)題意我們可以用兩種線實際操作演示，通過演示得出一根紅色的長線經(jīng)過m次對折后將所得到的線束從中間剪斷得到（2m+1）條短線，一根白色的長線經(jīng)過n次對折后將所得到的線束從中間剪斷得到（2n+1）條短線；再根據(jù)mn和紅色短線的數(shù)量與白色短線的數(shù)量之和是100的倍數(shù)，推出最小值【解答】解：我們可以實際操作，通過操作得出一根紅色的長線經(jīng)過m次對折后將所得到的線束從中間剪斷得到（2m+1）條短線，一根白色的長線經(jīng)過

36、n次對折后將所得到的線束從中間剪斷得到（2n+1）條短線；則（2m+1）+（2n+1）=100a（a為正整數(shù)），2m+2n+2=100a，a=，因為（2m+1）有最小值，則m要有最小值，又因為a為正整數(shù)，且mn，則得到：a=1，m+n=49，那么m=25，n=24則2m+1=50+1=51（條）答：紅色短線至少有51條三、解答題（共8小題，滿分0分）23求出所有正整數(shù)n，使得25+n能整除25n【分析】根據(jù)題意，可得是一個整數(shù)，因為=25，它是一個整數(shù)，而且625=1255=6251，所以25+n=125，或25+n=625，進而求出n的值即可【解答】解：根據(jù)題意，可得是一個整數(shù)，因為=25，

37、它是一個整數(shù)，而且625=1255=6251，所以25+n=125，或25+n=625，解得n=100，或n=600故n=100，或n=600時，25+n能整除25n24一個自然數(shù)至少有4個約數(shù)，并且該數(shù)等于其最小的4個約數(shù)的平方之和，請找出這樣的自然數(shù)【分析】顯然這個數(shù)至少有兩個質(zhì)因子設(shè)所含質(zhì)因子中最小兩個為p，q（pq），（此數(shù)只含有一個質(zhì)因子P的話，最小四約數(shù)為1，p，p2，p3，其平方和=此數(shù)不被p整除矛盾） 如果p不為2則該數(shù)為奇數(shù)，約數(shù)全奇，四個奇數(shù)的平方和為偶數(shù) 不等于該數(shù) 矛盾p=2該數(shù)為偶數(shù)，該數(shù)最小四因子為1，2，a，b時，a、b不可同時為偶或者同時為奇，否則平方和為奇數(shù)也

38、不等于該數(shù)分奇偶情況討論如下：最小四約數(shù)可能為1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可【解答】解：（1）最小四約數(shù)可能為1，2，q，2q令n=2kq，此時2kq=1+4+5q2=5（q2+1）右邊含質(zhì)因子q 只能q=5，代入檢驗有k=13，該數(shù)為130；（2）最小四約數(shù)可能為1，2，4，q，其中q為大于4的質(zhì)數(shù)，令n=4kq此時4kq=q2+21得到q|21，只能q=7，代入檢驗k無整解于是符合要求的只有13025一個四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，將其千位與個位數(shù)字調(diào)換后形成新的四位數(shù)，新四位數(shù)與原數(shù)的最大公約數(shù)是63，則原四位數(shù)可能是多少？【分析】設(shè)M=abcd，N=dbca，則MN=10

39、00a+100b+10c+d（1000d+100b+10c+a）=999a999d=999（ad）；因為M和N的最大公約數(shù)是63，所以M與MN的最大公約數(shù)也是63，可得999（ad）是7、9的倍數(shù)，所以ad=7，解得，所以M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍數(shù)，然后分類討論，求出原四位數(shù)可能是多少即可【解答】解：設(shè)M=abcd，N=dbca，則MN=1000a+100b+10c+d（1000d+100b+10c+a）=999a999d=999（ad）；因為M和N的最大公約數(shù)是63，所以M與MN的最大公約數(shù)也是63，可得999（ad）是7、9的倍數(shù)，所以ad=7，解得，M=9bc2或M=8

40、bc1，M是7、9的倍數(shù)，當(dāng)M=9bc2時，因為M是9的倍數(shù)，所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍數(shù)，因此b+c=7或b+c=16（舍去），經(jīng)驗證，9702滿足題意，同理，2709也滿足題意；當(dāng)M=8bc1時，因為M是9的倍數(shù)，所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍數(shù)，因此b+c=9或b+c=18（舍去），經(jīng)驗證，8631滿足題意，同理，1638也滿足題意，綜上，原四位數(shù)是9702、2709、8631或163826一個不超過200的自然數(shù)，如裂川四進制表示，那么它的數(shù)字和是5；如果用六進制表示，那么它的數(shù)字和是8；如果用八進制表示，那么它的數(shù)字和是9如果用十進制表示，這個數(shù)是多少？【分析】

41、利用如果一個數(shù)為n進制數(shù)，這個自然數(shù)和各個數(shù)為上的數(shù)字和除以n1的余數(shù)相同，換句話說也就是關(guān)于n1同余，由此利用同余分析解答即可【解答】解：若abc為n進制數(shù)，則abc=a+b+c（modn1），設(shè)這個數(shù)為x，由題意可得x=5（mod3），x=8（mod5），x=9（mod7），則x=23（mod105）x=23或128，23=113（4進制）23=35（6進制）23=27（8進制）23滿足題意128=3000（4進制）128=332（6進制）128=200（8進制）符合條件的為23答：這個數(shù)是2327把一個兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個不同的兩位質(zhì)數(shù)右邊，得到一個四位數(shù)，這個四位數(shù)能被這兩個質(zhì)數(shù)之和的一

42、半整除這樣的兩個質(zhì)數(shù)乘積最大是多少？最小是多少？【分析】根據(jù)題意，設(shè)出兩個質(zhì)數(shù)，再根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程，再根據(jù)未知數(shù)的取值受限，解答即可【解答】解：設(shè)a，b是滿足題意的質(zhì)數(shù)，根據(jù)一個兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個兩位質(zhì)數(shù)后面，得到一個四位數(shù)，它能被這兩個質(zhì)數(shù)之和的一半整除那么有100a+b=k（a+b）2（ k為大于0的整數(shù)）即（200k）a=（k2）b由于a，b均為質(zhì)數(shù)，所以k2可以整除a，200k可以整除b那么設(shè)k2=ma，200k=mb，（ m為整數(shù)）得到m（a+b）=198由于a+b可以被2整除所以m是99的約數(shù)可能是1，3，9，11，33，99若m=1，a+b=198且為兩位數(shù) 顯然只有

43、99+99 這時a，b不是質(zhì)數(shù)若m=3，a+b=66 則 a=13 b=53或a=19 b=47或a=23 b=43或a=29 b=37若m=9，a+b=22 則a=11 b=11（舍去）其他的m值都不存在滿足的a，b綜上a，b實數(shù)對有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4對1353=689，1947=893，2343=989，2937=1073所以兩個質(zhì)數(shù)乘積最大是：1073乘積最小是：689答：這樣的兩個質(zhì)數(shù)乘積最大是1073，最小是68928用l、2、3、4、5各一個可以組成120個五位數(shù)，你能否從這120個數(shù)里面找出11個數(shù)來，使得它們除以11的余數(shù)互不相同？如果

44、五個數(shù)字是1、3、4、6、8呢？【分析】我們看能被11整除的數(shù)的特征：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括0），那么，原來這個數(shù)就一定能被11整除這個差是幾，那么余數(shù)就是幾【解答】解：設(shè)一個五位數(shù)是，奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字用A、B來表示，另AB，有ABk（mod11），其中0K10（1）用1、2、3、4、5組成的一個，數(shù)字和為A+B=15，因為A+B與AB奇偶數(shù)相同，那么用1、2、3、4、5不能 組成余數(shù)為0的數(shù)，所以不能找到使得他們除以11的余數(shù)互不相同（2）用1、3、4、6、8組成一個，數(shù)字和為A+B=22，因為A+B與

45、AB奇偶相同，那么AB一定為偶數(shù)，那些奇數(shù)的余數(shù)只能出現(xiàn)在AB11時，當(dāng)K=9，那么AB=20不可能出現(xiàn)，所以不能找到使得它們除以11的余數(shù)互不相同29用1、2、3、4、5、6這6個數(shù)字各一次組成兩個三位數(shù)A和B請問：A、B、630這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是多少？最小公倍數(shù)最小可能是多少？【分析】（1）設(shè)（A，B，630）表示A，B和630的最大公約數(shù)，設(shè)d=（A，B，630），630=23357，因為1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有一個是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5；又因為是9的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，l、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有1、3、5，或2、

46、3、4的和是9的倍數(shù)，所以A、B的公約數(shù)中不可能包含9，即d的因數(shù)中不可能包含9，則d的最大值為：37=21，據(jù)此解答即可；（2）當(dāng)這兩個三位數(shù)分別是：231、546時，231、546、630這三個數(shù)的公約數(shù)最大，公倍數(shù)最小，進而求出它們的最小公倍數(shù)即可【解答】解：（1）設(shè)（A，B，630）表示A，B和630的最大公約數(shù)，設(shè)d=（A，B，630），630=223335，因為1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有一個是5的倍數(shù)，所以d的因數(shù)中不可能包含5，又因為是9的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，l、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍數(shù)，所以A、B的

47、公約數(shù)中不可能包含9，即d的因數(shù)中不可能包含9，則d的最大值為：37=21，此時這兩個三位數(shù)分別是：231、546，即A、B、630這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是21（2）當(dāng)這兩個三位數(shù)分別是：231、546時，231、546、630這三個數(shù)的公約數(shù)最大，公倍數(shù)最小，因為231=2111，546=21213，630=21235，所以231、546、630這三個數(shù)的最小公倍數(shù)是：211121335=9009030我們將具有如下性質(zhì)的自然數(shù)K稱為“巨人數(shù)”：如果一個整數(shù)M能被K整除，則把M的各位數(shù)字按相反順序重寫時所得的數(shù)也能被K整除，請求出100以內(nèi)的所有的“巨人數(shù)”【分析】能被1、3、9、11

48、、33、99整除的數(shù)，各位數(shù)字按相反順序重寫時所得的數(shù)也能被1、3、9、11、33、99整除，由此寫出答案即可【解答】解：符合條件的數(shù)有1，3，9，11，33，99都是“巨人數(shù)”參與本試卷答題和審題的老師有：齊敬孝；73zzx；pysxzly；奮斗；xiaosh；lqt；duaizh（排名不分先后）菁優(yōu)網(wǎng)2016年5月22日考點卡片1數(shù)字串問題【知識點歸納】【命題方向】?？碱}型：例1：已知一串有規(guī)律的數(shù)：1，那么，在這串?dāng)?shù)中，從左往右數(shù)，第10個數(shù)是分析：由1，得出規(guī)律：從第三個數(shù)開始，分子是前一個分?jǐn)?shù)的分子與分母的和，分母是本身的分子與前一個分?jǐn)?shù)的分母的和所以后面的分?jǐn)?shù)依次為：第10個數(shù)為解

49、：有原題得出規(guī)律從第三個數(shù)開始，分子是前一個分?jǐn)?shù)的分子與分母的和，分母是本身的分子與前一個分?jǐn)?shù)的分母的和所以后面的分?jǐn)?shù)依次為：第10個數(shù)為第10個數(shù)為故答案為：點評：解答此題關(guān)鍵的一點是從原題得出規(guī)律，考查學(xué)生總結(jié)規(guī)律的能力2其它進制問題【知識點歸納】除了二進制還有八進制、十六進制，定義和運算方式和二進制幾乎相同，只是十六進制由09，AF組成，字母不區(qū)分大小寫與10進制的對應(yīng)關(guān)系是：09對應(yīng)09；AF對應(yīng)1015；N進制的數(shù)可以用0（N1）的數(shù)表示超過9的用字母AF【命題方向】?？碱}型：例1：填空（1）（21）10=（210）3（2）（184）10=（504）6（3）（153）10=（306）

50、7（4）（103）10=（403）5分析：把十進制的數(shù)轉(zhuǎn)換為其他進制的數(shù)的方法是：把要轉(zhuǎn)換的數(shù)，除以其它進制，得到商和余數(shù)然后用得到的商除以其它進制，直到商為0為止再將所有余數(shù)倒序排列即可解：（1）213=70，73=21，23=02，把所有余數(shù)倒序排列，即：210所以：（21）10=（ 210）3（2）1846=304，306=50，56=05，把所有余數(shù)倒序排列，即：504所以：（184）10=（ 504）6（3）1537=216，217=30，37=03，把所有余數(shù)倒序排列，即：306所以：（153）10=（ 306）7（4）1035=203，205=40，45=04，把所有余數(shù)倒序排列

51、，即：403所以：（103）10=（ 403）5故答案為：210；504；306；403點評：此題考查了把十進制的數(shù)轉(zhuǎn)換為其他進制的數(shù)問題，重點掌握轉(zhuǎn)換的方法【解題方法點撥】對于進位制我們要注意本質(zhì)是：n進制就是逢n進一3數(shù)字問題【知識點歸納】1數(shù)字問題的主要題型：數(shù)字問題是研究有關(guān)數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關(guān)系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關(guān)系，求這個數(shù)為多少2核心知識（1）數(shù)字的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應(yīng)用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、因式分解、同余理論等（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系解答數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系時，經(jīng)常需

52、要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設(shè)法等一些方法，進行快速求解【命題方向】常考題型：例1：在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)有（）個5A、213 B、187 C、133 D、80 分析：先求出400里面有幾個3，就是1400中有多少個數(shù)能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1400中有多少個數(shù)能被5整除；能同時倍3和5整除的數(shù)是15的倍數(shù)；求出400里面有多少個15，就是能同時被3和5整除的數(shù)，然后用3的倍數(shù)的個數(shù)加上5的倍數(shù)的個數(shù)然后減去15的倍數(shù)的個數(shù)即可解：1到400中能被3整除有：4003133（個）；1到400中能被5整除有：40

53、05=80（個）；1到400中既能被3也能被5整除有：400（35）26（個）；在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)：133+8026=187（個）；故選：B點評：本題要注意能同時被3和5整除的數(shù)，是重復(fù)計算的數(shù)字例2：自然數(shù)12321，90009，41014 有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數(shù)，那么具有這種“特征”的五位偶數(shù)有400個分析：倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)萬位和個位有2，4，6，8這4種選擇；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇可以組成倒過來寫還是原來的數(shù)具有這種“特征”的五位偶數(shù)則有41010=400個解：根據(jù)分析，倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)有41010=400個答：具有這種“特征”的五位偶數(shù)有400個故答案為：400點